江苏高考应用题题型归纳专题复习

应用题题型归纳【考情分析】函数不等式应用题江苏高考主要考查建立函数关系式，进而求函数的最值.近年具体情况如下表：年份试题知识点备注200817三角函数、函数、导数最值问题200919分式函数的值域最值问题201017三角函数、基本不等式最值问题201117函数、导数最值问题201217函数、方程、不等式范围、最值问题201318三角函数、正余弦定理、函数范围、最值问题由上表不难看出，在江苏近几年的高考中，主要考查根据题意建立函数关系式进而研究函数的最值或其他相关问题.10,11 年主要根据图形（平面或空间）建立函数关系，共同点是给出函数自变量，12、13 年在实际背景下研究与含参数二次函数有解、最值问题.在备考中，需要重点关注以下几方面问题：1. 掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；2. 加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；3.对于由图标 (尤其表格 )给出的函数应用题的训练要重视；4. 应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题5. 熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答.一、利润问题1、（江苏省扬州中学2014 届高三上学期12 月月考）某种商品原来每件售价为25 元，年销售8 万件（1） 据市场调查， 若价格每提高1 元， 销售量将相应减少2000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2） 为了扩大该商品的影响力，提高年销售量公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元 公司拟投入1 ( x26600)万元作为技改费用，投入 50万元作为固定宣传费用，投入1 x 万元作为浮动宣传费用试问：当该商品明年的销售量a5至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入 之和？并求出此时商品的每件定价解：（ 1）设每件定价为x 元，依题意，有(8x2510.2) x258 ，整理得x265x10000 ，解得 25x40 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元7（2）依题意，x25 时，不等式 ax258501 ( x2600)1 x 有解 ,等价于 x25 时，150116515011501ax有解 ,x2x10 当且仅当 x30时，等号成立,x65a10.2.x6x6当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30 元142（江苏省东海县第二中学2014 届高三第三次学情调研）某小商品2012 年的价格为8 元/ 件, 年销量为 a 件，现经销商计划在2013 年将该商品的价格降至 5.5 元/ 件到 7.5 元/ 件之间，经调查，顾客的期望价格为4 元/ 件，经测算，该商品的价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k ，该商品的成本价格为3 元/ 件。（1） 写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式。（2） 设 k2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2013 年的收益比2012年至少增长20%？解 ：（ 1 ） 设 该 商 品 价 格 下 降 后 为 x 元 / 件 ， 销 量 增 加 到 ( ak) 件 ， 年 收 益x4y( ak) ( x x43 ) , 5. 5 x7，. 57 分（2）当 k2a 时，依题意有( a2a )( x3)(83)a(120%) 解之得x4x6或4x5 ，12 分又 5.5x7.5 所以 6x7.5因此当实际价格最低定为6 元/ 件时，仍然可以保证经销商2013 年的收益比2012 年至少增长 20%。14 分（江苏省东台市创新学校2014 届高三第三次月考）近年来 , 某企业每年消耗电费约24 万元 ,为了节能减排 ,决定安装一个可使用15 年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费( 单位 :万元 ) 与太阳能电池板的面积 ( 单位 :平方米 ) 成正比 ,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费c ( 单位 : 万元 ) 与安装的这种太阳能电池板的面积x ( 单位 : 平方米 ) 之间的函数关系是c( x)k( x20x1000, k为常数 ).记 f 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村 15 年共将消耗的电费之和.