变速器轴的可靠性设计.doc

毕业生设计诚信声明本人郑重声明：本论文及其研究工作是本人在指导教师的指导下独立完成的，在完成论文时所利用的一切资料均已在参考文献中列出。 本人签名： 年 月 日摘要随着现在社会的发展，人们对产品质量要求的日益提高，可靠性逐渐成为工程科学中一个重要的研究领域。在汽车产业中，人们已经认识到提高产品可靠性水平是企业的“重中之重”。 机械结构的可靠性满足设计要求，以及机械结构的高可靠性是机械结构设计过程中追求的目标。然而，机械结构受到大量的不确定性因素的影响，而这些不确定性因素对机械结构可靠性的影响程度是机械结构设计，制造等工作中把握的重点，因此在产品设计中引入可靠性设计是十分必要的。 本论文以变速器的轴为研究对象，结合可靠性理论对其进行设计，以此为例为汽车零部件设计提供了正确的理论基础。关键词：可靠性，汽车，结构ABSTRACT Along with the development of the society, people now to product the quality requirements increasingly improve reliability engineering science, has become one of the important research areas. In the car industry, we have realized that improve product reliability level of the enterprise is top priority. The reliability of the mechanical structure and meet the design requirements, and the mechanical structure of the high reliability is the mechanical structure in the design process of the pursuit of the goal. However, the mechanical structure is a lot of uncertainty factors, and the uncertainty of mechanical structure reliability is the influence degree of the mechanical structure design, manufacture and so on the work of the grasp of key, so in product design introduction of reliability design is very necessary. This paper to the transmission shaft as the research object, the union of the theory of reliability design, and, in doing so, as an example for automobile parts design provides a correct theoretical basis.Keywords: Reliability, Automobile, Structure目录1.绪论11.1 传统设计方法与可靠性设计的对比11.2可靠性研究的重要性21.3 可靠性的发展概论21.3.1 可靠性设计理论的发展历程21.3.2 可靠性的理论内涵31.4本课题的主要任42.零件可靠性设计的基本理论52.1 可靠性的定义52.2可靠性设计的基本概念62.1.1 零件可靠度与失效率62.1.2 失效率72.3结构可靠度102.4 零件的可靠性设计122.4.1零件强度可靠性设计143.变速器轴的可靠性设计223.1 支座反力233.2 用静强度法设计轴254. 结论与展望30参考文献31致谢321.绪论1.1 传统设计方法与可靠性设计的对比传统的机械设计采用确定的许用应力法研究、设计机械零件和简单的机械系统。把设计变量如应力、强度、载荷等看作是确定性的单值变量，其描述状态的数学模型，即变量与变量之间的关系，可通过确定性的函数进行单值变换。