高考理科数学全国1卷-含答案

2015 年高考理科数学试卷全国1 卷1. 设复数z 满足 11z = i ，则 |z|= （）z（ a） 1（ b）2（c）3（d） 22. sin 20o cos10ocos160o sin10 o= （）（ a）323（ b）2（ c）121（ d）23. 设命题p ：nn ,n 22n ，则p 为（）（ a）nn, n22n（ b）nn, n22 n（ c）nn, n22n（ d）nn , n2=2 n4. 投篮测试中，每人投3 次，至少投中2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（ a） 0.648（ b） 0.432（ c） 0.36（ d） 0.312x25. 已 知 m（ x, y ）是双曲线c：y21 上的一点，f , f 是 c上的两个焦点，若00122mf1mf20 ，则y0 的取值范围是（）（ a）（ -3333，）（ b）（ -，）3366（ c）（22 ， 2233）（ d）（23 ， 23 ）336. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有委米依垣内角， 下周八尺， 高五尺。 问: 积及为米几何 ?”其意思为 : “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 （）（ a） 14 斛（ b） 22 斛（ c） 36 斛（ d） 66 斛7. 设 d 为abc所在平面内一点bc3cd ，则（）（ a） ad1 ab4 ac（ b） ad1 ab4 ac3333（ c） ad41abac（ d） ad4 ab1 ac33338. 函数f (x) = cos(x) 的部分图像如图所示，则f ( x)的单调递减区间为（）（ a） ( k1 , k3 ), kz（ b） (2 k1 ,2 k3 ), kz4444（ c） ( k1 , k3 ), kz（d） (2 k1 ,2 k3 ), kz44449. 执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01 ，则输出的n=（）（ a） 5（ b） 6（ c） 7（ d） 810 ( x2xy)5 的展开式中，x5 y2 的系数为（）（ a） 10（b） 20（ c） 30（d） 6011. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为16 + 20，则 r= （）（ a） 1（ b）2（ c） 4（ d） 812. 设函数f ( x)= ex (2 x1)axa , 其中 a1，若存在唯一的整数x0 ，使得f ( x0 )0，则 a 的取值范围是（）（ a） -3 ， 1）（b） -3 ， 3 ）（ c） 3 ， 3 ）（ d）3， 1）2e2e42e42e13. 若函数 f （ x）= xln( xax2 ) 为偶函数，则a=14. 一个圆经过椭圆22xy1641 的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .x1015若 x, y 满足约束条件xy0，则 y 的最大值为 .xy40x16在平面四边形abcd中， a= b=c=75， bc=2，则 ab的取值范围是 .17（本小题满分12 分）2s 为数列 a 的前 n 项和. 已知 a 0， aa= 4s3 .nnnnnn（）求 an 的通项公式；（）设 bn1an an 1, 求数列 bn 的前 n 项和 .18. 如图，四边形abcd为菱形， abc=120 ， e， f 是平面 abcd同一侧的两点，be平面 abcd， df平面 abcd， be=2df，ae ec.（）证明：平面aec平面 afc；（）求直线ae与直线 cf所成角的余弦值.19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi 和年销售量yi （ i =1,2 ， 8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值 .xyw8i1( xiv) 28( wii 1w) 28( xii 1x)( yiy)8(wii 1w)( yiy)46.656.36.8289.81.61469108.8表中 wi18xi， w =wi 8i 1（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率z 与 x、y 的关系为z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1, v1 ) ,(u2 , v2 ) ， (un , vn ) , 其回归线 vu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：220（本小题满分12 分）在直角坐标系xoy中，曲线 c：y= x40）交与 m,n 两点，（）当k=0 时，分别求c 在点 m和 n 处的切线方程；与直线 ykxa （ a （） y 轴上是否存在点p，使得当k 变动时，总有opm= opn？说明理由 .21（本小题满分12 分）已知函数f （ x） = x3ax1 , g ( x)ln x .4（）当a 为何值时， x 轴为曲线yf ( x)的切线；（）用 mnim, n表示 m,n 中的最小值， 设函数h( x)minf ( x), g(x)(x0)，讨论 h（ x）零点的个数.22（本题满分10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲如图， ab是的直径， ac是的切线， bc交于 e.