人教版高中不等式复习讲义(含答案-超经典!)

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：(1) 对称性： abba(2) 传递性： ab,bcac(3) 加法法则：abacbc ； ab, cdacbd ( 同向可加 )(4) 乘法法则：ab,c0acbc ；ab, c0acbcab0, cd0acbd( 同向同正可乘)(5) 倒数法则：ab,ab011ab(6) 乘方法则：ab0a nbn ( nn * 且n1)(7) 开方法则：ab0n anb (nn * 且n1)2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差变形判断符号结论）3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax 2bxc0或ax 2bxc0 a0 的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc0 a0 的两根为x 、 x且 xx ，b 24ac ，1212则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数2yaxbxc2yaxbxc2yaxbxc2yaxbxc（ a0 ）的图象（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式ax+by+c 0 在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0 某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线ax+by+c=0 同一侧的所有点(x, y ) ，把它的坐标（x, y ) 代入 ax+by+c，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0 ,y 0)，从ax 0+ by0+ c 的正负即可判断ax+ by+ c 0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当c0 时，常把 原点 作为此特殊点）3、线性规划的有关概念： 线性约束条件 ：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x、y 的一次不等式，故又称线性约束条件 线性目标函数 ：关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y 的解析式，叫线性目标函数 线性规划问题 ：一般地， 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（ 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；（ 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（ 3）依据线性目标函数作参照直线ax+b y0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解（四）基本不等式abab 21. 若 a,br ,则 a2+b22ab,当且仅当a=b 时取等号ab2. 如果 a,b 是正数，那么2ab (当且仅当 a2b时取 号).变形：有:a+b 2ab ； abab2,当且仅当a=b 时取等号3. 如果 a,b r+ ,ab=p (定值 ),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值 2p2如果 a,b r+ ,且 a+b=s (定值 ),当且仅当a=b 时,ab 有最大值s.4注：（ 1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4. 常用不等式 有：（ 1）a 2b 22abab 22( 根据目标不等式左右的运算11结构选用 )；（ 2） a、 b、cr， a2b2c2ababbcca （当且仅当abc 时，取等号）；（ 3）若 ab0, m0 ，则 bbmaam（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解（一）不等式与不等关系题型一：不等式的性质1. 对于实数a,b, c 中，给出下列命题： 若ab,则ac 2bc 2 ； 若ac 222bc 2 , 则ab ；11 若ab0,则ababb； 若aab0, 则；ab 若ab0, 则 a； 若abb0,则 ab ； 若cab0,则acab11； 若ab,，则 a cbab0,b0 。其中正确的命题是 2题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2. 设a2 ， pa1， qa2a 2 4a2，试比较p, q 的大小3. 比较 1+log x3 与 2 log x 2(x0且x1) 的大小4. 若 ab是.1, plg alg b, q1 (lg a2lg b), rlg(ab) ，则 p,q, r 的大小关系2（二）解不等式题型三：解不等式5. 解不等式6. 解不等式 ( x1)( x2)20 。7. 解不等式5xx22x318. 不等式ax 2bx120 的解集为 x|-1 x2 ，则 a = , b= 9. 关于 x 的不等式 axb集为0 的解集为(1,) ，则关于 x 的不等式 axbx20 的解10. 解关于 x 的不等式ax2( a1)x10题型四：恒成立问题11. 关于 x 的不等式a x2 + a x+1 0恒成立，则a 的取值范围是 12. 若不等式围.x22 mx2m10 对 0x1的所有实数 x 都成立，求m 的取值范13. 已知 x0, y0 且 191 ，求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范围。xy（三）基本不等式题型五：求最值abab 214. （直接用）求下列函数的值域（ 1） y3x 2 1 2（ 2） y x12xx15. （配凑项与系数）（ 1）已知 x5，求函数y44x214x5的最大值。（ 2）当时，求yx(82 x) 的最大值。16. （耐克函数型）求yx27 x10 ( x1) 的值域。x1注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数单调性。