正弦与余弦定理练习题及答案

精品资料一选择题国庆作业（一） 正弦定理和余弦定理练习题1在abc 中，a 45 ，b60 ，a 2，则 b 等于()a.6b.2c.3d 262在abc 中，已知 a8 ，b60 ，c75，则b 等于()32a42b43c46d. 33在abc中，角 a、b、c 的对边分别为a、b、c，a60 ，a 43，b 42，则角 b 为()a45或135 b 135 c 45d以上答案都不对4在abc 中， abc 156，则 sin asin bsin c 等于()a156b651c 615d不确定5在abc 中，a ，b，c 分别是角 a，b，c 所对的边，若 a105 ，b45， b2，则 c()1a1b.21c2d.4cos a 6在abc 中，若cos bb，则abc 是()aa等腰三角形b等边三角形c直角三角形d等腰三角形或直角三角形7. 已知abc 中， ab3，ac1，b30 ，则abc 的面积为 ()33a. b.c. 2432或3d.334或 28. abc 的内角 a、b、c 的对边分别为a、b、c.若 c2，b6，b120 ，则a 等于()a.6b2c.3d.2二、填空题9. 在abc 中，角 a、b、c 所对的边分别为a、b、c，若 a1，c3，c 3 ，则 a .10. 在abc 中，已知a433，b4，a30 ，则sin b .11 在abc 中，已知a30 ，b 120 ，b 12 ，则 ac .12. 在abc 中， a2bcos c，则abc 的形状为 abc13. 在abc 中，a60a， 63，b12 ，sabc 183，则sin asin bsin c ，c .14 已知三角形 abc 中，abc 123，a1，则a2 bcsin a 2sin b sin c .115. 在abc 中，已知 a32，cos c3，sabc 43，则 b .16. 在abc 中， b43，c30 ，c 2，则此三角形有 组解17. 如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角 ( 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为 140 的方向航行，为了确定船位，船在 b 点观测灯塔 a 的方位角为 110 ，航行半小时后船到达c点，观测灯塔 a 的方位角是 65 ，则货轮到达 c 点时，与灯塔 a 的距离是多少？（ 17 题）三、简答题cc18. 在abc 中，a、b、c 分别为角 a、b、c 的对边，若 a23，sin 2 cos 21a ， sin bsin ccos 24，求 a、b 及 b、c.219 (2009 年高考四川卷 )在abc 中， a、b 为锐角，角 a、b、c 所对应的3边分别为 a、b、c，且 cos 2 a ，sin b521，求 a， b，c 的值1010.(1) 求 ab 的值； (2)若 ab20. abc 中， ab 603，sinbsinc，abc 的面积为 153，求边 b的长21. 已知abc 的周长为2 1，且 sin asin b2sin c.(1) 求边 ab 的长；1(2)若abc 的面积为sin c，求角 c 的度数623 在abc 中，bc 5，ac 3，sin c2sin a.(1) 求 ab 的值；(2)求 sin(2 a 4 )的值余弦定理练习题源网1在 abc 中，如果 bc6，ab4，cos b1，那么 ac 等于()3a 6b 26c 36d 462在abc 中， a 2，b31， c30，则 c 等于()a.3b.2c.5d 23. 在abc 中， a2 b2c23bc，则 a 等于()a 60b 45 c 120 d 150 4. 在abc中， a、b、c的对边分别为a、b、c，若(a2c2 b2)tan b3ac，则 b 的值为()a. 62 3b. 3 5c. 或66d. 或35. 在abc 中，a、b、c 分别是 a、b、c 的对边，则 acos bbcos a等于()a abbc cd以上均不对6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ()a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d由增加的长度决定7. 已知锐角三角形abc 中，|ab|4，|ac|1， abc 的面积为3，则abac的值为 ()a 2b 2c 4d 4 8在abc 中， b3， c 3，b 30，则 a 为()a.3b 23c.3 或23d 29已知abc 的三个内角满足2bac，且 ab1， bc4， 则边 bc 上的中线 ad 的长为 10 abc 中， sin asin bsin c(3 1) (3 1)10， 求最大角的度数11. 已知 a、b、c 是abc 的三边， s 是abc 的面积， 若 a 4，b 5，s 53，则边 c 的值为 12. 