（）若d 为 ac的中点，证明：de是的切线；（）若 oa3ce ，求 acb的大小 .23（本小题满分10 分）选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线2c :x =2，圆 c：x12y21 , 以坐标原点12为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求c1 ， c2 的极坐标方程；（）若直线c3 的极坐标方程为r ，设4c2 与c3 的交点为m , n, 求c 2 mn 的面积 .24（本小题满分10 分）选修4 5：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|， a0.（）当a=1 时，求不等式f （ x） 1 的解集；（）若f （ x）的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围 .【答案解析】1.【答案】 a【解析】由11zi 得， z z1i = (11i(1i)(1i)(1i ) = i ，故 |z|=1 ，故选 a.i )o考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等. 2.【答案】 d【解析】原式= sin 20cos10ocos20osin10 o= sin30 o = 12，故选 d.考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 3.【答案】 c【解析】p :nn, n 22n ，故选 c.考点：本题主要考查特称命题的否定4. 【答案】 a【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为c 2 0.620.40.63 =0.648 ，3故选 a.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式5. 【答案】 a【 解 析 】 由 题 知f (3,0), f2(3,0)，x0y21， 所 以mfmf=120122(3x ,y )(3x ,y )= x2y233 y210 ，解得3y3 ，故选 a.0000000033考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法. 6.【答案】 b【 解 析 】 设 圆 锥 底 面 半 径 为r ， 则 123r48= r16， 所 以 米 堆 的 体 积 为3113(16 )25 = 320，故堆放的米约为3201.62 22，故选b.43399考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7. 【答案】 a【解析】由题知adaccdac1 bcac1 ( acab)=3314abac ，故选 a.33考点：平面向量的线性运算8. 【答案】 d【解析】由五点作图知，1+42，解得=， =，所以f (x)cos(x) ，5+344令 2kx2k 442, kz ，解得 2k1 x 2k 43 ， kz ，故单调减区4间为（ 2 k1 ， 2k43 ）， kz ，故选 d.4考点：三角函数图像与性质9. 【答案】 c【解析】 执行第 1 次，t=0.01,s=1,n=0,m=12=0.5,s=s-m=0.5,mm=0.25,n=1,s=0.52 t=0.01,是，循环，执行第 2 次， s=s-m=0.25, mm=0.125,n=2,s=0.25 t=0.01,是，循环，2执行第 3 次， s=s-m=0.125, mm=0.0625,n=3,s=0.125 t=0.01,是，循环，2执行第 4 次， s=s-m=0.0625, mm=0.03125,n=4,s=0.0625 t=0.01,是，循环，2执行第 5 次， s=s-m=0.03125, m执行第 6 次，s=s-m=0.015625, mm=0.015625,n=5,s=0.03125 t=0.01,是，循环，2m=0.0078125,n=6,s=0.015625 t=0.01,是，循环，2执行第7 次 ， s=s-m=0.0078125, m输出 n=7，故选 c.考点：本题注意考查程序框图5210. 【答案】 cm=0.00390625,n=7,s=0.0078125t=0.01,否，2【解析】在( x2xy) 的 5 个因式中， 2 个取因式中x剩余的 3 个因式中1 个取 x ，其余因式取y, 故 x5 y2 的系数为c 2 c1c 2 =30，故选 c.532考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数 .【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解 .11. 【答案】 b【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为14r 22r2rr 22 r2r =5r 24r 2 =16 + 20，解得 r=2 ，故选 b.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12. 