平面向量的线性运算以及坐标运算

一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量(注意零向量，单位向量)数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加（减）法运算： 三角形法则的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点：共起点 三角形不等式：ababab 运 算 性 质 ： 交 换 律 ： abba； 结 合 律 ：精品资料abcabc； a00aa ca3、向量数乘运算：b 实数与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa ；abcc 当0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，a 的方向与 a的方向相反；当0 时，a0 运算律： aa ； aaa ； abab 二、同步例题分析例 1、 判断下列命题的真假。（ 1）零向量是没有方向的；（ 2 ）零向量与任一向量共线；（ 3 ）零向量的方向是任意的；（ 4 ）单位向量都是相等的向量；（ 5 ）向量 ab 与向量 ba 的长度相等； （ 6 ）不相等的向量一定不平行；（ 7）若两个单位向量共线，则必相等；（ 8 ）向量就是有向线段； （ 9）非零向量a 的单位向量是a；（ 10）若aa / /b，则 ab ；（11 ）若 ab ，则ab ；（12 ）若 ab ，则 a / / b；（ 13 ）若 ab，则 ab 。例 2、 给出下列几个命题：（ 1）若 a / / b,b / /c ，则a/ / c；（ 2）若 abdc ，则 a、b、c、d 四点是平行四边形的四个顶点；（ 3）在平行四边形abcd 中，一定有abdc ；（ 4）若 mn, nk ，则 mk 。其中不正确命题的个数为（）a. 2b. 3c. 4d. 5例 3 、如图，在abcd 中，aba,adb,an1 ac ， m 为 bc 的中点，则mn = 。（用 a, b 表3示）adnbmc变式： 1 、化简下列各式：（ 1） bc+ ab ；（ 2） abacbdcd ；（ 3） nqqpmnmp 。2、已知 p，a， b， c 是平面内四点，且papbpcac ，那么一定有（）a. pb2apb. cp2 pbc. ap2pbd. pb2ab3、已知、r ，则在以下各命题中，正确的命题共有（）（ 1）0,a0 时，a 与 a的方向一定相反；（ 2）0,a0 时，a 与 a的方向一定相同；（ 3）0,a0 时，a 与 a 是共线向量；（ 4）0, a0 时，a 与a 的方向一定相同；（ 5）0, a0 时，a 与a 的方向一定相反。a. 2 个b. 3 个c. 4 个d. 5 个4、已知任意平面四边形abcd 中， ef 分别为 ad、bc 的中点。求证：ef1( abdc )25、如图，在五边形abcde 中，若 acde 是平行四边形，且aba ， acb ， aec ，试用 a, b, c 表示向量 bd ,bc,be ,cd 及 ce 。bcade例 8、 设两个非零向量a、b 不共线，（ 1）若abab, bc2a8b, cd3(ab) ，求证： a、b、d 三点共线。（ 2）试确定实数k 使得 kab 与 akb 共线。变式： 如图，平行四边形abcd中， e 是 dc 中点， ae 交 bd 于m ，试用向量的方法证明： m 是 bd 的一个三等分点。三、课后作业1、若有以下命题： 两个相等向量的模相等； 若 a 和 b 都是单位向量，则ab ； 相等的两个向量一定是共线向量；a / b ， c / b ，则a / c ； 零向量是唯一没有方向的向量； 两个非零向量的和可以是零。其中正确的命题序号是。2、已知下列各式： abbcca ； abmbboom abacbdcd oaocboco其中结果为零向量的个数为（）a 1b 2c 3d 43、在abcd 中，设 aba, adb, acc, bdd ，则下列等式中不正确的是（）a. abcb. abdc. badd. cab4、若 a 与 b 的方向相反，且ab ，则 a+b 的方向与 a 的方向； 此时 abab 5、若 ab8, ac5, 则 bc 的取值范围是6、（广东卷）如图1 所示， d 是abc 的边 ab 上的中点，则向量cd()aa.bc1bab.21bcbac.bc 211dbad.bcba 22b图 1c7、在四边形abcd中，若 aba, adb, 且| ab | | ab |,则四边形abcd 的形状 8、设e1 , e2 为两个不共线的向量，若ae1e2 与 b2e13e2 共线，则= 9、设e1 , e2 是两不共线的向量，若abe1e2 , bc2e18e2 , cd3e13e2 ，试证a, b, d三点共线10 、如图，在任意四边形abcd中， e、f 分别是 ad ， bc 的中点，求证：ab+ dc= 2 ef思考题： 设点 o 在abc 内部，且有4oaoboc0 ，求三角形abc 与三角形 obc 的面积之比。平面向量的基本定理及坐标表示一、知识点梳理1、如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使a=1 e1 2 e2。