在设计中引起失效的一方简称“应力”，用S表示，则：S=f(X1,X2,Xn) (1.1) 式中：X1Xn影响失效的各项因素，如受力情况、应力集中、温度因素等。抵抗失效能力的一方，简称“强度”，用表示，则： =g(Y1,Y2,Yn) (1.2)式中：Y1Yn影响零件强度的各项因素，如材料强度、表面粗糙度、零件尺寸等。这里的“”和“S”都是广义的。当S，表示零件处于安全状态；当S，表示零件处于失效状态；当=S，表示零件处于极限状态。因此传统的机械设计的设计依据可表示为：S=f(X1,X2,Xn)g(Y1,Y2,Yn) (1.3)就是以式(1.3)所表示的零件或系统各种功能要求的极限状态和安全状态作为设计依据，以保证零件在预期的寿命内正常运行。 在传统的机械设计中，判断零件是否安全，是以危险截面的最大应力max是否小于许用应力来决定的，设计准则为：max传统计方法设计的机械零件会发生早期损坏，其中一个重要的原因就是在常规的设计中都是将应力、材料的性能指标和零件的尺寸数据看作是一个确定值，但实际上这些数据都不是确定值。即使把这些数据看作有离散性，也没有按统计的办法去处理，只是用安全系数来考虑数据的离散性。这种凭经验确定的安全系数，往往偏于保守，而可靠性设计，把设计变量如实地当作随机变量来处理，且都服从一定的概率分布。各设计变量的概率分布“叠加”后，可求得合成的应力失效分布函数f(S)和合成的强度失效分布函数g()。它考虑了工作应力和零件强度数据的分散性，能够将零件在规定寿命工作过程中的破坏概率限制在某一给定的很小值以下，使零件的设计更加合理。一般地说，可靠性设计可以使零件尺寸减小、重量减轻、寿命延长，这就是人造卫星、飞机等首先应用可靠性设计的原因。1.2可靠性研究的重要性众所周知，可靠性作为产品质量的主要标准和最重要的技术指标之一，越来越受到工程界的特别重视。现代生产的经验表明，在设计、制造和使用的三个阶段中，设计决定了产品的了靠性水平，即产品的固有可靠性，而制造和使用的任务是保证产品可靠性指标的实现。也就是说，可靠性与其他性能一样，都比学在产品研制设计过程中充分考虑，而由制造和管理来保证。可可靠性试验数据是可靠性设计的基础，但是实验不能提高产品的可靠性，只有设计才能决定产品的固有可靠性，因此，产品可靠性设计的重要性就不言而喻了。由于可靠性技术贯穿于产品的设计、研制、制造、装配、调试、实验、使用、运输、保管、维修及保养等各个环节，因此应该大力推广建立在概率统计的基础上的可靠性设计方法，这样不仅能解决过去用传统设计所不能处理的一些问题，而且能有效的提高产品质量和减低产品成本，使机械理工部件的预测工作性能与实际工作性能更加符合，得到既有足够安全可靠性，又有适当经济性的优化产品，从而摆脱了固定的、静止的观点进行设计的陈旧框框，是设计工作更加深入、精确，跟家符合实际、更适应于机械结构系统日益提高的要求。从而有效的增强产品质量、降低产品成本、减轻整体机质量1提高可靠性和作业效率。随着工业技术的发展，机械产品性能参数日益提高结构日趋复杂，使用场所更加广泛，产品的性能和可靠性问题也就越来越突出，这种小高效率、复杂化和经济方向发展的产品又总是对其可靠性提出更高的要求。因此，现代设计方法在机械产品设计中的广泛应用是有着十分重要的意义。1.3 可靠性的发展概论1.3.1 可靠性设计理论的发展历程 目前，可靠性己是衡量机电产品质量的重要指标，可靠性技术已成为产品质量保证、安全性研究和产品责任预防措施的不可缺少的依据和手段。为此要求用现代可靠性设计法的基本理论和方法来重新评价机械产品的基本设计原则和过程。可靠性理论在其发展过程中主要经历了五个时期:（1）萌芽期：可靠性理论早在3040年代已发展起来了。十七世纪初期由伽利略、高斯、拉普拉斯、泊淞等人逐步建立了概率论，莫定了可靠性工程的主要理论基础。十九世纪布尔尼可夫斯基写了一本概率论教程，同时其学生马尔可夫建立了大数定律和随机过程理论，成为了维修性的理论基础。1939年瑞典专家威布尔提出了描述材料疲劳强度的威布尔分布。（2）摇篮期：50年代的电子管事件促成了可靠性研究的开端。50年代电子真空管故障发展到了高峰。使电子技术进步与失效间的矛盾十分突出。（3）奠基期：60年代，美国是可靠性发展最早的国家。1952年美国国防部成立AGREE电子设备可靠性顾问团(AdvisoryGrouponReliabilityofEleetrieEqulpment)。同年，AGREE组织首次提出了科学的可靠性定义。