在 abc 中， sin asin bsin c 23 4，则 cos acos bcos c .13. 在 abc中， a32， cosc .1， sabc 43，则 b314. 已知 abc 的三边长分别为ab 7，bc5，ac 6，则abbc的值为 15. 已知abc 的三边长分别是a、b、c，且面积 s 则角 c .a2b2 c2，416(2011年广州调研 )三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为 17. 在 abc 中， bca，acb，a， b 是方程 x2 23x20 的两根，且 2cos( ab) 1，求 ab 的长18. 已知 abc 的周长为2 1，且 sinasinb2sinc.(1)1求边 ab 的长； (2) 若abc 的面积为sin c，求角 c 的度数619. 在 abc 中， bc5， ac3， sinc2sina.(1) 求 ab 的值； (2)求 sin(2 a4)的值20. 在 abc 中，已知(abc)(a b c) 3ab，且 2cos asin bsin c，确定abc 的形状正弦定理1在 abc 中， a 45 ， b 60 ， a2 ，则 b 等于 ()a.6b.2c.3d 26abasin b解析：选a. 应用正弦定理得：sin asin，求得 b bsin a6.2在 abc 中，已知a8， b 60 ， c 75 ，则 b 等于 ()32a 42b 43c 46d.3asin b解析：选c. a 45 ，由正弦定理得bsin a 46.3. 在 abc 中，角 a、b、 c 的对边分别为a、b、c， a 60，a43 ，b42，则角 b 为()a 45 或 135 b 135 c 45 d 以上答案都不对abbsin a2解析： 选 c.由正弦定理45 .得：sin bsin asin b，又ab， b60 ， b a24. 在 abc 中， a b c 1 5 6 ，则 sin a sin b sin c 等于() a 1 5 6b 6 5 1c 6 1 5d不确定解析：选a. 由正弦定理知sin a sin b sin c a b c1 5 6.5. 在 abc 中， a，b，c 分别是角 a，b，c 所对的边，若a105 ，b 45 ，b2 ，则 c ()11a 1b.c 2d.24解析：选a. c 180 105 45 30 ，由bsin bcsin c得 c2sin 30 1.sin45 6. 在 abc 中，若cos ab ， 则 abc 是() cos baa等腰三角形b等边三角形c 直角三角形d 等腰三角形或直角三角形bsin bcos asin b解析：选d. a sin a， cos，bsin asin acos a sin bcos b， sin2 a sin2 b 即 2a 2b 或 2a 2 b ，即 ab，或 a b.27. 已知 abc 中， ab3 ，ac 1 ， b 30，则 abc 的面积为 ()33a. b.243c. 2或3d.334 或 2解析：选d.absin cacsin b，求出 sin c3， ab ac，2 c 有两解，即 c 60或 120 ， a 90 或 30.1再由 s abcab ac sin a 可求面积28. abc 的内角 a、b、 c 的对边分别为a、 b、c.若 c2， b6 ， b 120 ，则 a等于 ()a. 6b 2c.3d.262解析：选d. 由正弦定理得，1 sin c.2sin120 sin c又 c 为锐角，则c 30， a 30， abc 为等腰三角形，a c2.9. 在 abc 中，角 a、b、c 所对的边分别为a、b、c，若 a 1 ，c3 ，c .，则 a3ac解析：由正弦定理得：，所以 sin aasin c1 .c2sin asin c又 a c， a c， a . 36答案：610 在 abc 中，已知a43， b 4， a30 ，则 sin b .3解析：由正弦定理得asin a1bsin b? sin b4 bsin a23.a43233答案：211 在 abc 中，已知 a 30 ， b120 ， b 12 ，则 a c .解析： c 180 120 30 30， a c，a由sin absin b得， a12sin30 43，sin120 a c 83.答案： 8312 在 abc 中， a 2bcos c，则 abc 的形状为 解析：由正弦定理，得a 2 rsin a， b 2r sin b，代入式子a 2bcos c，得2rsin a 22r sin bcos c，所以 sin a 2sin bcos c，即 sin bcos ccos bsin c 2sin bcos c，化简，整理，得sin( b c)0. 0 b 180 ，0 c180 ， 180 b c180 ， b c 0， bc.答案：等腰三角形13 在 abc中， a 60 ， a 63， b 12 ， sabc 183 ，则a b csin a sin bsin c ，c .