【答案】 d【解析】设g( x)= ex (2 x1) ， yaxa ，由题知存在唯一的整数x0 ，使得g( x0 ) 在直线 yaxa 的下方 .因为 g(x)ex (2 x11) ，所以当 x11 时， g2( x) 0，当 x1 时， g2( x) 0，所以当 x时， g (x) max = -2e 2 ，2当 x0 时，g (0)=-1 ，g (1)3e0 ，直线yaxa恒过（ 1,0 ）斜率且a ，故ag (0)1，且g(1)3e 1aa ，解得32e a 1，故选 d.考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13. 【答案】 1【解析】由题知 y2ln( xax ) 是奇函数，所以ln( xax2 )ln(xax2 )= ln( ax2x2 )ln a0 ，解得 a =1.考点：函数的奇偶性3 222514. 【答案】 (x)y24【解析】设圆心为（a ， 0），则半径为4a ，则 (4a)2a 222 ，解得 a3 ，故2圆的方程为( x3) 2y225 .24考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程15. 【答案】 3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点a（ 1,3 ）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法16.【答案】（62 ，6+2 ）【解析】如图所示，延长ba， cd交于 e，平移 ad，当 a 与 d 重合与 e 点时， ab 最长，在 bce中， b=c=75， e=30， bc=2，由正弦定理可得bcbe，即2besinesincoosin 30sin 75，解得 be =6+2 ，平移ad ，当 d 与 c 重合时， ab 最短，此时与ab 交 于f， 在 bcf 中 ， b= bfc=75 ， fcb=30 ， 由 正 弦 定 理 知 ，sinbfbcfcbsinbfc，即bf sin 30o2，解得bf=62 ，所以ab 的取值sin 75o范围为（62 ，6+2 ） .考点：正余弦定理；数形结合思想17. 【答案】（） 2n【解析】1 （）1164n6试题分析： （）先用数列第n 项与前 n 项和的关系求出数列an 的递推公式，可以判断数列 an 是等差数列， 利用等差数列的通项公式即可写出数列an 的通项公式；（）根据（）数列bn 的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和 .试题解析： （）当 n1 时， a 22a4s34a +3 ，因为 a0 ，所以 a =3，1111n122当n2时，ananan 1an 1=4sn34 sn 13=4 an，即(ana1n)( an1 an)2 a，(n因为aan n)0 ，所以 anan 1 =2，所以数列 an 是首项为3，公差为2 的等差数列，所以 an = 2n1 ；（）由（）知，b =11 (11) ，n(2 n1)(2n3)22n12n3所以数列bn前n项和为b1b2bn=1 ( 11 )(11 )(11) = 11.235572n12n364 n6考点：数列前n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法318. 【答案】（）见解析（）3【解析】试题分析：（） 连接 bd，设 bdac=g， 连接 eg，fg，ef，在菱形 abcd中， 不妨设 gb=1易证 eg ac，通过计算可证eg fg，根据线面垂直判定定理可知eg平面 afc，由面面垂直判定定理知平面afc平面 aec；（）以 g为坐标原点，分别以gb,gc 的方向为 x 轴， y 轴正方向， | gb| 为单位长度，建立空间直角坐标系g-xyz，利用向量法可求出异面直线ae 与 cf所成角的余弦值.试题解析：（）连接 bd，设 bdac=g， 连接 eg，fg，ef，在菱形 abcd中，不妨设 gb=1，由 abc=120，可得ag=gc= 3 .由 be平面 abcd，ab=bc可知， ae=ec，又 aeec， eg= 3 ， egac，在 rt ebg中，可得be=2 ，故 df=2 .2在 rt fdg中，可得fg=6 .2在直角梯形bdfe中，由 bd=2， be=2 ，df=222可得 ef=32 ，2 eg 2fg 2ef， egfg，acfg=g， eg平面 afc， eg面 aec，平面afc平面 aec.（）如图，以g为坐标原点，分别以gb,gc 的方向为x 轴， y 轴正方向， | gb| 为单位长度， 建立空间直角坐标系g-xyz ，由（） 可得 a（ 0，3 ，0），e（ 1,0,2 ），f（ 1,0 ，22），c（ 0，3 ，0）， ae =（ 1，3 ， 2 ），cf =（ -1 ，-3 ，22）.10分故 cosae ,cfaecf3.| ae | cf |3所以直线ae 与 cf所成的角的余弦值为3 .3考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19. 