(1) 试解释c (0)的实际意义 ,并建立 f 关于 x 的函数关系式 ;(2) 当 x 为多少平方米时,f 取得最小值 ?最小值是多少万元?解: (1)c (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0 时的用电费用 ,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费由 c(0)k 10024 , 得 k2400所以 f1524000.5x18000.5x, x0-8分20x100x51800(2) 因为 f0.5(xx55)0.25218000.50.2559.75当且仅当18000.5( x5) , 即 x55 时取等号x5所以当 x 为 55 平方米时 ,f 取得最小值为59.75 万元( 说明 : 第(2) 题用导数求最值的, 类似给分 ) -16分（江苏省粱丰高级中学2014 届高三 12 月第三次月考）某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4 元,并且每件商品需向总店交a(1a3) 元的管理费 ,预计当每件商品的售价为x(7x9) 元时,一年的销售量为(10x)2 万件（）求该连锁分店一年的利润l （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式l(x) ；（ii）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润l 最大 ,并求出 l 的最大值 解: （）由题得该连锁分店一年的利润l （万元）与售价x 的函数关系式为l( x)( x4a)(10x)2 , x7,9 .分 3（）l ( x)(10x)22( x4a)(10x)(10x)(182 a3 x),分6令 l (x)0 ，得 x62 a 或 x10分 832021a3,6a8 .33当 62 a37 ，即 1a3 时，2x7,9时， l(x)0 ，l (x) 在 x7,9上单调递减，故 l( x)maxl (7)279a分10当 62 a7 ，即 3a3223 时，2x7,6a 时，3l (x)0 ； x6a,9 时，3l (x)0l( x) 在 x7,62 a3上单调递增；在x62 a,9 上单调递减，3故 l( x)maxl (62a 3a)4(2)分14答:当1a万元；333每件商品的售价为7 元时 ,该连锁分店一年的利润l 最大 ,最大值为 279a2当 3a23 每件商品的售价为62 a 元时 , 该连锁分店一年的利润l 最大 , 最大值为34(2a)3 万元 .3分16某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率p 与日产量 x （万件）之间大体满足关系：1,1p6x2 ,3xc,xc（其中 c 为小于 6 的正常数）（注：次品率=次品数 / 生产量，如p合格品）0.1表示每生产10 件产品，有1 件为次品，其余为已知每生产1 万件合格的仪器可以盈利2 万元， 但每生产1 万件次品将亏损1 万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1） 试将生产这种仪器的元件每天的盈利额t （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2） 当日产量为多少时，可获得最大利润？212解：（ 1）当 xc 时， p，tx 2x 103331119 x2 x2当 1xc 时， p，t(1)x 2()x 16x6x6x6x综上，日盈利额t （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：9x2 x2,1xct6x0,xc-6（ 2）由（ 1）知，当xc 时，每天的盈利额为0当1xc 时， t9 x2 x2152(6x)9151236x6x当且仅当 x3 时取等号所以 (i ) 当 3c6 时， tmax3 ，此时 x32 x224 x542( x3)( x9)(ii ) 当 1c3 时，由 t22知(6x)(6x)函数 t29 x2x6x在 1,3 上递增，tmax29c2c6c，此时 xc综上，若 3c6 ，则当日产量为3 万件时，可获得最大利润若1c3 ，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润141二、与几何图形有关的实际问题3、（江苏省诚贤中学2014 届高三 12 月月考）如图，两座建筑物ab , cd的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是 9 cm 和 15 cm ，从建筑物ab 的顶部 a 看建筑物 cd 的视角(1) 求 bc 的长度；cad45 .(2) 在线段 bc 上取一点p ( 点 p 与点b, c不重合），从点 p 看这两座建筑物的视角分别为apb,dpc, 问点 p 在何处时，最小？