应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案精品资料7.2 设总体x n (12, 4),x 1, x 2 , xn 为简单随机样本, 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1 的概率 .解:由于x n (12,4)x,故nn (0,1)p x11p xx111pnnx551p12()11(20.86861)0.2628n227.3 设总体x n (0,0.09),从中抽取 n10i10 的简单随机样本，求 px 21.44.解：由于 x n (0,0.09), 所以x i n (0,0.09), 故 xi0i 1xi0 n (0,1)10x所以(i)2 2 (10)0.3i 10.3x1010i所以 px 21.44p(i )21.44p2160.1i 1i 10.30.097.4 设总体x n (,2 ),x1 , x 2 , x n 为简单随机样本,x 为样本均值，s2 为样本方差，问 unx2服从什么分布？222x( x)x2解：un22,由于 x n (,) ，(n )n所以 x nn (0,1) ，故 u2x2 (1) 。n7.6设 总 体x n (,2 ),y n (,) 且 相 互 独 立 ， 从x ,y中 分 别 抽 取2n10, n15 的简单随机样本，它们的样本方差分别为s2, s2 ，求 p( s24s 20) 。12解：p(s24s20)p( s21212s24s2 )p14s1212222由于 x n (,2 ), y n (,) 且相互独立2s1s所以22 f (101,151) ，又由于f0.01 (9,14)4.03即 p f40.01第八章课后习题答案8.1设总体 x 的密度函数为f (x)cx (1)0xc,cxc,0为已知，1。x1 , x 2 , x n 为简单随机样本,（ 1 ）求的矩估计量。 （2）求的极大似然估计量。解：（1 ）e( x )xf (x)dxcx cxc(1) dxcx1 (1) dxccxdxccx故。1(01c1)cx 1xc（ 2） 似然函数nnnl( x , x ,x ;)f (x)cx(1)n c n (x ) (1)12niiii 1i 1i 1取对数ln l(x1, x2 ,xn ;)n lnnln cn(1)ln xii 1方程两侧对求导得d ln ln dn ln cnln xii 1d ln ln令dn ln cnln xi0得i 1nnln xin ln ci 1即极大似然估计量为nnln x ii 1n ln c8.4设总体 x 的密度函数为f ( x)x1ex0x0,x0,其中0 是已知常数，0 是未知参数，x1 , x 2 , x n 为简单随机样本,求的极大似然估计量。解：似然函数nnnnxil( x , x ,x ;)f ( x)x1exinn (x )1 ei 112niiii 1i 1i 1取对数ln l(x1, x2 ,xn ;)n lnnnn ln(1)ln xixii 1i 1方程两侧对求导得d ln lnnxidi 1d ln lnnn令xi0得nxdi 1ii 1n即极大似然估计量为nx ii 18.6设某种清漆的9 个样品，其干燥时间（单位：h）分别为6.0 ， 5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设干燥时间t n (,2 ), 就下面两种情况的置信度为0.95 的双侧置信区间。（ 1 ）0.6( h)（ 2）未知解：由已知可得x6, s0.574, s20.33（ 1）由于0.6 ， n9 ，0.05， z0.0251.96取统计量 zx n (0,1)n所以的置信区间为( xz2, xz)n2n0.60.6即 (61.96,61.96)(5.608,6.392)33（ 2 ）未知， n9 ，0.05， s0.574故取统计量tx t(n sn21) ， t0.025 (8)2.306ss所以置信区间为( xt(n21) xt(n n 21)n(62.3060.574 ,62.3060.574)(5.558,6.441)338.8随机的抽取某种炮弹9 发做实验。求得炮口速度的样本标准差s11(m /s) ，设炮口速度服从正态分布n (,2 ), 求炮口速度的均方差2 的置信度为0.95 的双侧置信区间。解：均值未知， n9 ， (n1) s28121968 ，0.052查表得0.025(8)17.535 ，2(8)2.180.975(n1)s222取统计量2(n1) ，故置信下限为(n1)s2296855.2 ，置信上限为(n1)s229684440.025 (8)17.5350.975 (8)2.18所以2 的置信区间为（55.2,444 ）8.11 研究两种燃料的燃烧率,设两者分别服从正态分布n (,0.05 2 ), n (,0.05 2 ),12取样本容量n1n220 的两组独立样本求得燃烧率的样本均值分别为18,24, 求两种燃料燃烧率总体均值差(12 ) 的置信度为0.99 的双侧置信区间.