2019_2020学年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计讲义苏教版必修3.docx

2.3总体特征数的估计学 习 目 标核 心 素 养1.通过实例理解样本的数字特征，如平均数、方差、标准差2会计算所给样本的平均数、方差、标准差(重点)3能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释(难点)1.通过求平均数、方差、标准差，提高学生的数学运算核心素养2通过对平均数、方差、标准差的分析比较来解决问题，培养学生的数据分析核心素养.1众数一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数2中位数把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数3平均数(1)若给定一组数据a1，a2，an，则称ai为这n个数据的平均数或均值(2)若一组数据中取值为a1，a2，an的频率分别为p1，p2，pn，则其平均数为a1p1a2p2anpn.4方差与标准差一般地，设样本数据分别是x1，x2，xn，样本的平均数为，则称s2(x1)2(x2)2(xn)2为这个样本的方差，其算术平方根s为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差5极差一组数据的最大值与最小值的差称为极差1下面是高一(8)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99, 101,118,98,110，则该组数据的中位数是_98将这组数据从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99, 101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数为98.2在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是_分钟68平均每天所需时间为68.3某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2_.325个数据的平均数7.所以s2(107)2(67)2(87)2(57)2(67)23.2.4已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为_平均数(12345)3，所以s.平均数、众数、中位数【例1】(1)一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178,178,182,182,178,180,178,180,181,180,181,180,180,182.则这个球队的队员平均身高是_cm(精确到1 cm)(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：12.5,14.5)，6,0.06；14.5,16.5)，16,0.16；16.5，18.5)，18,0.18；18.5,20.5)，22,0.22；20.5,22.5)，20,0.20；22.5,24.5)，10,0.10；24.5,26.5，8,0.08.则该样本数据的平均数为_(1)180(2)19.42(1)法一：利用平均数的定义计算：平均身高(178178182182178180178180181180181180180182)2 520180(cm)法二：利用加权平均数公式计算：平均身高(1784182318051812)2 520180(cm)法三：利用新数据法进行计算：取a180，将各数据同时减去180，得到一组新数据：2，2,2,2，2,0，2,0,1,0,1,0,0,2.这组新数据的平均数为(24230512)0，所以平均身高a1800180(cm)(2)利用频率平均数公式计算：样本数据平均数13.50.0615.50.1617.50.1819.50.2221.50.2023.50.1025.50.0819.42.1一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数公式(x1x2xn)来计算2如果x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数是mA当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，本例中“法三”可以减少运算量，故此法比较简便3一般地，如果在n个数中，x1出现的频数为f1，x2出现的频数为f2，xk出现的频数为fk(其中f1f2fkn)，那么(x1f1x2f2xkfk)ifi叫做这n个数的频数平均数，也称加权平均数，其中f1，f2，fk叫做权4一般地，若取值为x1，x2，xn的频率分别为p1，p2，pn，那么其平均数为x1p1x2p2xnpn.如本例(2)中求平均数方法提醒：当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求平均数1某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是_1498克平均数为149.8(克)2将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为，则新数据的平均数是_3.1设原来数据为a1，a2，an，则a1a2ann，从而新数据的平均数为3.1.极差、方差与标准差【例2】求一组数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的：(1)极差；(2)方差；(3)标准差解(1)该组数据中最大值为9，最小值为5，故该组数据的极差为954.(2)求方差可以有三种方法：法一：因为(74628259)7，所以s2(77)2(67)2(77)21.2，法二：同“法一”，求得7，所以s2(72628272)10721.2，法三：将各数据减去7，得一组新数据：0，1,1,1，2,2,0,0，1,0，则0，所以77.所以s202(1)2120210021.2.(3)由(2)知，标准差s.1极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感2方差的计算(1)s2(x1)2(x2)2(xn)2；(2)s2(xxxn2)；(3)s2(xxx)2.3方差的性质(1)数据x1，x2，xn与数据x1a，x2a，xna的方差相等(2)若数据x1，x2，xn的方差为s2，则数据ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2(a，bR)(3)标准差、方差的范围为0，)4标准差的计算方差的算术平方根即标准差，要求标准差先求出方差，再开方取其算术平方根即可提醒：方差、标准差的单位不一致要注意区别3若一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，则该组数据的标准差s_.由平均数为5，得a55(2378)5，则s2(3222223202)，s.4已知样本x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则样本4x11,4x21,4x31,4x41,4x51的标准差是_4根据方差的性质知4x11,4x21,4x31,4x41,4x51的方差为42348.所以其标准差为4.平均数、方差与标准差的应用【例3】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.经预测，成绩超过1.65 m就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m方可获得冠军呢？思路点拨：解甲的平均成绩和方差：甲(1.701.651.67)1.69，s(1.701.69)2(1.651.69)2(1.671.69)20.000 6.乙的平均成绩和方差：乙(1.601.731.75)1.68，s(1.601.68)2(1.731.68)2(1.751.68)20.003 15.显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m方可获得冠军时，应派乙参加比赛在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差)，方差(标准差)越大，说明取值分散性越大，方差(标准差)越小，说明取值分散性越小，取值比较集中、稳定5假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.根据以上数据估计两个供货商的交货情况：哪个供货商交货时间短一些？哪个供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商？思路点拨：先分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，再作判断解甲(10910)10.1，s(10292102)10.120.49；乙(81012)10.5，s(82102122)10.526.05s.从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货时间短一些；从方差来看，甲供货商的交货时间较稳定因此甲供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商6从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？思路点拨：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数解(1)甲(25414037221419392142)30(cm)，乙(27164427441640401640)31(