【答案】（） ycdx 适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（） y100.668x （） 46.24【解析】试题分析： （）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令w x ，先求出建立 y 关于 w 的线性回归方程， 即可 y 关于 x 的回归方程；（）（）利用 y 关于 x 的回归方程先求出年销售量 y 的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值， 列出关于 x 的方程， 利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.试题解析：（） 由散点图可以判断， y c d x 适合作为年销售 y 关于年宣传费用 x 的回归方程类型 .8(wiw)( yiy)（）令wx ，先建立y 关于 w 的线性回归方程，由于i 1d=8i( ww)2i 1108.8 =68 ，16 cydw =563- 686.8=100.6. y 关于 w 的线性回归方程为y100.668w ， y 关于 x 的回归方程为y100.668x .（）（）由（）知，当x =49 时，年销售量y 的预报值y100.66849 =576.6 ，z576.60.24966.32 .（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值z0.2(100.668x)xx13.6x20.12 ，当x =13.6 =6.8 ，即 x246.24时， z取得最大值 .故宣传费用为46.24 千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20. 【答案】（）axya0 或axya0 （）存在【解析】试题分析： （）先求出m,n 的坐标，再利用导数求出m,n. （）先作出判定，再利用设而不求思想即将ykxa 代入曲线 c的方程整理成关于x 的一元二次方程， 设出 m,n 的坐标和p 点坐标，利用设而不求思想，将直线pm， pn的斜率之和用a 表示出来，利用直线 pm， pn的斜率为0, 即可求出a, b 关系，从而找出适合条件的p 点坐标 .试题解析：（）由题设可得m (2a, a)，n (22, a) ， 或m ( 2 2, )a ，n (2a , a) . y1 x ，故2x2y在 x = 22a 处的到数值为a ，c在 (22 a, a) 4处的切线方程为yaa ( x2a ) ，即axya0 .x2故 y在 x =- 22a 处的到数值为-a ，c 在 (22a, a) 处的切线方程为4yaa (x2a ) ，即axya0 .故所求切线方程为axya0 或axya0 .（）存在符合题意的点，证明如下：设 p（ 0，b）为复合题意得点，m (x1 , y1 ) ，n ( x2 , y2 ) ，直线 pm，pn的斜率分别为k1, k2 .将 ykxa 代入 c 得方程整理得x24kx4a0 . x1x24 k, x1x24a . k1k2y1by2 x1x2b2kx1x2=(ab)( x1 x1 x2x2 )= k (ab) .a当 ba 时，有 k1k2 =0，则直线 pm的倾斜角与直线pn的倾斜角互补，故 opm=opn，所以p (0,a) 符合题意 .考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力335321.【答案】（） a；（） 当 a或 a时， h(x) 由一个零点； 当 a44445或 a时，h(x)5有两个零点；当a3时， h( x)有三个零点 .444【解析】试题分析： （）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 a 值；（）根据对数函数的图像与性质将x 分为 x点个数，若零点不容易求解，则对a 再分类讨论 .1, x1,0x1 研究h( x) 的零试题解析：（） 设曲线yf ( x) 与 x 轴相切于点( x0 ,0) ，则f (x0)0， f( x0 )0 ，x3ax1000即4，解得 x01 , a3 .03x2a因此，当 a03时， x 轴是曲线424yf ( x) 的切线 .（）当 x(1,)时， g( x)ln x0 ，从而h( x)minf (x), g( x)g(x)0 ， h( x)在（ 1，+）无零点 .当 x =1 时，若 a5 ，则 f 1()4a5 04，h(1)minf (1), g (1)g (1)0 , 故 x =1是 h( x)的零点； 若 a5 ，则 f (1)4a504， h(1)minf (1), g(1)f (1)0 ,故 x =1 不是h( x)的零点 .当 x(0,1) 时，g (x)ln x0 ，所以只需考虑f ( x) 在（ 0,1 ）的零点个数.（） 若 a3 或 a0 ，则 f2(x)3 xa 在（ 0,1 ）无零点，故f ( x) 在（ 0,1 ）单调，而f (0)1 ， f4(1)5a，所以当 a43 时，f ( x)在（ 0，1）有一个零点；当a0 时，f (x)在（ 0， 1）无零点 .（）若3a0 ，则f ( x)在（ 0，a）单调递减，在（3a， 1）单调递增，3故当 x =a 时 ， f(x)取的最小值，最小值为f (a ) = 2aa1 .33334 若 f (a ) 0，即3 a 0，f ( x)在（ 0,1 ）无零点 .34 若 f(a ) =0，即3a3 ，则4f (x)在（ 0,1 ）有唯一零点； 若f (a ) 3 0 ， 即3a3 ， 由 于4f ( 0 )1 ，f (1)4a5 ， 所 以 当4535a时， f