矩阵练习(带答案)

forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notfor commercial use1. 若a ，b为 同 阶 方 阵 ， 则 ( ab )( ab)a2b 2的 充 分 必 要 条 件 是abba。2. 若 n 阶方阵 a ， b ， c 满足 abci , i 为 n 阶单位矩阵，则c1ab。3. 设 a， b 都是 n 阶可逆矩阵，若c0ab0,则 c10b 1a 10。24. 设 a 111，则 a11112。5. 设 a111111，b121234.则 a2b313377。6. 设 a100200003，则 a1100120000137设矩阵a1-12031, b2001， at为 a 的转置，则a b =t226201.一、填空题：1208.a312， b 为秩等于2的三阶方阵，则ab 的秩等于2011精品资料二、判断题（每小题2 分，共 12 分）1. 设a、b 均为 n 阶方阵，则( ab) kak bk（ k 为正整数） 。（ ）2. 设a, b, c 为 n 阶方阵， 若 abci ， 则 c 1b 1a 1。（ ）3. 设a、b 为 n 阶方阵，若ab 不可逆，则a, b 都不可逆。( )4. 设a、b 为 n 阶方阵，且ab0，其中 a0 ，则 b0 。( )5. 设a、b、c 都是 n 阶矩阵，且abi ,cai ，则 bc 。（ ）6. 若 a是 n 阶对角矩阵， b 为 n 阶矩阵， 且 abac ，则 b 也是 n 阶对角矩阵。（ ）7. 两个矩阵a 与 b ，如果秩（a ）等于秩（b ），那么 a 与 b 等价。（ ）8. 矩阵 a 的秩与它的转置矩阵at 的秩相等。( )三、选择题 (每小题 3 分,共 12 分)1. 设 a为 3 4 矩阵，若矩阵a 的秩为 2，则矩阵3 at 的秩等于（b）(a) 1(b) 2(c) 3(d) 42. 假定 a 、 b 、 c 为 n 阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的（c）（ a）abca( bc )（ b ） kaba(kb)（ c） abba（ d） c( ab)cacb3. 已知a、b 为 n 阶方阵，则下列性质不正确的是（a）(a)(c)abba( ab)cacbc(b)(d)( ab)c c( aa(bc )b)cacb4. 设paqi ，其中 p 、 q 、 a 都是 n 阶方阵，则（d）（ a） a 1p 1q 1（ b ） a 1q 1p 1（ c） a 1pq（ d） a 1qp5. 设 n 阶方阵 a ，如果与所有的n 阶方阵 b 都可以交换，即abba，那么 a 必定是（b）（ a）可逆矩阵（ b）数量矩阵（ c）单位矩阵（ d）反对称矩阵6. 两个 n 阶初等矩阵的乘积为（c）（ a）初等矩阵（ b）单位矩阵（ c）可逆矩阵（ d）不可逆矩阵7. 有矩阵a3 2 ， b23 ， c 33 ，下列哪一个运算不可行（a）（ a） ac（ b） bc（ c） abc（ d） abc8. 设 a与 b 为矩阵且accb ， c 为 mn 的矩阵，则a与 b 分别是什么矩阵( d)(a) nmmn(b)mnnm(c)nnmm(d)mmnn9. 设 a为 n 阶可逆矩阵，则下列不正确的是( b)(a) a 1 可逆(b)ia可逆(c)2 a 可逆(d)a2 可逆10. a, b 均 n 阶为方阵，下面等式成立的是（b）（ a）abba（ b） ( ab)tatbt（ c）( ab) 1a 1b 1（ d ） ( ab) 1a 1 b 111. 设a, b 都是 n 阶矩阵，且ab0 ，则下列一定成立的是（c）（ a）a0 或 b0（ b）a, b 都不可逆（ c） a, b 中至少有一个不可逆（ d） ab012. 设a, b 是两个 n 阶可逆方阵，则1tab等于（a）t1t1t1t1tt1（ a）ab(b)ba（ c）b 1( a1)t（ d ） b 1at13. 若a, b 都是 n 阶方阵，且a, b 都可逆，则下述错误的是（a）（ a） ab也可逆（ b ） ab 也可逆1（ c） b也可逆（ d ） a11b也可逆14. a, b 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是（ b ）（ a） ab（b ） ab（ c） ba（ d） bab15 设a , b 均为 n 阶方阵，下列情况下能推出a 是单位矩阵的是（ d ）（ a） abb（ b） abba（ c） aai（ d） a 1i16. 