解:已知x n (,0.05 2 ), y n (,0.05 2 ), n1n220 ,12x18 ,y24,0.01故去统计量zxy(1222 ) ,12n1n2由于 z0.005t0.005 ()2.58 ，220.0520.052所以z122.580.0412n1n22020故置信区间为（-6.041,5.959）28.12 两化验员甲、 乙各自独立的用相同的方法对某种聚合物的含氯量各做10 次测量，s1分别求得测定值的样本方差为20.5419 ， s20.6065 ，设测定值总体分别服从正态1分布 n (1,2 ), n (,2 ), 试求方差比(22 ) 的置信度为0.95 的双侧置信区间.212222解：已知s10.5419 ， s20.6065 ， n1n210 ，0.0522s1s2取统计量 f22 ，由于12s2s2f(9,9)2s2f0.025 (9,9)4.03s2故置信下限为12120.222f(n122s21,n21)f0.025 (9,9)2s2f置信上限为1(n2s221,n11)1 f0.025 (9,9)3.601s2所以置信区间为（0.222,3.601 ）52第九章课后习题答案9.1假定某厂生产一种钢索， 其断裂强度x (10 pa) 服从正态分布n (, 40 ), 从中抽取容量为9 的样本，测得断裂强度值为793, 782, 795, 802, 797, 775, 768, 798, 809据此样本值能否认为这批钢索的平均断裂强度为800105 pa ？（0.05）解：已知x791 ， x n (,402 ),n9 ，0. 0 5h 0 :800h 1 :800取统计量 zx n (0,1)，故 z n79180040 30.675由于 z0.0251.96 ， 且 z79180040 30.675z2又因为h 0 的拒绝域是zz2所以接受h 0 ，拒绝h1 .即可以认为平均断裂强度为800105 pa .9.3 某地区从 1975 年新生的女孩中随机抽取 20 个，测量体重，算得这 20 个女孩的平均体重为 3160g ，样本标准差为 300g ，而根据 1975 年以前的统计资料知， 新生女孩的平均体重为 3140g ，问 1975 年的新生女孩与以前的新生女孩比较，平均体重有无显著性的差异？假定新生女孩体重服从正态分布，给出0.05.解：由已知x3160, s300 ， n20 ，0.05h 0 :3140h 1 :3140取统计量 tx t( n sn21)，x31603140sn30020t0.298t(19)2t0.025 (19)2.0930所以 t0.2982.0930t(19)2t0.025 (19)，不在拒绝域tt(19) 中，2故接受h 0 ，拒绝h 1 .即体重无明显差异.9.5现要求一种元件的使用寿命不得低于1000h ，今从一批这种元件中随机的抽取25件，测定寿命，算得寿命的平均值为950h ，已知该种元件的寿命x n (,2 ), 已知100 ，试在检验水平0.05的条件下，确定这批元件是否合格？解：已知n25 ， x950 ，100 ，0.05h 0 :1000h 1 :1000取统计量 zx n (0,1)，故 zn9501000100 52.5由于 zz0.051.645 ，且 z9501000100 52.51.645z又因为h 0 的拒绝域是zz，所以拒绝h 0 ，接受h 1 .即认为这批元件不合格.9.8某厂生产的铜丝，要求其拉断力的方差不超过16(kg )2 ，今从某日生产的铜丝中随机的抽取9 根，测得其拉断力为（单位：kg ）289 , 286 , 285 , 284 , 286 , 285 , 286 , 298 , 292设拉断力总体服从正态分布，问该日生产的铜丝的拉断力的方差是否合乎标准？（0.05） .22解：由已知有n9 ， x287.9 ， s4.51， s220.36 ，0.05有假设h 0 :16h 1 :16取统计量2(n1)s 22820.361610.1822查表得(8)0.05 (8)15.507 ，22由于(8)又因为h的拒绝域是22 (n1)0所以接受h 0 ， 拒绝h 1 ，即认为是合乎标准的。9.11某厂使用两种不同的原料a,b 生产同一类型产品，各在一周内的产品中取样进行分析比较 .取使用原料a 生产的产品的样品220 件，测得平均重量xa2.46kg ，样本的标准差sa0.57 kg ；取使用原料b 生产的产品的样品205件，测得平均重量xb2.55kg ，样本的标准差sb0.48kg .设两总体分别服从n (1,2 ),n (2 ,2 ), 两样本独立. 问使用原料a与使用原料b生产的产品的平均重量有无显著差别？（0.05）解：由已知得 sa0.57 ，na220 ，xa2.46 ，sb0.48 ，nb205 ，xb2.55，0.05有假设h 0 :12或1 -2 =0h 1 :12或1 -20xy2.462.55故取统计量u1.898s2s20.5720.48212n1n2220205查表得zz0.02521.96 ，其中u1.8981.96z2uzh 0 的拒绝域是2所以接受h 0 ， 拒绝h 1 ，即平均重量无明显差异。第十章课后习题答案10.1设有 3 台机器生产规格相同的铝合金薄板.现从生产出的薄板中各取5 块，测出厚度值，如下表机器 (i )厚度测量值2.362.382.482.452.432.572.532.552.542.612.582.642.592.672.62设各测量值服从同方差的正态分布，试分析各机器生产的薄板厚度有无显著差异0.05）？