解析：由正弦定理得a b ca63 12，又s abc1bcsin a，sin a sin b sin c1 12 sin60 c 183，sin asin60 22 c6.答案： 12614 已知 abc中， a b c 1 2 3 ， a 1 ，则 .a 2b csin a 2sin b sin c解析：由 a b c 1 2 3 得， a30 ， b 60 ， c90 ，a1 2r 2 ，sin asin30 又 a 2rsin a， b 2rsin b， c 2rsin c，a 2b c2rsin a 2sin b sin c 2r 2.sin a 2sin b sin c答案： 2sin a 2sin b sin c115 在 abc 中，已知a 32 ， cos c， s abc 43，则 b .3解析：依题意，sin c 解得 b 23.答案： 2322， sabc 31ab sin c43 ， 216 在 abc 中， b 43， c 30 ， c 2 ，则此三角形有 组解1解析： bsin c 43 23 且 c 2，2 cbsin c， 此三角形无解 答案： 017 如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标精品资料方向线的水平转角 )为 140 的方向航行， 为了确定船位， 船在 b 点观测灯塔 a 的方位角为110 ，航行半小时后船到达 c 点，观测灯塔 a 的方位角是 65 ，则货轮到达 c 点时，与灯塔 a 的距离是多少？1解：在 abc 中， bc 40 20，2 abc 140 110 30 ， acb (180 140 ) 65 105 ，所以 a 180 (30 105 ) 45 ，由正弦定理得bc sin abc精品资料acsin a20sin30 102(km) sin45 即货轮到达c 点时，与灯塔a 的距离是102km.18 在 abc 中， a、b、c 分别为角a、b、c 的对边，若a 23， sinacccos221， sin4bsin c cos 22，求 a、b 及 b、 c.解：由 sincc1cos2241，得 sin c，2又 c (0 ， )，所以 ca5 或 c. 66由 sin bsin c cos 2，得21sin bsin c1 cos( bc )，2即 2sin bsin c 1 cos( b c)，即 2sin bsin c cos( bc) 1，变形得cos bcos c sin bsin c 1 ，即 cos( b c) 1，所以 bc2 ， bc65 (舍去 )，6a (b c).3abc由正弦定理，得sin asin bsin b12sin cb c a 23 sin a2.32故 a2 ， b3，b c 2.619 (2009 年高考四川卷)在abc 中， a、b 为锐角，角a、b、c 所对应的边分别为a、3b、c，且 cos2a， sin b5的值10.(1) 求 a b 的值； (2) 若 a b2 1，求 a， b， c1010解： (1) a、b 为锐角， sin b10， cos b1 sin 2 b310.10又 cos 2 a 1 2sin 2a3， sin a5525， cos a，55 cos( a b)cos acos b sin asin b2531051025 10 5 10 2.又 0 a b ， a b.43 2(2) 由(1) 知， c， sin c.42abc由正弦定理：sin a sin bsin c 得5 a10b2c，即 a2b，c5 b. a b2 1 ， 2b b2 1， b 1. a2， c5.20 abc 中， ab 603， sin bsin c， abc 的面积为153 ，求边 b 的长1解：由 s21absin c 得， 153 1603 sin c，2 sin c， c 30或 150 .2又 sin b sin c，故 b c.当 c 30时， b 30 ， a 120 .又 ab 603 ，asin absin b， b 215.当 c 150 时， b 150 (舍去 )故边 b 的长为 215.余弦定理源网11. 在 abc 中，如果bc 6 ，ab4 ， cos b3a 6b 26c 36d 46解析：选a. 由余弦定理，得acab2 bc2 2 abbc cos b142 62 24 6 6.3，那么 ac 等于 ()2在 abc 中， a 2， b3 1 ，c 30，则 c 等于()a.3b.2c.5d 2解析：选b. 由余弦定理，得c2 a2 b22 abcos c 22 (3 1) 2 2 2 (3 1)cos30 2， c2.3在 abc 中， a2 b2 c2a 60 c 120 3 bc，则 a 等于 (b 45 d 150 )b2 c2 a22 bc解析：选d.cos a3bc2bc32， 0 a 180 ， a 150 .4在 abc 中， a、b、 c 的对边分别为a、b、c，若(a2 c2 b2 )tan b3则 b 的值为 (a.6)b.3c.