（4）普及期：70年代，日本是可靠性技术发展最快的国家。英国1966年开展“全英质量和可靠性年活动”，建立了质量和可靠性委员会，出版了BS一9000系列可靠性标准。法国1963年出版第一份可靠性季刊，1968年制定电子设备可靠性规划。德国1957年建立可靠性中心，1%4年出版可靠性工程季刊。（5）成熟期：70年代，实施产品质量法PL(ProductLiability)。从法律上规定可靠性成为质量保证QA(QualityAssurance)的重要环节。美国1987年颁布可靠性和维修性(RM)2000年发展规划。同时，可靠性脱颖而出发展成为一门新兴学科一“可靠性工程学”。中国可靠性研究始于60年代中期的宇航电子产品，陆续引进了美国的可靠性标准和资料。1981年成立电子元器件数据交换和质量认证中心。1985年10月科工委颁发“航空技术装置寿命和可靠性工作暂行规定”。1988年先后成立了七个全国性可靠性学术组织:中国电子产品可靠性与质量管理学会、中国数学可靠性学会、中国现代设计法可靠性学会、机电部可靠性委员会。1985一1986年颁发了多种可靠性国家学会、机电部可靠性国家标准GB、1988年国产电子元器件可靠性达到国际先进水平。1989年原机电部把可靠性列为四项共性技术(设计、制造、测试、可靠性)之一。并指出:“可靠性是振兴机械工业目标的主要途径之一。1.3.2 可靠性的理论内涵可靠性是产品在规定时间内，规定条件下，完成规定功能的能力。把能力换成概率叫可靠度。这是美国1952年提出的关于可靠性的科学定义。它包含五层含义:(l)产品可靠性研究对象，其含义是广义的，它可以是系统、子系统、设备、部件、零件等。(2)规定时间可靠性定义的核心。可靠性是产品的时间质量指标，是表示质量能维持的时间有多长，可靠度一般随时间的增长而减少。离开了时间概念就无可靠性可言。可靠度R(t)是时间的函数，R(t)一般随时间的增长而减小。(3)规定条件可靠性比较的前提。规定条件不同，可靠度的大小就不同。不规定具体条件就失去可靠性比较的前提。这个条件有广泛的含义，它包括环境条件(气候环境、生物化学环境、机械环境、电和电磁环境)、动力条件(电源、流体源)、负载条件(电子产品指输入电压、电流、负载阻抗等;机械产品指力、力矩、功率等)。必须记住:规定条件不同，产品可靠度大小截然不同。离开了具体规定条件谈可靠性高低是毫无意义的。(4)规定功能可靠性的实质。功能是反映产品的技术性能质量指标，它表征产品能完成任务的各种参量或性能指标。1.4本课题的主任务 目前，可靠性已是衡量机电产品质量的重要指标，可靠性技术已成为产品质量保证、安全性研究和产品责任预防措施的不可缺少的依据和手段。为此要求用现代可靠性设计法的基本理论和方法来重新评价机械产品的基本设计原则和过程。本论文的主要内容分为两部分：第一，对可靠性设计的基本概念进行论述，对可靠性设计中一些常规的理论有一定的认识，其次在这个基础上就机械零件强度可靠性设计进行深入的研究，为零件的可靠性设计提供一定的理论基础。 第二，以变速器轴为研究对象，对其进行受力分析，结合机械零件强的可靠性设计理论，在给定可靠度的情况下，对变速器轴进行静强度可靠性设计，确定出变速器轴的直径。以此为例为汽车零部件设计提供了正确的理论基础。2.零件可靠性设计的基本理论2.1 可靠性的定义评价一种机械产品的质量好坏，可以从技术性能、经济指标和可靠性三方面来考虑。机械产品的技术性能是指产品的功能、制造和运行状况的一切性能。经济指标是指机械产品在科研、设计、制造及运行中的费用，如研制投资费用、使用维修费用等。可靠性(Reliability)是指产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的能力。这里的产品是泛指的，它包括零件、部件、设备、机构、机械和系统等。所以讨论可靠性时，包括了零件、部件、设备、机构、机械和系统在规定条件下和规定时间内完成规定功能的能力。所以说，产品的可靠性，就是研究产品在各种因素作用下的安全问题，是衡量产品质量的一个重要的指标。它的内容包括产品的安全性、适用性、耐久性、可维修性、可贮存性及其组合。上面关于可靠性的定义只是可靠性的一般描述，没有任何数量表示。对于可靠性这样重要的问题，只有定性的定义或说明是远远不够的。在实际应用中，为了定量地进行分析计算，给出了可靠性的数量指标，引入了可靠度(Reliability)的概念：可靠度是指产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的概率。