da作 aecd ，垂足为 e ，则 ce9 ， de6 ，设 bcx ，则 tancadtan(cae+dae)tancae+ tandae9 + 61tancae tandaebcp第 17 题图xx196xx1，化简得x215x540 ，解之得， x18或 x3 （舍）答： bc 的长度为 18m 6 分设 bpt ，则 cp18t (0t18) ，tan(+)9 +15t18t162 + 6t6(27 + t )8 分9151t 2 + 18t135t 2 + 18t135t18t27 + tt 2 + 54t2723设 f (t )t 2 + 18t， f135(t)，令(t 218t + 135)2f (t )0 ，因为 0t18 ，得t15627 ，当 t(0,15 627)时， f( t)0 ， f(t ) 是减函数； 当 t(15627,18)时， f(t)0 ，f ( t) 是增函数，所以，当 t15627 时，f ( t) 取得最小值，即tan(+) 取得最小值，12 分因为t 2+ 18t1350 恒成立，所以f (t )0 ，所以 tan(+)0 ，+(,) ，2因为 ytanx 在 (,) 上是增函数，所以当2t15627时，+取得最小值答：当 bp 为 (15627)m 时，+取得最小值14 分（江苏省阜宁中学2014 届高三第三次调研）某个公园有个池塘，其形状为直角abc， c=90，ab=2 百米， bc=1 百米(1) 现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在ab、bc、ca 上取点 d， e， f，如图 (1)，使得efab， ef ed，在 def喂食，求 def面积 s def的最大值；(2) 现在准备新建造一个荷塘，分别在ab，bc，ca 上取点 d， e，f，如图 (2)，建造 def连廊（不考虑宽度） 供游客休憩， 且使 def为正三角形， 设求 def边长的最小值答案：（江苏省灌云高级中学2014 届高三第三次学情调研）某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93 平方米， 且高度不低于3 米记防洪堤横断面的腰长为x（米）， 外周长（梯形的上底线段bc 与两腰长的和 ）为 y （米） .求 y 关于 x 的函数关系式，并指出其定义域；要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.bcx 60ad解： 931 ( adbc )h ，其中2adbc2x2bcx ， h3 x ，2931 (2 bcx)33 xhx ，得 bc18x ，由23，得 2x622x2bc18x0x2 ybc2x183 x ,(2x6) ；-6 分x2 y183 x10.5 得 3x4 3,42,6)腰长 x 的范围是3,4-10 分x2 y183x2183x63 ，当并且仅当183x ， 即 x232, 6)时等号成x2x2x2立外周长的最小值为63 米，此时腰长为23 米。-14 分10、（江苏省睢宁县菁华高级中学2014 届高三 12 月学情调研）如图 , 有三个生活小区( 均可看成点 ) 分别位于a, b, c 三点处 , abac , a 到线段 bc 的距离 ao40 ,abo2( 参考数据 :7tan 22373).今计划建一个生活垃圾中转站 p , 为方便运输 , p 准备建在线段ao( 不含端点 ) 上.(1) 设 pox(0x40) , 试将 p 到三个小区距离的最远者s 表示为 x 的函数 , 并求s的最小值；(2) 设pbo(02) , 试将 p 到三个小区的距离之和y 表示为的函数 , 并7确定当取何值时 , 可使 y 最小?113.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施该设施的下部 abcd是矩形，其中ab=2 米，bc=1 米；上部cdg 是等边三角形，固定点e 为 ab 的中点emn 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风） ，gmn 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和ab 平行的伸缩横杆（1） 设 mn 与 ab 之间的距离为x 米，试将 emn 的面积 s（平方）表示成mn关于 x 的函数；dc（2） 求 emn 的面积 s（平方米）的最大值（1） 如图 1 所示，当mn 在矩形区域滑动， 即 0 x 1 时，aeb（第 3 题） emn 的面积 s= 122 x= x ； 如图 2 所示，当mn 在三角形区域滑动，即 1 x 13 时，g如图，连接eg，交 cd 于点 f，交 mn 于点 h， e 为 ab 中点， f 为 cd 中点， gf cd，且 fg3 .dc又 mn cd， mng dcgmnmn dcgh ，即 mngf2 313x aeb图 1g故 emn 的面积 s 1231xx233 x 2(133 )x ；mn3h综合可得：x，0x 1dfcs3 x213x 1 x13aeb33（2） 当 mn 在矩形区域滑动时，图 2sx ，所以有 0s1 ；323 当 mn 在三角形区域滑动时，s=x3(1)x .313因而，当 x13 （米）时， s 得到最大值，最大值s= 223（平方米） .131 ，23 s 有最大值，最大值为123 平方米 .33.