解:原假设 h 0 :123对立假设 h 1 :ija3 ,ni5,n15st0.12453,sa0.10533,sestsa0.01920st ， sa ， se 的自由度分别为14 , 2 , 12方差分析表为：方差来源平方和自由度均方f比因素 a0.1053320.0526732.92误差 e0.01920120.00160总和 t0.1245314由于0.05，查表得 f(a1,na)f0.05 (2,12)3.89（又因为f32.923.89f0.05 (2,12)故拒绝原假设h 0 ，接受h 1 ，说明薄板厚度有明显差异.10.4 设有一熟练工人,用 4 种不同的机器在6 种不同的运转速度下生产同一种零件.各自记录 1 小时内生产的零件数,列在下表中 .速度机器123456142.539.339.639.942.943.6239.540.140.542.342.543.1340.240.541.343.444.945.1441.342.243.544.245.942.3(小数点后的数是根据最后1 个零件完成的程度定出的)设各水平搭配下产量总体服从同方差的正态分布,试分析机器、 运转速度对产量有无显著影响 (0.05)?解:此题为双因素无交互作用的试验原假设h a 0 :1234 0h b 0 :1234560对立假设h a1 :ih b1 :j0至少一个 i0至少一个 j这里有 a3b6ab24st83.3383,sa16.3783,sb42.8083,se24.1517st ， sa ， sb ， se 的自由度分别为23， 3 ，5， 15方差分析表为方差来源平方和自由度均方f比机器 a16.378335.459443.39速度 b42.808358.561675.32误差 e24.1517151.61011总和 t83.338323由于0.05 ，查表得f0.05 (3,15)3.29，f0.05 (5,15)2.9又因为fa3.393.29 ，fb5.322.9故不同的机器不同的运转速度对产量有显著影响.10.5 取 3 种不同的导弹系统，4 种不同类型的推进器，对某种燃料进行燃烧试验.每种组合下重复试验2 次，测得燃烧速度的数值表如下表推进器导弹系统b1b2b3b4a134.0 ， 32.730.1 ， 32.829.8 ， 26.729.0 ，28.9a232.0 ， 33.230.2 ， 29.828.7 ， 28.127.6 ，27.8a328.4 ， 29.327.3 ，28.929.7 ，27.328.8 ，29.1设各水平搭配下燃烧速度总体服从同方差的正态分布，试分析导弹系统、推进器类型及它们的交互作用对然烧速度有无显著影响（0.05）？解:此题为双因素有交互作用的试验h a0 :123 0原假设h b 0 :1234 0h ab0 :ij0i1,2,3j1,2,3, 4备择假设h a1 :ih b1 :jh ab1 :ij0至少一个 i0至少一个 j0至少一对i ， j这里有 a3 ,b4 ,n2 ,abn24st91.6783 , sa14.5233, sb40.0817 , sa b22.1633 , se14.9100st ， sa ， sb ，sa b ，se 的自由度分别为23 ， 2， 3， 6， 12方差分析表为方差来源平方和自由度均方f比因素a14.523327.26175.84因素b40.0817313.360610.75交互作用22.163363.69392.97误差e14.9100121.2425合计t91.678323由已知0.05，查表得 f0.05 (2,12)3.89 ，f0.05 (3,12)3.49 ，f0.05 (6,12)3.00又因为fa5.843.89 ， fb10.753.49 ，fa b2.973故导弹系统、推进器对燃烧速度有影响，交互作用无显著影响.第十一章课后习题答案试求吸附量y 关于温度 x 的一元回归方程.解:其中 n9 ，由此得 x3.36667 ， y10.1222 ，sxx(n1)sx281.637513.1 ， syy(n1)sy2814.3114.4sxy38.3867则b?sxysxx38.38672.930313.1a?yb?x0.2568故 y 关于温度x 的一元回归方程为y?0.25682.9303x11.2合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数, 今发现它和电流的周波有密切关系,生产中测量数据如下表电流周波 x49.250.049.349.049.049.549.849.950.250.2导丝盘速度y16.717.016.816.616.716.816.917.017.017.1设对周波x , 速度 y 是正态变量 ,方差与 x 无关 ,求速度 y 关于周波 x 的一元回归方程,并对回归方程进行显著性检验,求出 x050.5 处 y 的预报值y?0 和预报区间 （0.05 ）.解:（ 1 ）其中 n10 ，由此得 x49.61 ， y16.86 ， sx20.221 ， sy20.02711.1一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关.在不同温度下吸附的重量y ，测得结果列于下表中. 设对于给