有时，为了计算方便，把可靠度定义为在某个寿命跨度上，产品实际上将留存的概率。根据这一定义，可靠性包含四个基本要素。(1) 规定的条件是指产品所处的外部环境条件，诸如运输条件、储存条件和使用时的环境条件，如载荷、温度、压力、湿度、辐射、振动、冲击、噪声、磨损、腐蚀、周围介质等等。此外，使用方法、维修方法、操作人员的技术水平等对设备或系统的可靠性也有很大影响。所以，同一种机械产品，在不同的外部环境条件下，其可靠性可能是不同的。(2) 规定的时间机械产品可靠性明显地与时间有关，可靠度是时间性的质量指标。任何产品都有其有效时间或使用时间，这一时间一般在设计时就予以确定，超出了这个时间，产品的可靠性会降低到规定的标准以下，不宜继续使用，或者再谈论产品的可靠性问题就没有意义了。也就是说，产品只能在一定的时间范围内达到目标可靠度，不可能永远保持目标可靠度而不降低。因此，对时间的规定一定要明确。这里的时间是广义的，根据产品的不同，定义中的时间概念，也可以用周期、应力循环次数、转数、或里程数等相当于时间的量，或其它相应于时间的单位来代替。这个概念可以包括被研究产品的任何观察期间，或是实际工作期间和贮存期等。(3) 规定的功能在设计任何一种产品时，都赋予它一定的功能，有些产品可能会有多种功能。产品可靠性所研究的，正是这些规定功能的实现情况。在可靠度的计算中，用概率将这种功能的实现情况定量地表示出来。这就隐含着所规定的产品功能可能会实现，同时也存在不会实现的可能性，也就是说允许有失效或者故障发生。(4) 概率概率是故障的定量度量，作为可靠性量度的概率(即可靠度)是条件概率，而且是在一定的置信度下的条件概率。所谓置信度，是指所求得的可靠度在多大程度上是可信的。进行产品可靠性分析的目的，就是将产品可靠性或故障的大小，用概率定量地表示出来，以保证产品具有足够的安全水平。2.2可靠性设计的基本概念常用的可靠性尺度有：可靠度，失效率，平均寿命、可靠寿命、中位寿命及特征寿命，维修度，平均修理时间，修复率，有效度和重要度等等。有了统一的可靠性尺度或评价产品可靠性的数值指标，就可在设计产品时用数学方法来计算和预测其可靠性；在产品生产出来后用试验方法等来考核和评定其可靠性。2.1.1 零件可靠度与失效率如前所述，可靠度是时间的函数，可表示为R=R(t)，称为可靠度函数，就概率分布而言，它又叫作可靠度分布函数，且是累积分布函数。因此，可靠度R或R=R(t)的取值范围是 (2.1)与可靠度相对应的是失效概率，又称为不可靠度，表示“产品在规定的条件下和规定的时间内不能完成规定功能的概率”，记为F，失效概率F也是时间t的函数，故又称为失效概率函数，并记为F(t)。同可靠度分布函数一样，失效概率也是累积分布函数，故又称为累积失效概率。显然，它与可靠度呈互补关系，即 (2.2)对不可靠度函数F(t)求导，则得失效密度函数f(t)，即 (2.3)所以 (2.4) (2.5) 失效密度函数又称为故障密度函数，在可靠度函数与失效概率函数如图2.1(a)所示的情况下，失效密度函数f(t)则如图2.1(b)所示。图2.1 可靠度函数与失效密度函数2.1.2 失效率失效率(Failure Rate)又称为故障率，其定义为“工作到某时刻时尚未失效(故障)的产品，在该时刻t以后的下一个单位时间内发生失效(故障)的概率”。失效率的观测值即为“在某时刻以后的下一个单位时间内失效的产品数与工作到该时刻尚未失效的产品数之比”。设有N个产品，从t=0开始工作，到时刻t时产品的失效数为n(t)。而到时刻t+时产品的失效数为你n（t+），即在时间内有个产品失效，定义该产品在时间内的平均失效率为 (2.6)当产品数，时间时，可得到失效率(故障率)的表达式为 (2.7)因失效率是时间t的函数，故又称为失效率函数。如果把前面的可靠度函数R(t)的定义联系起来,则可以这样定义失效率：失效率是产品一直到某一时刻t为止尚未发生故障的可靠度R(t)，在下一单位时间内可能发生故障的条件概率。换句话说，表示在某段时间内圆满地工作的百分率R(t)中在下一个瞬间将以何种比率发生失效或故障。按照这样的定义，失效率的表达式为 (2.8)或者 (2.9)所以不难求得： (2.11)可见，可靠度函数R(t)是把由0至t进行积分之后作为指数的指数型函数。 