如图，某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距62海里的 m,n 两点，他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔ab，设塔底延长线与海平面交于点o已知点m 在点o 的正东方向，点n 在点 o 的南偏西 15 方向， on22 海里，在m 处测得塔底b 和塔顶 a 的仰角分别为30 和 60 （1） 求信号塔ab 的高度；（2） 乙船试图在线段on 上选取一点p ，使得在点p 处观测信号塔ab 的视角最大，请判断这样的点p 是否存在，若存在，求出最大视角及op 的长；若不存在，说明理由abomn第 3 题图2、（江苏省南京市第一中学2014 届高三 12 月月考）一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.( ) 将此枕木翻转90（即宽度变为厚度） ，枕木的安全负荷会如何变化？为什么？（设翻转前后枕木的安全负荷分别为y1 , y2 且翻转前后的比例系数相同都为k ）( ) 现有一根横断面为半圆（已知半圆的半径为r ）的木材，用它来截取成长方体形的枕木，其长度为10，问截取枕木的厚度为d 多少时，可使安全负荷y 最大？解：（）安全负荷y1ad 2kl 2( k 为正常数）翻转90 后, y2da2kl 2，2 分y1d，y2a当 0da 时，y1y2 安全负荷变l大.4 分当0ad时, y2y1 ，安全负荷变小；6 分dd当 ad 时，y1y2 安全负荷a不 变.7 分a（ ii） 如 图 ， 设 截 取 的 宽 为 a ， 厚 度 为 d， 则( a) 2d 22r2 ,即a24d 24r2 .kad 2y100k 100a(r2a 2) =4k 400(4r 2 aa3 )（ x(0,2r) k0)9 分y3k ( a24 r 2 )4003令 y0得：a23 r3当 a(0, 233r) 时y230, 函数 y 在 (0,3r) 上为增函数；当 a( 233r,2 r) 时y0, 函数 y 在 ( 233r,2r) 上为减函数；当a233r 时，安全负荷y 最大。14 分，此时厚度d6 r315 分来答：当问截取枕木的厚度为6 r 时，可使安全负荷最大。16 分3（说明： a 范围不写 (0,2 r) 扣 1 分）9、（江苏省如东县掘港高级中学2014 届高三第三次调研考试）如图，a, b 为相距 2km的两个工厂， 以 ab 的中点 o 为圆心， 半径为 2km画圆弧。 mn 为圆弧上两点，且maab, nbab，在圆弧 mn 上一点 p 处建一座学校。学校p 受工厂 a 的噪音影响度与 ap 的平方成反比， 比例系数为 1，学校 p 受工厂 b 的噪音影响度与bp 的平方成反比，比例系数为 4 。学校 p 受两工厂的噪音影响度之和为 y ，且设ap xkm 。（1） 求yf (x)，并求其定义域；p（2） 当 ap为多少时，总噪音影响度最小？nm解：（）连接op，设则，在aop中，由余弦定理得boa，在bop中，由余弦定理得，4 分，则，.6 分，则，。8 分（） 令，.10分由当，得或 t=-10 （舍去），当，函数在上单调递增；当，函数在时，即上单调递减；时，函数有最小值，也即当 ap为 （km）时，“总噪音影响度”最小 14 分11、（江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考）如图，某小区有一边长为 2（单位：百米）的正方形地块 oabc，其中 oae是一个游泳池，计划在地块 oabc内修一条与池边 ae相切的直路 l （宽度不计） ，切点为 m，并把该地块分为两部分现以点 o 为坐标原点，以线段 oc所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，若池边 ae 满足函数yx22(0x2 的图象，且点m 到边 oa 距离为t( 2t4) （ 1）当 t332时，求直路l 所在的直线方程；3（ 2）当 t 为何值时，地块oabc在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？解：（ 1） m ( 2 , 14), l: 12x9 y2203（ 2） m (t,t 292) ，过切点m 的切线l : y(t 22)2t (xt )即 y2txt 22 ，令 y2 得 xt ，故切线 l 与 ab 交于点2( t ,2) ；2令y0， 得xt1， 又x2tt1在 2 , 4 2t33递 减 ， 所 以xt117 , 112t126故切线 l 与 oc交于点 ( t21 ,0) 。t地块 oabc在切线 l 右上部分区域为直角梯形，面积 s1