称不共线的向量e1、e2 叫做一组基底。2、已知两个非零向量a 和 b，做oaa,obb, ，则aob0180叫做向量 a 与 b 的夹角。如果a 与 b 的夹角是90 ，则称 a 与 b，记作。3、向量的正交分解：4、平面向量的坐标运算（ 1）平面向量的坐标：设 i ,j 是与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a，有且只有一对实数x, y ，使得axiyj ，记作 ax, y。（ 2）平面向量的坐标运算ax1, y1,bx2 , y2，则有ab，ab，a， 设 ax1 , y1,bx2 , y2，则有 ab； 向量共线的坐标表示：设 ax1 , y1,bx2 , y2，则有 a 与 b 共线，； 中点公式设 p1x1 , y1,p21x2 , y2， p 为 p1 p2 的中点，则对任一点o，有opop1 2op2，所以点p 的坐标是。二、专题经典讲练例 1、 设 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）a. e1e2 , e1e2b. 3e12e2 ,4e16e2c. e12e2 , e12e2d. e1 , e1e2例 2、 已知 x、yr ，向量 a(2 x,1), b( y1,x) ，若 ab，求向量 c(4 x,y) 。变式： 1 、已知 ab(1,5), 3a4b(6,19) ， 求 a, b 。2、若a(0,1),b(1,2),c (3,4) ，则 ab2bc = 。3、设向量 a=(1, 3), b=( 2,4), 若表示向量4 a、3 b2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 为（）(a) （ 1， 1 ）(b) （ 1 ， 1）(c)（ 4， 6）(d)（ 4， 6 ）4、已知过点a( 2， m) 和 b(m ， 4) 的直线与直线2 x+y 1=0 平行，则m 的值为（）a 0b 8c 2d 10例 2、已知点a(3 ,1), b(0,0), c(3 ,0) ，设 bac的平分线 ae 与 bc 相交于 e，且 bc=ce ， 则等于（）1a.2b.21c.-3d.-3变 式 ： 1 、o 是 平 面 上 一 定 点 ，a、b、ca ba c是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点p满 足o po a() ,0 ,a ba c则 ,的p轨迹一定通过abc的（ a）外心（ b）内心（c ）重心（ d ）垂心2、平面直角坐标系中，o 为坐标原点， 已知两点且1 ，则点 c 的轨迹方程为 ()a 3,1 , b1,3，若点 c 满足 ocoaob ，其中有,r( a) 3x2 y110(b) x21y225(c)2 xy0( d )x2 y50例 3、已知点a(1,2), 若向量 ab 与 a =2,3 同向 , ab=213 ,则点 b 的坐标为.变式： 1 、已知向量a=（ 2 ，2 ）， b=（ 5， k） .若|a+b|不超过 5 ，则 k 的取值范围是（）a 4 ， 6b 6 ， 4c 6， 2d 2 ，62、已知向量a(cos, sin) ,向量 b(3,1) 则 | 2ab | 的最大值，最小值分别是（）a 42 ,0b4, 42c 16 ， 0d 4， 03、若平面向量b 与向量 a(1,2) 的夹角是 180 ，且| b |35 ，则 ba. (3,6)b.(3,6)c.(6,3)d.(6,3)4、若向量，满足 | | ，则与所成角的大小为 例 4、 若向量 a(1,2), b( x,1), ua2b,v2 ab ，且u / / v ，求 x 的值。变式： 1 、已知向量 a3(3,4), b3(sin, cos4), 且 a b ，则 tan=4（ a）4（ b ）4（ c）3（ d）32、向量 oa(k ,12), ob(4,5),oc(10, k)，当 k 为何值时， a、b、c 三点共线。3、 abc的三内角a, b, c 所对边的长分别为a,b, c 设向量 p( ac,b) , q(ba, ca) ,若p / q, 则角 c 的大小为（）(a)6(b)3(c)22(d)3例 5、 已知三点a(2,3),b(5,4),c (7,10)，点 p 满足apabac (r)（ 1）为何值时，点p 在正比例函数yx 的图像上？（ 2）设点 p 在第三象限，求的取值范围。课后作业1、下列各组向量中，可以作为基底的是（）a e1(0,0) ， e2(1,2)b. e1(1,2) ， e2(5,7)13c e1(3,5) ， e2(6,10)d e1(2,3) ， e2(,)242、已知点a 1,3 , b4,1 , 则与向量ab同方向的单位向量为 （）34a. ， -b4 ，- 3c34d 43，555555553、已知 a(5,2) ， b(4,3) ， c( x, y) ，若 a2b3c0 ，则 c 等于（）a(1, 8)3138b (,) 33134c (,) 33d (13 ,4 )334、若将向量a = ( 2,1) 围绕原点按逆时针方向旋转得到向量4b ,则向量b 的坐标为6、在直角坐标系xoy 中，已知点a(0,1) 和点 b(-3,4) ，若点