失效率函数有三种类型：随时间的增长失效率下降，如图2.4(a)所示；与时间无关，失效率保持一定值，如图2.2(b)所示；随时间的增长失效率增长，如图2.2(c)所示。当失效率与时间无关，失效率保持一定值，即cos时，式(2-10)变为 (2.11) 图2.2 三种类型失效率函数对应于上述三种失效率函数的形态，失效率曲线一般可分为递减型失效率曲线，恒定型失效率曲线和递增型失效率曲线。由许多零件构成的机器、设备或系统，在不进行预防性维修时，或者对于不可修复的产品，其失效率曲线的典型形态如图2.3所示，它是由上述三种形态的失效率曲线组成，反映了产品在其全部工作过程中的三个不同阶段或时期，即早期失效期、偶然失效期和耗损失效期。在早期失效期中，产品因在设计和制造工艺上的缺陷等因素而导致失效。如原材料有缺陷，制造工艺措施不当，生产设备发生故障，质量控制不严等，都可能造成早期失效。可以通过加强对原材料和工艺的检验，对产品进行质量管理，进行可靠性筛选等办法来淘汰早期失效的产品，从而提高产品的可靠性。这一时期的失效率，随着时间的增长而减少。这个时期的主要任务，是找出不可靠的原因，而使失效率稳定。早期失效时期终了之后，失效率就大体稳定下来，进入偶然失效期区域。在这一时期因为故障的发生是随机的，故称为偶然失效期。在这期间产品的失效率是最低的而且是稳定的，相当于产品的最佳运行状态时期。在规定的失效率下，最佳运行状态时期持续时间称为使用寿命或有效寿命。最后是失效率再度上升进入耗损失效期区域。耗损失效主要是由于产品的老化、疲劳、磨损和其它耗损造成的，因为这些因素失效率上升。改善耗损失效的方法是不断提高零部件的工作寿命。若能事先知道耗损失效期开始的时间，并在这个时期稍前一点时间作损耗件的事前更换，就可以把上升的失效率降下来，可以用这种办法延长可修复的产品的有效寿命。图2.3 失效率曲线2.3结构可靠度结构可靠度设计统一标准对结构可靠度的定义是在规定的时间和条件下，工程结构完成预定功能的概率。结构须完成的功能可用功能函数表示，而功能函数是多个随机变量函数，所以功能函数本身也是一个随机变量，这样在结构使用过程中，功能函数是大于0（可靠）还是小于零（失效）是不确定的，工程中需要分析的是是结构使用期内功能函数至少一次小于0的概率。由于结构可靠度数值上非常接近于1，没有用失效概率表达起来方便，习惯上多用失效率反映结构的可靠度统一标准在定义结构可靠度是包含了时间的噶年，这是因为可变载荷是一个随时间变化的随机过程，由于结构使用期内至少失效一次的概率，等价于结构在可变载荷最大值作用下失效的概率。如对两个随机变量的情形，设机构的抗力为R,可变载荷效应随机过程为S(t)，这里的结构抗力是指结构或构件地看作用效应的能力，如构件的强度刚度都属于结构抗力。结构t时刻的功能函数为： Z(t)=R-S(t) （2.12）这在使用期T内结构的可靠度为为：Ps=P=Z(t)0, t0,t=PZ(t)0 =pR-S(t)0 =PR-S(t)0=PR-ST0 （2.13）其中，ST=S(t)为结构使用期内可变载荷效应的最大值随机变量。载荷效应S均是指其使用期内的最大值ST。作为一般的情况，假定结构功能函数Z的概率密度函数fz（z）是已知的，则结构可靠度为：Ps=P（Z0）=z(Z)dz （2.14）结构失效概率有下式计算：Pf=（Z0）=z(Z)dz （2.15）而实际上很难知道结构功能函数的概率分布，一般情况下可以知道其表达式中各随机变量的概率分布。如机构的抗力为R，载荷效应为S，联合概率密度函数为fRS(r，s)，则随机点落入r,r+dr和s,s+ds所构成矩形区域的概率为fRS(r，s)drds。若结构功能函数为Z=R-S，则按照概率论的原理，结构的效率概率为 Pf=P（P0）=P(RS)= RS(r，s)drds （2.16）图2.4示出了联合概率密度函数fRS(r，s)的曲面以及失效率Pf几何意义，在三维坐标系中，他表示平面R=S所切开的联合密度体左半部分的体积。图2.4 两个变量时概率密度曲面和失效概率2.4 零件的可靠性设计机械零部件的设计中，可靠性已成为最重要的技术指标之一。可靠性同其它性能一样，都必须在研制过程中设计到产品中去，而由制造和管理来保证。对于产品的设计，必须考虑各参量的统计分散性，进行随机不确定分析，只有这样，才能更正确地反映产品的真实情况，使产品的设计工作性能与实际工作性能更加符合，得到既有足够的安全可靠性，又有适当经济性的优化产品。