高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

2. 直线的极坐标方程(1) 过极点且与极轴成 0 角的直线方程是 0 和 0，如下图所示(2) 与极轴垂直且与极轴交于点(a ， 0) 的直线的极坐标方程是 cos a，如下图所示(3) 与极轴平行且在x 轴的上方， 与 x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为sin a，如下图所示3. 圆的极坐标方程(1) 以极点为圆心，半径为r 的圆的方程为 r ，如图 1 所示(2) 圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为 2rcos_ ，如图 2 所示(3) 圆心在过极点且与极轴成 的射线上，过极点且半径为r 的圆的方程为 2rsin_ ，2如图 3 所示4. 极坐标与直角坐标的互化若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点m的极坐标m( ， ) 化为平面直角坐标m(x， y) 的公式如下：x cos，22y或者 xy sin y ， tan x，其中要结合点所在的象限确定角 的值1. 曲线的参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x， y 都是某个变数t的函数，即x f （ t ），y g（ t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点m(x， y) 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x， y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数2. 常见曲线的参数方程(1) 过定点 p(x 0， y0) ，倾斜角为 的直线：xx0 tcos，yy0 tsin(t为参数 ) ，其中参数 t 是以定点p(x 0， y 0) 为起点，点m(x， y) 为终点的有向线段pm的数量，又称为点 p 与点 m间的有向距离根据 t 的几何意义，有以下结论：设a， b 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t a 和 t b，则|ab| |t b t a| 2（ t b t a） 4t a t b；线段 ab 的中点所对应的参数值等于t a t b2.(2) 中心在 p(x 0， y0) ，半径等于r 的圆：xx0 rcos，yy0 rsin( 为参数 )(3) 中心在原点，焦点在x 轴( 或 y 轴) 上的椭圆：xacos ，ybsin( 为参数 )或x bcos ，.y asin中心在点 p(x 0，y0) ，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为( 为参数 ) (4) 中心在原点，焦点在x 轴( 或 y 轴) 上的双曲线：x x 0 acos ，y y 0 bsinxasec ，ybtan( 为参数 )或x btan ，.y asec(5) 顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：x2p， y2p(t为参数， p0) 1注： sec cos .3. 参数方程化为普通方程由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x， y 的限制1. 已知点a 的极坐标为4，53，则点 a 的直角坐标是 (2 ， 23) 62. 把点 p 的直角坐标 (6，2) 化为极坐标，结果为22， 23. 曲线的极坐标方程 4sin化为直角坐标方程为x (y 2)2 464. 以极坐标系中的点1， 为圆心、1 为半径的圆的极坐标方程是 2cos 65. 在平面直角坐标系xoy 中， 若直线 l ：( 为参数 ) 的右顶点，则常数a 的值为 3x t ，y t a(t为参数 ) 过椭圆 c：x 3cos ，y 2sinx t ，x 3cos ，x 2y 2解析： 由直线 l ：得 y x a. 由椭圆 c：y t a，y 2sin ，得 9 4 1. 所以椭圆 c 的右顶点为 (3 ，0) 因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0 3 a，即 a3.一、选择题1. 在平面直角坐标系xoy 中，点p 的直角坐标为(1 ，3) 若以原点o 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点p 的极坐标可以是( c)a. 1， 34b.2， 3c. 2， 3d.2， 432. 若圆的方程为x 2cos，y 2sin( 为参数 ) ，直线的方程为x t 1，y t 1(t为参数 ) ，则直线与圆的位置关系是( b) a相离b 相 交 c相切d不能确定3. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标x t 1，系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是y t 3(t为参数 ) ，圆 c 的极坐标方程是 4cos ，则直线l 被圆 c截得的弦长为 ( d) a.14b 214c.2d 2222解析： 由题意可得直线和圆的方程分别为xy 4 0，x y 4x，所以圆心c(2，0) ，半径 r 2，圆心 (2 ，0) 到直线 l 的距离 d2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形， 解得弦长为22.24. 已知动直线l 平分圆 c：(x 2)为参数 ) 的位置关系是 ( a) a相交b相切c相离d过圆心 (y 1)21，则直线 l 与圆 o：x 3cos，( y 3sin2222解析： 动直线 l 平分圆 c：(x 2)2 (y 1)2 1，即圆心 (2 ，1) 在直线 l 上，又圆o：x 3cos ，y 3sin的普通方程为x y 9 且 2 1 9，故点 (2 ， 1) 在圆 o 内，则直线l 与 圆 o的位置关系是相交 二、填空题5. 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线c 的参数方程是ysin 2，x cos ( 是参数 ) ，若以 o为极点，x 轴的正半轴为极轴， 则曲线 c的极坐标方程可写为2 4sin_ 3 0解析： 在平面直角坐标系xoy 中，y sin 2， x cos( 是参数 ) ，y2 sin ，根222xcos .据 sin2 cos22 1，可得 x(y 2)1，即 x y 4y30. 曲线c 的极坐标方程2为 4 sin 30.6. 在平面直角坐标系中圆c 的参数方程为x 2cos ，y 2 2sin( 为参数 ) ，以原点 o为极2点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆c的圆心的极坐标为2， 三、解答题7. 求极点到直线2 1sin 4( r)的距离解析： 由2 1sin 4? sin cos 1? x y1，故 d|0 0 1|222 .1 128. 极坐标系中， a 为曲线2 2 cos 30 上的动点， b 为直线 cos sin 7 0 上的动点，求|ab| 的最小值9(2015 大连模拟) 曲线 c1 的参数方程为x cos ，y sin( 为参数 ) ，将曲线 c1 上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标伸长为原来的3倍， 得到曲线c2. 以平面直角坐标系xoy 的原点 o为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ： (cos 2sin) 6.(1) 求曲线 c2 和直线 l 的普通方程；(2) p 为曲线 c2 上任意一点，求点p 到直线 l 的距离的最值22x 2cos ，xy解析： (1) 由题意可得c2 的参数方程为y3sin( 为参数 ) ，即 c2： 4 3 1，直线 l ： (cos 2sin ) 6 化为直角坐标方程为x 2y 6 0.(2) 设点 p(2cos ，3sin ) ，由点到直线的距离公式得点p 到直线 l 的距离为|2cos 23sin 6|d56 43sin 1cos2256 4sin 655 56 4sin 6.2525所以5 d 25，故点 p 到直线 l 的距离的最大值为25，最小值为5.10已知在直角坐标系xoy 中，曲线c 的参数方程为x 14cos，y 24sin( 为参数 ) ，直线 l 经过定点p(3， 5) ，倾斜角为 .3(1) 写出直线l 的参数方程和曲线c 的标准方程(2) 设直线 l 与曲线 c 相交于 a， b 两点，求 |pa| |pb| 的值解析： (1) 由曲线c 的参数方程x 14cos，y 2 4sin( 为参数 ) ，得普通方程为(x 1) 2222(y 2) 16，即 x y 2x 4y 11 0.直线 l 经过定点p(3