f ( x)x a 的x17. （用耐克函数单调性）求函数yx25x24的值域。18. （条件不等式）（1） 若实数满足ab2 ，则3 a3b 的最小值是.（2） 已知 x0, y0 ，且 191 ，求 xy 的最小值。xy22（3） 已知 x， y 为正实数，且x 2 y2 1，求 x1 y的最大值 .（4） 已知 a， b 为正实数， 2b ab a 30，求函数y 1ab的最小值 .题型六：利用基本不等式证明不等式19. 已知a, b, c 为两两不相等的实数，求证：a 2b 2c 2abbcca20.正数 a， b， c 满足 a bc 1，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc21. 已知 a、b、 cr ，且 abc1。求证：1111118abc题型七：均值定理实际应用问题：22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2 的三级污水处理池（平面图如 图），如果池外圈周壁建造单价为每米400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。（四）线性规划题型八：目标函数求最值23. 满足不等式组2 xy7 xy x, y308 0 ，求目标函数0k3xy 的最大值24.已知实系数一元二次方程x2(1a ) xab10的两个实根为x1 、x2 , 并且0x12 , x22 则b的取值范围是a125. 已知x, y 满足约束条件：x03x4 y4xy02,则2y2x的最小值是26. 已知变量x, y满足约束条件x2 yx 3 yy 103030. 若目标函数zaxy （其中a0）仅在点（ 3， 0）处取得最大值，则a 的取值范围为。27. 已知实数 x， y 满足y1，y2x1，如果目标函数zxy 的最小值为1 ，则实数 m 等于xym（）题型九：实际问题28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35 元，售价 50 元；凤梨月饼每个成本20 元，售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10 个，售价不超过350 元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？复习不等式的基本知识参考答案高中数学必修内容练习-不等式1.；2. pq ；443. 当 0x1或x时， 1+ log x 3 2log x 2 ；当 13x时， 1+ log x 3 2log x 2 ；当34x时， 1+ log x33 2log x 24. ab1 lg a0,lg b0 q1 （ lg a2lg b)lg alg bpabrlg() 2lgab1lg abq2rqp 。5.6. x | x1或 x2 ；7.(1,1)(2,3) ）；8.不等式ax2bx120 的解集为 x|-1 x 2 ，则 a = -6 , b= 6 9.(,1)( 2,) ）.10. 解：当 a0 时，不等式的解集为x x1；2 分当 a0时， a( x 1 )( x 1)0；当 a 0时，原不等式等价于(xa1 )(x1) 0a不等式的解集为x x1或x11；6 分a1当0a 1时， 11，不等式的解集为ax 1x1；8分a当 a 1时， 1，不等式的解集为axx1 a；10分当 a 1时，不等式的解为 12 分11. 0x 4 112.m）213.m,162x14.解：（ 1）y3x 2 1 2 23x 212x 26值域为 6 ，+）11x（2）当 x0 时， y xx 2xx2；当 x0 时， y x1x= （x 11） 2xx= 2值域为（，2 2， +）15.16.（ 1）解x5 ,54x0 ，y4 x2154x1323144x554x当且仅当54 x1，即 x54x1 时，上式等号成立，故当x1 时，ymax1 。（2）当，即 x2 时取等号当 x2 时，y x(82 x) 的最大值为8。17.18. 解析一：当, 即时, y2 （ x1)4x159 （当且仅当x 1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。y(t1)27(t1）+10t 2=5t4t45ttt4当, 即 t=时, y2tt59 （当 t=2 即 x 1 时取“”号）。19. 解：令x24t(t2) ，则 yx 25x2411t( t2)x24x24t因t0, t1 t1 ，但 t1 解得 tt1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为 yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y5 。1t25所以，所求函数的值域为,。220.abab21. （条件不等式）（1） 解：3a 和3 b 都是正数，3 a3b 233236当 3 a3 b 时等号成立， 由 ab2 及 3 a3 b 得 ab1即当 ab1时， 3 a3b 的最小值是6（2） 解：19x0, y0,1，19x yxyy 9x1061016xyxyxyy9 x19当且仅当时，上式等号成立，又xy1 ，可得 xxy4, y12 时，xy min1621 y 21y 2（3） 解： x1 y x222 x2 21y 2下面将 x，2 2分别看成两个因式：21y 222y 211y 2x2 2x (2 2)230 2bx 2 232430 2b即 x1 y 2 2 x2 b 2 30b1y 232 2 42（4） 解：法一： ab1，abb 1 bb 1由 a0 得， 0 b15令 tb+1， 1t16，ab 2t 2 34t 31t 2（t16t） 34 t16t 2t16t8 ab18 y118 当且仅当 t 4，即 b3，a 6 时，等号成立。法二：由已知得：30 ab a2b a2b22 ab 30ab22 ab2令 uab则 u 22 u 300， 52 u321ab 32 ， ab 18， y1822. 已知a, b, c 为两两不相等的实数，求证：a 2b 2c 2abbcca23.正数 a， b，c 满足 abc 1，求证： (1 a)(1b)(1 c)8abc24. 已知 a、b、cr ， 且abc1 。求证：1111118abc证明：a、b 、cr ， abc1。111abc2bc。同理112ac ，aaaabb112a