众所周知，由于制造精度、材质、环境等原因，机械零件的盈利极强度不可能常量，而一定范围内的随机变量。机械零件的应力、强度一般来说会出现以下三种状态（见图2.5）强度应力(a)应力强度(b)应力强度(c)图2.5 应力、强度分布的三种状态图2.5（a）中强度完全小于应力，这样的话，零件则百分之百失效，；图2.5（c）强度远远大于应力，虽说零件不会产生失效，但必然会导致为了保证强度而将零件做的傻大黑粗或材料的选取和工艺的处理较为费时费财，而造成浪费；而一般设计来说较多出现的是图2.5（b）出现的情况，这样就应用了可靠度的计算问题。2.4.1零件强度可靠性设计 由统计分布函数的性质可知，应力一强度两概率密度函数在一定条件下可能发生相交的区域就是零件可能出现失效的区域，称之为干涉区 (图2.6中阴影部分)。实际上，即使设计时无干涉现象，但当零部件在动载荷的长时间作用下，强度将逐渐衰减，如图2.6中的a位置沿着衰减退化曲线移到b位置，使应力、强度发生干涉，即强度降低，引起应力超过强度后造成不安全或不可靠的问题。图2.6 应力强度干涉图 (1)解析法求可靠度一个零件的可靠度，主要取决于应力强度分布曲线干涉的程度，如果应力与强度的概率分布已知，则可根据其干涉模型确定可靠度。当应力小于强度时不发生失效，应力小于强度的全部概率即为可靠度，可由下式表示： (2.17) 式中 应力；强度。相反，应力超过强度，将发生失效，应力大于强度的全部概率则为失效概率不可靠度，可用下式表示： （2.18）如设为应力分布的概率密度函数，为强度分布的概率密度函数，两者发生干涉部分的放大图如图2.7所示。图2.7应力强度干涉图 假定在横轴上任取一应力，并取一小单元，则应力存在于区间存在于区间内的概率等于面积，即强度大于应力的概率为： （2.19）如果应力与强度二随机变量相互独立时(该假设大部分是符合实际的)，则处于小区间的应力值和比该区间内应力值大的强度值，这两个事件同时发生的概率为：如果将变为随机变量，则可靠度为： (2.20)因，且，则相应的为： (2.21)同理，也可以类似计算失效概率： (2.22) (2.23)式(2-17)式(2-23)为求可靠度与失效概率的表达式。 (2) 应力强度均为正态分布时可靠度计算当应力与强度均为正态分布时，这些随机变量的概率密度函数可分别表达为： (2.24) (2.25)式中 、分别为应力及强度的均值；、分别为应力及强度的标准差。 令，由概率论知，因为、为正态分布，则的概率密度函数也呈正态分布。其均值与方差可分别表达为： (2.26) (2.27)的概率密度函数可表达为： (2.28)当或时产品可靠，可靠度可表示为： (2.29)如令 (2.30)则，当时，；当时，代入式(2-29)化成标准正态分布： (2.31)由于正态分布是对称分布，因此上式可变换成： (2.32) (2.33)称为可靠性系数或可靠度指数。已知可靠性系数为时，可从正态分布表中查得值，也可以给定值求可靠性系数。 (3) 应力与强度均呈对数正态分布时可靠度的计算当是一个随机变量，且服从正态分布，则称是一个对数正态随机变量，服从对数正态分布，其概率密度函数应为： (2.34)类似与式(2-33)，经变换其可靠性指数 为： (2.35)这里的和既不是对数正态分布的位置参数和尺度参数，也不是其均值和标准差，而是它的“对数均值”和“对数标准差”。根据可从正态分布表中查得值。 (4) 应力为指数分布、强度为正态分布时的可靠度计算应力为指数分布，其概率密度函数应为： (2.36)强度为正态分布，其概率密度函数应为： (2.37)由于指数分布只有正值，根据式(4-27)，可求得可靠度为： (2.38) (5) 随机变量函数的变异系数在机械设计中有大量函数形式的计算公式常包含多个随机变量之间的乘除关系，而且有些还是非线性的，对于这些函数的统计特征值，特别是标准差，可利用变异系数的概念，使这些函数从变量之间的乘除关系转化成变变异数之间的简单关系，这样既便于运算，也简化了运算过程。 变异系数的定义 具有平均值和标准差的随机变量的变异系数可定义为： (2.39) 变量为乘除关系函数的变异系数设两个变量(，)的函数为，当、为互相独立的随机变量时，由概率统计可知，其标准差为：Sz=(2s+2s)1/2 = (2.40)故的变异系数为 ，即 (2.41)同理，对于多变量函数，可求得其标准差为： (2.42) 值得注意的是，不论两个变量(，)之间是乘或是除，其函数变异系数的近似计算是相同的。