恒成立问题与有解问题的区别

恒成立问题与有解问题的区别恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，在近几年的高考试题中，越来越受到高考命题者的青睐，涉及恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文就恒成立与有解问题做一比较。1 、恒成立问题1.1 恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0), 若 y=f(x) 在m,n 内恒有 f(x)0 ，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于精品资料a） f0(m)0 或）a0 f (n)0亦可合并定成f ( m)f ( m)0f ( n)00同理，若在 m,n 内恒有 f(x)2p+x恒成立的x 的取值范围。分析： 在不等式中出现了两个字母：x 及 p, 关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 ， 2 内关于 p 的一次函数大于0 恒成立的问题。略解：不等式即(x-1)p+x 2 -2x+10, 设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1, 则 f(p) 在-2,2 上恒大于0 ，故有：f (2)0x 24 x30x3或x1f (2)x 210即解得：x1或x1x3.1.2 恒成立问题与二次函数联系a0若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a 0) 大于 0 恒成立，则有0 ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例 2 、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x-1,+)时，都有f(x)a 恒成立，求a 的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1,+)时恒大于0 的问题。解：设 f(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=4 （ a-1)(a+2)0时，即 -2a1时，对一切x-1,+) ， f(x)0 恒成立； ）当=4 （ a-1)(a+2)0 时由图可得以下充要条件：0f (1)0(a1)( a2)0a302a1,2即a1,得-3a-2;综合可得a 的取值范围为 -3 ， 1 。1.3 恒成立问题与变量分离联系若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例 3 、已知当xr 时，不等式a+cos2x5-4sinx+5a4恒成立，求实数a 的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a 及 x，其中 x 的范围已知（xr），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及 x 分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即5a4 a+2上式等价于a205a405a4(a2) 2或a205a40解得 4a8 。5注：注意到题目中出现了sinx 及 cos2x ， 而 cos2x=1-2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。2 、有解问题2.1 有解问题与二次不等式联系例 4 、不等式kx2k20 有解，求 k 的取值范围。2k22解：不等式kx2k20 有解k( x21)2 有解kx21 有解x21max，所以 k(，2) 。2.2 有解问题与绝对值不等式联系x2例 5 、对于不等式x1a ，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是 m ；对于任意x0，5 ，使此不等式恒成立的实数a 的集合为n ，求集合 m， n 2 x1(x1)，f (x)x2x13(1 x 2)，解：由2 x1(x2).又 af ( x) 有解af ( x) min3 ，所以 m a a3 令 g ( x)x2x1，x0，5， ag( x)恒成立ag( x)maxg (5)9 n a a9所以2.3 有解问题与导数联系例 6 、（ 06 年湖北）设x=3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e3 x,xr 的一个极值点.(1) 求 a 与 b 的关系（用a 表示 b），并求 f(x) 的的单调区间；a 2（ 2 ）设 a0 ，g(x)=25ex 4，若存在 s1 ，s 20 ，4 ，使得 |f(s 1 )-g(s 2)|1 成立，求 a 的取值范围.解析：（ 1 ） f( x) x 2(a2) xbae3 x，由f(3) =0 得 b=-2a-3.故 f(x)=(x 2+ax-2a-3)e3 x因为 f( x) =-x 2 +(a-2)x-3a-33 x3 xee=-(x-3)(x+a+1).由 f(x) =0 得： x 1=3 ， x2=-a-1.由于 x=3 是 f(x) 的极值点，故x 1x2 ，即 a -4.当 a-4 时， x1-4 时， x1x 2，故 f(x) 在,a1 上为减函数，在-a-1 ， 3 上为增函数，在3,上为减函数.(2) 由题意，存在s1 ， s 20 ， 4 ，使得 |f(s 1 )-g(s 2)|1 成立，即不等式|f(s 1)-g(s 2)|1 在 s1， s20 ， 4 上有解 .于是问题转化为|f(s 1)-g(s 2)| m in 0 ，则 -a-10 ，由（ 1）知： f(x) 在0， 3 递增；在 3 ， 4 递减 .故 f(x) 在0 ，4 上的值域为 minf(0),f(4),f(3)=-(2a+3)e3,a+6 ，2a而 g(x)=25xe4在0 ， 4 上显然为增函数，其值域a225,a225e4442251 2225因为 a(a6)(a)0, 故 aa6424a 225(a6)13|f(s 1)-g(s 2)|min225= a( a46) ，从而解4a0,得0a.2故 a 的取值范围为0, 3。2假若问题变成：“对任意的s1 ， s20 ， 4 ，使得 |f(s 1 )-g(s 2 )|1 都成立，求a 的取值范围 .”则可将其转化为 |f(s 1)-g(s 2)| max1 。点评：函数、不等式、导数既是研究的对象，又是决问题的工具.本题从函数的极值概念入手，借助导数求函数的单调区间，进而求出函数闭区间上的值域，再处理不等式有解问题。这里传统知识与现代方法交互作用，交相辉映，对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查。3 、恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。（ 1 ）不等式f(x)k 在 xi 时恒成立f max ( x)k, xi.或 f(x) 的上界小于或等于k；（ 2 ）不等式f(x)k 在 xi 时恒成立f min ( x)k, xi.或 f(x) 的下界大于或等于k；（ 4 ）不等式f(x)k 在 xi 时有解f max ( x)k , xi.或 f(x) 的上界大于k；解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。例 7 、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ， g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中 k 为实数。（ 1 ）对任意x-3 ， 3 ，都有 f（ x) g(x) 成立，求 k 的取值范围；（ 2 ）存在 x-3 ， 3 ，使 f（ x) g(x) 成立，求k 的取值范围；（ 3 ）对任意x1、x 2-3 ， 3 ，都有 f（ x 1)g(x 2) ，求 k 的取值范围。解析：（ 1）设 h(x)=g(x)-f(x)=2x2 -3x 2 -12x+k ，问题转化为x-3 ，3 时，h(x) 0 恒成立， 故 h min (x) 0.令 h (x)=6x 2-6x-12=0 ，得 x= -1 或 2 。由 h(-1)=7+k ， h(2)=-20+k ， h(-3)=k-45 ， h(3)=k-9 ，故 h min (x)=-45+k ，由 k-45 0，得 k 45.（ 2 ）据题意：存在 x-3 ，3 ，使（fx) g(x) 成立，即为：h(x)=g(x)-f(x) 0 在 x-3 ，3 有解，故 h max(x) 0 ，由（ 1 ）知 h max（ x） =k+7 ，于是得k -7 。（ 3 ）它与（ 1 ）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1 ，x 2-3 ， 3 ，都有f（ x1 )g(x 2 )成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x 1， x 2 的取值在 -3 ， 3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：f max ( x)gmin ( x), x3,32，由 g (x)=6x 2 +10x+4=0 ，得 x=- 3 或-1 ，易得g min ( x)g(3)21 ，又 f(x)=8(x+1) 2-8-k ， x3,3 . 故f max ( x)f (3)120k.令 120-k -2