或665d.或332 解析：选d. 由(a2c2 b2)tan ba2 c2 b22 ac313ac ，联想到余弦定理，代入得3 cos bcos b2tan b2sin b.3显然 b ， sin b2 2. b或.25. 在 abc 中， a、 b、c 分别是a ac c33a、b、c 的对边，则b bd 以上均不对acos b bcos a 等于()a2 c2 b2b2c2 a22c2ac，解析：选c. a2 ac b2 bc 2 c c.6. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为() a锐角三角形b 直角三角形c 钝角三角形d 由增加的长度决定解析：选a. 设三边长分别为a， b，c 且 a2 b2 c2.设增加的长度为m，则 c ma m， c m b m，又(a m)2 (bm)2 a2 b2 2( a b)m2 m2 c2 2cm m2 (c m)2， 三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形 的7. 已知锐角三角形abc 中， |ab| 4， |ac| 1， abc 的面积为3 ，则ab值为 ()a 2b 2c 4d 4ac1 解析：选a. s abc3 1|ab|ac |sin a2 41 sin a，2 sin a3，又 abc 为锐角三角形，21 cos a ，21 abac 4 1 2.28在 abc 中， b3， c3 ， b30 ，则 a 为() a.3b 23c.3或 23d 2解析：选 c. 在 abc 中，由余弦定理得b2a2 c2 2 accos b，即 3 a2 9 33a， a2 33a 6 0，解得 a3 或 23.9已知 abc 的三个内角满足2b ac，且 ab1 ， bc 4，则边 bc 上的中线ad 的长为 .解析： 2 b ac， a b c， b 3在 abd 中，adab2 bd2 2 abbd cos b11 4 2 12 3.2答案：310 abc 中， sin a sin b sin c (3 1) (3 1) 10 ，求最大角的度数 解： sin a sin b sin c(3 1) (3 1) 10， a b c (3 1) (3 1) 10.设 a(3 1) k， b (3 1) k， c10k(k 0) ， c 边最长，即角c 最大由余弦定理，得cos ca2 b2 c21，2ab2又 c (0 ， 180 )， c120 .11 已知 a、b、c 是 abc 的三边， s 是 abc 的面积， 若 a 4，b 5 ，s 53 ， 则边 c 的值为 1解析： s absin c， sin c213， c 60或 120 .2 cos c ，又 c2 a2 b2 2ab cos c，2 c2 21 或 61 ， c21 或61.答案：21 或6112 在 abc中， sina sinb sinc 2 3 4 ，则cosa cosb cosc .解析：由正弦定理a b c sin a sin b sin c 23 4 ， 设 a2 k(k 0) ，则 b 3k， c 4k，cos ba2 c2 b22 ac72 k24 k23k211，2 2 k4 k 161同理可得： cos a， cos c，84 cos a cos b cos c 14 11 ( 4) 答案： 14 11 ( 4)13 在 abc 中， a32 ，cos c1， s abc 43，则 b .3解析： cos c1122， sin c. 33又 s abcabsin c 43 ，2122即 b3243 ， 23 b 23.答案： 2314 已知 abc 的三边长分别为ab7，bc 5 ，ac 6 ，则 abab 2bc 2 ac 2bc 的值为 解析：在 abc 中， cos b49 25 362 7519 35，2 abbc abbc |ab| 19|bc |cos( b) 75() 35 19.答案： 1915 已知 abc 的三边长分别是a、b、c，且面积 sa2 b2 c24，则角 c .解析：11absin c s2a2 b2 c24a2 b2 c2 ab22ab abcos c， sin c cos c， tan c 1， c 45 .2答案： 45 16 (2011年广州调研 )三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为 解析：设三边长为k 1， k， k1( k2 ， k n )，k2k 12 k 12 0则? 2 k 4，kk 1 k 1 k3 ，故三边长分别为2,3,4 ，32 42 227 最小角的余弦值为7.23 48答案：817 在 abc 中， bc a， acb， a，b 是方程x2 23x 2 0 的两根，且2cos( ab) 1，求 ab 的长解： a b c 且 2cos( ab) 1 ， cos( c )11，即 cos c. 22又 a， b 是方程 x2 23 x