因此，对于任何形式组成的多变量函数，其变异系数的计算也比其标准差的计算要简便得多。 在可靠性设计中应用变异系数作近似计算，有助于简化计算方法，减少计算程序，且与设计变量间函数关系所计算出的结果很接近。所以它不但可用于在给定可靠度条件下对零件进行可靠性综合设计，以确定零件必要的强度及基本结构尺寸；同样还可用于对现有产品或设计方案根据已知的设计变量进行可靠性设计，以评价及预测零件在强度上所具有的可靠程度。 (6) 安全系数的统计分析 常规设计中，安全系数被定义为材料的强度除以零件中量薄弱环节上的最大应力，其极限应力状态下的安全系数为： (2.43)式中 材料强度的量小值；工作应力的量大值。常用的安全系数用下式表示： (2.44)式中 材料强度均值。 实际上，由于、无明确的定量概念，加之材料强度具有离散性，零件薄弱环节上的最大工作应力在不同工况条件下也在变动，所以上述安全系数的定义具有某种不确定性。同时，它又没有和零部件的破坏概率相联系，所以上述安全系数不能较深入的揭示事物的本质。 如将常规状态下的安全系数引入设计变量的随机性概念(如材料强度、工作应力的概率分布)，可得出可靠度意义下的安全系数。 、为=50时材料强度取值和工作应力取值，这时平均安全系数可表示为： (2.45)如强度取=95的下限，工作应力取=99的上限，其可靠性安全系数可表示为： (2.46)前两式中的、均表示了不同可靠度意义下的安全系数。任意可靠度下的安全系数可表示为： (2.47)式中 、分别为强度、应力的标准正态偏量；、分别为强度、应力的变差系数。 因为可靠度对均值和标准差都很敏感，所以要得到一个较好的可靠度估计值，必须严格控制可靠度、应力的均值和标准差。 当应力、强度均为正态分布时，由正态分布联结方程得： (2.48)此式表明了可靠度、均值安全系数及变差系数之间的关系。 当应力、强度均为对数分布时，有： ，即 （2.49）于是，可靠性设计的均值安全系数为： (2.50) 对于给定的可靠度，可靠性指数为定值。由上式可知，应力及强度的变差系数、愈大(即应力和强度的离散性愈大)，则所需的安全系数亦愈大；反之，安全系数可小些。3.变速器轴的可靠性设计变速器的轴，已知：大齿轮分度圆直径d1=231mm, 小齿轮分度圆直径d2=91mm，小齿轮根圆直径d12=84mm,轴传递扭矩M1=44700N/cm。大齿轮受力：圆周力F1=38700N，径向力Fr1=14200N,轴向力Fa1=5500N,小齿轮受力：圆周力F2=98700N，径向力Fr2=36000N，轴向力Fa2=14000N。轴的材料为40CrNiMoA钢。按可靠度R=0.999设计轴。图3.1轴的受力情况分析表3.1正态分布相关代数运算函数均值标准方差=x+y=x+y2=x2+y2+2xyxy=x-y=x-y2=x2+y2+2xyxy=xy=xy2=x2y2+y2x2=x/y=x/y=1/y2(x2y2+y2x2)1/2=x2=x2=2xy为使情况简化均把力和力矩视为独立变量3.1 支座反力（1）垂直平面中的制作反力已知：（,SF1）=(38700,1935)N; (,SF2)=(98700,4935) (,Sa)=(12,1)cm; (,Sb)=(15,1)cm (,Sc)=(20,1)cm (,Sl)=(47,1)cm由轴的受力分析得到FRb=则支座B点的反力b及SR”B可求得（b，SR”B）=(1,SF1)( , Sb)+(1, ,SF1)( (,Sc)+ (2, SF2) (,Sc) /(,Sc)根据公式：=xy 2=x2y2+y2x2 =1/y2(x2y2+y2x2)1/2可求得式中的分子 (1,SF1)( , Sb)=（38700，1935）（15，1）=（5.8105，48375）同理： (1, ,SF1)( (,Sc)=（7.74105，54730）， (2, SF2) (,Sc)=（1.97105，139583）故 b=（5.8105+7.74105+1.97105）/ 47=70819N SR”B=1/472(5.8105)12+472483752+(7.74105)212+472543702+(1.97105)2 12+47213958321/2 =3496N同理求得C点的反力。