设a, b 都是 n 阶方阵，则下列结论正确的是（d）（ a）若 a 和 b 都是对称矩阵，则ab 也是对称矩阵（ b）若 a0 且 b0 ，则 ab0（ c）若 ab 是奇异矩阵，则a 和 b 都是奇异矩阵（ d）若 ab 是可逆矩阵，则a 和 b 都是可逆矩阵17. 若a与b 均为 n 阶非零矩阵，且ab0 ，则（a）（ a）r( a)n（ b）r( a)n（ c） r( a)0（ d）r(b)0四、解答题：1111231. 给定矩阵a213，b221，求bt a 及a 1344343解：123111495bt a2242136128.（.5 分）313344486a 141252012121121210110110111112111111 分1x212210023 分3. 求解矩阵方程xab ，其中 a10112112， b0112111011解： 因为a6所以 a 可逆.(5 分)1011132. 求解矩阵方程110x432011125101解：11020 分011.(2 分)112363a 1111363111333(4 分)故1211333254363xba114333.(4 分)0101001434. 求解下面矩阵方程中的矩阵x：100x001201001010120解：010100143令 a1000 ,b01001 ,c010201120，则 a, b 均可逆，且010100a 1100,b 1001001010所以 xa 1cb 12111341025. 设矩阵 a423110123，求矩阵 b ，使其满足矩阵方程aba2b .解： aba 2b 即 ( a2i ) ba 分而 ( a2i ) 11223110121143153164. 分所以b( a2i ) 1 a14315316442311012338=2921266 . 分9五、证明题1. 若 a是反对称阵，证明a2 是对称阵。证明：因为a是反对称阵，所以ata （ 3 分）( a 2 )t( aa)tat at(a)(a)a 2 ,所以a2 为对称阵。（ 5 分）2. 设矩阵a, b 及 ab 都可逆，证明a 1b 也可逆。证明：因为a, b ， ab 可逆，故a 1 , b1 ， (ab)11存在， 分所以有( a 1b 1 )bab1 a( a 1 bi )ba1 a( a 1ba 1 a)ba1 a 分a 1( ba)ba1 a a 1ai1故 ab1可逆，其逆为bab1a. 分3. 已知a, b 为 n 阶方阵，且a 2a, b 2b , ( ab) 2ab ，证明： abba0证明：( ab) 2a 2b 2abbaab4 分所以 abba04 分4. 设a, b 为两个 n 阶方阵，试证明：( ab)( ab)a2b 2 的充要条件是abba 。证明：充分性：因为 abba2所以 ( ab )( ab)a2abbab 2a2b 24 分必要性：因为( ab )( ab)a2b，即 a2abbab2a2b2所以 abba8 分5. a是反对称矩阵，b 是对称矩阵 ,t证明 : ab 是反对称矩阵的充要条件是abba 。t证明：充分性：因为aa, bb ,abba所以 ( ab )tbt atbaab,即 ab 是反对称矩阵4 分必要性：因为ab 是反对称矩阵，即( ab) tabt又 ( ab)bt atba所以 abba8 分仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。for personal use only in study and research; not for commercial use.nur f r den pers ? nlichen f r studien, forschung, zu kommerziellen zwecken verwendet werden.pour l tude et la recherche uniquementdes fins personnelles; pasdes fins commerciales. , , . 以下无正文for personal use only in study and research; not for commercial use.nur f r den pers ? nlichen f r