高考集合知识点总结及典型例题

集合一【课标要求】1. 集合的含义与表示（1） ）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2） ）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2. 集合间的基本关系（1） ）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2） ）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3. 集合的基本运算（1） ）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2） ）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3） ）能使用venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查， 并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体三【要点精讲】1集合：某些指定的对象集在一起成为集合-可编辑修改 -（ 1）集合中的对象称元素，若 a 是集合 a 的元素，记作 aa ；若 b 不是集合a 的元素，记作 ba ；（ 2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设a 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是a 的元素，或者不是 a 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性： 集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（ 3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（ 4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作 n ； 正整数集，记作n *或 n +；整数集，记作z； 有理数集，记作q ；实数集，记作r 。2集合的包含关系：（ 1）集合 a 的任何一个元素都是集合b 的元素，则称a 是 b 的子集（或b 包含 a），记作 ab（或 ab ）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若ab 且 ba，则称 a 等于 b，记作a=b；若 ab 且 ab，则称 a 是 b 的真子集，记作ab；（ 2）简单性质： 1 ）aa；2 ）a；3 ）若 ab，bc，则 ac；4 ）若集合a 是 n 个元素的集合，则集合a 有 2 n 个子集（其中2 n 1 个真子集）；3. 全集与补集：（ 1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作u ；（ 2）若 s 是一个集合， as，则，cs = x | xs且xa 称 s 中子集 a 的补集；（ 3）简单性质： 1 ） cs ( cs )= a； 2 ） cs s=， cs=s4. 交集与并集：（ 1）一般地，由属于集合a 且属于集合b 的元素所组成的集合，叫做集合a 与 b 的交集。交集ab x | xa且xb 。（ 2）一般地， 由所有属于集合a 或属于集合b 的元素所组成的集合，称为集合 a 与 b的并集。并集ab x | xa或xb注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或，在”处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（ 1）aaa, a, abba;（ 2）aa, abba;（ 3） ( ab)( ab);（ 4） ababa; ababb ；（ 5） cs （ ab） =（ cs a）（cs b）， cs （ ab） =（ cs a）（cs b）。四【典例解析】题型 1 ：集合的概念(2009 湖南卷理 )某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱兵乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12 例 1已知全集ur ，集合 m x2x12 和n x x2k1, k1,2,的关系的韦恩（venn ）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()a. 3 个b. 2 个c. 1 个d.无穷多个解析由 m x2x12 得1x3 ，则 mn1,3，有 2 个，选 b.例 2集合 a0,2, a , b1,a 2,若 ab0,1,2,4,16,则 a 的值为()a.0b.1c.2d.4题型 2 ：集合的性质例 3集合 a0,2, a , b1,a 2,若 ab0,1,2,4,16,则 a 的值为()a.0b.1c.2d.41. 设全集 u=r ， a=x n1 x10 ， b= x r x 2+ x 6=0 ，则下图中阴影表示的集合为（）a 2b 3c 3 ，2d 2 ， 32.已知集合 a=y|y 2 -(a2 +a+1)y+a(a 2 +1)0,b=y|y 2-6y+8 0，若 ab，则实数 a 的取值范围为（）例 4 已知全集s 1,3, x3x22 x ， a=1,2x1 如果cs a 0，则这样的实数 x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由题型 3 ：集合的运算x122例 5 已知函数f ( x)的定义域集合是a, 函数x2g( x)lg x(2 a1)xaa 的定义域集合是b（ 1 ）求集合a、b（ 2 ）若 ab=b, 求实数 a 的取值范围例 6已知集合a1,3,5,7,9, b0,3,6,9,12,则 a icn b()a.1,5,7b.3,5,7c.1,3,9d. 1,2,3题型 4 ：图解法解集合问题例 7（ 2009 年广西北海九中训练）已知集合m=2x | x2y1，n=y | xy1，9432则 mn（）ab ( 3,0), (2,0)c3,3d 3,2五【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1. 学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、=、 cs a、，等等；2. 强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3. 确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。 区别与、与、a 与a、与 、(1,2) 与1,2 ；n ab 时， a 有两种情况： a与 a若集合 a 中有 n (nn ) 个元素，则集合a 的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2 n 1,所有非空真子集的个数是2n2区分集合中元素的形式：如 a x | yx 22x1 ；b y | yx 22x1 ；c (x, y) | yx 22x1 ；d x | xx 22x1 ；e (x, y) | yx 22 x1, xz , yz ；f (x, y ) | yx22x1 ；2g z | yx2 x1, zy 。x空集是指不含任何元素的集合。 0、和 的区别； 0 与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为ab ，在讨论的时候不要遗忘了a的