故 （B , SR”B）=（70819，3496）N （B， SR”C）=(66580.85, 381)N（2）水平面中的反力已知：(a1, SFa)=(5500, 275)N; (a2, SFa2)=(14000,700)N (r1, SFr1)=(14200, 710)N; (r2, SFa2)=(14000. 700)N (1, Sd1)=(23.1, 1)cm; (2, Sd2)=(9.1, 1)cm同理可求得B,C点反力 (B, SRB)=(7451, 982)N; (C, SRC)=(14348, 1283)N（3）支点合力RB及RC 由于根据公式：=xy 2=x2y2+y2x2 =1/y2(x2y2+y2x2)1/2 得出： B=(B2+B2)1/2=(708192+74612)1/2 = 71210N SRB=(B2* SR”B2 + B2 * SR”B2) / （B2+B2）1/2 =(70819234962+745129822)/ (708192+74512)1/2 =3478N同理，可求得合力RC (B，SRB) =(71210, 3478)N； （C，SRC）=(68109, 3743)N3.2 用静强度法设计轴（1）求弯矩，由轴的受力图知，轴上有两个齿轮，故以两个截面进行讨论。垂直弯矩由轴的受力状态得到B点的垂直弯矩为M”I=R”Ba，结合公式：=xy 2=x2y2+y2x2 =1/y2(x2y2+y2x2)1/2得出： I=B=7081912=849828N/cm SM”I=B2Sa2+2SR”B21/2 =70819212+122349621/2=8232 N同理可求得截面II-II的垂直弯矩 （I，SM”I）=（849828，82321）N (II，SM”II) = (1331617，101388)N水平弯矩同理，可求得水平面上的弯矩 （1，SMI）=(89412, 13924)N/cm(1a, SMIa) =（25887, 26126）N/cm (1I, SMII)= (282960, 29399)N/cm (1Ia, SMIIa)=(350652, 27310)N/cn合成弯矩轴的合成弯矩为M1=M”2+M2 ，根据公式：=xy 2=x2y2+y2x2 =1/y2(x2y2+y2x2)1/2得出： I=（I2+ 12）1/2= (8498282+894122)1/2 =854518.66N/cm SMI=(I2* SM”I2+12* SMI2)/ (I2+12)1/2 =(8498282823122+894122139422)/( 8498282+894122)1/2 =81873N/cm同理，可求得其他截面上的合成弯矩 （I, SMI）= (854518.66, 81873)N/cm （Ia，SMIa）=(850222, 82275)N/cm （II, SMII）=(1362188, 92257)N/cm （IIa, SMIIa）=(1377011, 98224)N/cm图3.2 轴的受力状态（2）求轴的直径 求轴的直径主要考虑两个截面处的直径。在计算截面I-I时，用 （I, SMI）= (854518.66, 81873)N/cm计算截面a-a时用（IIa, SMIIa）=(1377011, 98224)N/cm 即选用弯矩的最大值作为依据。为了方便书写，以下均把角标a去掉。由文献2表，可查得当轴的材料为钼钢时，（，Sb）=（172900，16970）N/cm按轴的制造工艺，轴直径的公差为0.005，故可得： Sb=0.00167而扭矩可以取其为 （Mt, SMt）=（447000， 4500）N/cm I/c的均方差=（/32）3=0.000493则弯曲应力及其均值和方差可表示为，故可得 Sb=0.00167根据公式：=xy 2=x2y2+y2x2 =1/y2(x2y2+y2x2)1/2 I-I=I/(I/c)=(854518.66, 81873)/(0.09823, 0.000493) =870189/3 N/cm S I-I=1/(0.09823)2854518.662(0.00049)2+(0.009823)28187321/2 =834867/3 N/cm同理，可求得截面-的弯曲应力的均值和方差 （I-I，S I-I）=(870189/3, 834867/3) （II-II, S II-II）=(14022515.28/3, 1002891.869/3)如果另Ip/c=2I/c，则可求得