线性代数期末复习题24072

线性代数一. 单项选择题1. 设 a、b 均为 n 阶方阵，则下列结论正确的是。(a) 若 a 和 b 都是对称矩阵，则ab 也是对称矩阵(b) 若 a0 且 b0 ，则 ab0(c) 若 ab 是奇异矩阵，则a 和 b 都是奇异矩阵(d) 若 ab 是可逆矩阵，则a 和 b 都是可逆矩阵精品资料2. 设 a 、b 是两个 n 阶可逆方阵，则1ab等于（）（ a） a1 b1(b)b1a1（ c） b 1( a 1)（ d） b 1a13. mn 型线性方程组ax=b, 当 r(a)=m 时,则方程组.(a)可能无解(b) 有唯一解(c) 有无穷多解(d) 有解4. 矩阵 a 与对角阵相似的充要条件是. (a)a 可逆(b)a 有 n 个特征值(c) a 的特征多项式无重根(d) a 有 n 个线性无关特征向量25. a为 n 阶方阵 , 若 a0 ，则以下说法正确的是.(a)a 可逆(b)a 合同于单位矩阵(c)a =0(d)ax0有无穷多解6. 设 a， b ， c 都是 n 阶矩阵，且满足关系式abce ，其中 e 是 n 阶单位矩阵， 则必有（）（ a） acbe（ b ） cbae（ c） bace（ d ）bcae7. 若da11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a332 ，则 d13a113a213a314a114a214a31a12 a22 a32a13a23（）a33（ a）6（ b） 6（c ） 24（ d ）24二、填空题1.a 为 n 阶矩阵， |a|=3 ，则 | aa |=,|2 a 1a |=.1122 设a021，则 a 的伴随矩阵a*3 设a020311，则 a；。1134. r 中的向量123,222, 22,则， |=.x5. 设 3 阶矩阵 a 的行列式| a |8 ，已知 a有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为6. 二次型f (x1, x2, x3, x4 )22 x22 x24 x1x24x2 x3对应的矩阵是.2317. 已知三维向量空间的一组基为：11,1,0,21,0,1,3 0,1,1 ，则向量2,0,0在这组基下的坐标为：。8. 如果二次型f ( x1, x2, x3 )2x23x2tx 22x1x22x1x3是正定的，则t 的取值范围123是。三、解答题1. 设 axbx ，其中 a010111， b1011120，求 x53a0c00a0cb0d00b0d2. 计算3. 求向量组125,2134 ,3113 ,411639的一个极大线性无关组，并将其9他向量用该极大线性无关组线性表出.x12 x22 x304 设线性方程组2 x1x2x30 ,问取何值时方程组有非零解？并求通解,写出其基3x1x2x30础解系 .x1x2kx345.已知方程组x1x22 x342x1kx2x3k（ 1 ） k 为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？（ 2 ）在有无穷多解时，求出方程组的通解。6 已知二次型f ( x1, x2 , x3 )2 x1x22 x1x32 x2 x3 , 利用正交变换化f 为标准形 ,并写出相应的正交矩阵.四、证明题若 a22 a4 e0 ,证明 ae 可逆 ,并求( ae ) 1 .答案一、 (1)d(2)a(3)d(4)d(5)d（ 6） d（ 7） d二、 (1)9 ;3n 1633(2)03100211（ 3 ）12（ 4 ）01;14(5)-22(6)120222022（ 7） 1,1,1（ 8） t3 5三、 (1)由 axbx 得： (ae) xb110因为ae101，ae30 ，所以ae 可逆。102021333112112( ae)10，故 x331133(ae)b20 11(2)(adbc)( 3 )1 ,2 ,3;41728123333( 4 )1 时 有 非 零 解;txk 011k 取任意数t011为基础解系(5)a11k1121k1( k1)( k4)(1) 当 k1且 k4 时，方程组有唯一解;(2) 当 k1时，a b111411241111111402380003r ( ab)r (a) ，方程组无解；（ 3 ）当 k4 时，a b1144112414116103001140000r ( ab)r ( a)23 ，方程组有无穷多解，x130通解为 :x2x314，（x3为任意常数）x310(6)