大一高等数学上学期期中考(3套)

.一、填空题（每小题2 分, 共 20 分）;.1.数列 0, 1, 0,1 , 0,21 , 0,1 ,34的一般项 xn.1(1)n答：.n2. 极限 limsin 3 x.x3答：.50 tan 5 x3. 极限lim (11x) x.x01答：.e14. 设函数答： 0.f (x)cos，则 xf (1).5. 函数f (x)ln | x | 的导数f(x).答: 1 x.注：答为1| x |不给分6. 已知ysinx ，则y (20).答: sin x .7. 已知df ( x)1dx ,则21xf ( x).答:arctanxc .注：答为 arctan x扣 1 分8. 当 n时，如果sin k1与n1 为等价无穷小，则k.n答: 2 .9. 若函数f (x)3x1,x1，在 (a,x1.,) 上连续，则a.答:2 .10. 设函数f (x)在闭区间a, b上连续， 在开区间a, b内可导， 根据拉格朗日定理，则在开区间a,b内至少存在一点，使得 f() =.答:f (b)f (a) .ba二、单项选择题（每小题3 分, 共 18 分）1. 若极限lim xnn0 ，而数列 yn 有界，则数列 xn yn （） .(a) 收敛于 0；(b)收敛于 1；(c)发散；(d)收敛性不能确定.2. x0 是函数f ( x)1的（c）间断点 .x12(a) 可去；(b)跳跃；(c)无穷；(d)振荡.3. 设函数f (x)x( x1)( x2)( x2011) ，则 f(0)（c）.(a)n! ；(b)2010! ；(c)2011!；(d)2012! .dy4. 若函数f (x) 、g (x) 都可导，设yf g( x) ，则dx（b） .(a) f g(x)g ( x) ；(b)f g ( x)g (x) ；(c)f g( x)g( x)；(d)f g ( x) .5. 若函数f (x)与 g( x)对于开区间(a,b) 内的每一点都有f( x)g ( x) ，则在开区间(a, b) 内必有（d）( 其中 c 为任意常数 ).(a)f ( x)g( x)；(b)f ( x)g (x)c ；(c)f ( x)g ( x)1 ；(d)f ( x)g( x)c .6下列函数中，在区间1,1 上满足罗尔定理条件的是（a） .(a)1x 2 ；(b)ex ；(c)ln x；(d)1.1x2三、求下列极限（每小题6 分, 共 24 分）1. limx11 .x0解： limxx11limx(2分)x0xx0 x(x11)lim11 . (6分)x0x112x2. limx1xx12 xx解： limx1xx1lim1xx 1x22x11(4分)e2 (6分)3. limln cot xx0ln x1(cotx1)sin2 xx解： 原式=limlim(3 分)limx 01xxlim1x 01 (6 分)sinxcosxx 0 sin x x0 cosx4. lim111n1n22n2nn 2111解： 设 xn， (1 分)1n 22n 2nn211则， xnn 2n 2x1111yn ； (2 分 )n 21n1z ，(3 分)nnn 2nn 2nn2nn2n11 / n因 为 lim yn nlim znn1 ， (4 分)由夹逼定理limn11 n 212 n 21nn 21 . (6 分)四.求导数或微分（每小题6 分, 共 18 分）1. 已 知 yln sin(1x) , 求 dy解： dycos(1 sin(1x) (1) dx x)(4分)cot(1x) dx .(6 分)xarctant ,dy求由参数方程yln(1t2 ) 所确定的函数yy(x) 的导数.dx2解： dyln(1t)(2 分)dxarctan x2t1t 2/11t 22t.(6 分)3. 设函数 yy(x) 由方程 y1xey 确定 ,求 yy(x) 在 x0 处的切线方程 .解： 当 x0, y1. (1 分)方程 y1 xey 两边对 x 求导，有dydxeyxeydy， (3 分)dx得 dydxey1xey(4 分)所以 ,dye. (5 分)dx x 0因此 , 所求的切线方程为ye x1 . (6分)arcsin(ax),x0,五.（8 分）已知函数的值 .f ( x)x22 xb,在 x0 点可导 , 求常数x0a、b解： 要使f (x) 在 x0 处可导，必须f ( x) 在 x0 处连续， (1 分)而 f (0 )lim arcsin( ax)0 ；f (0)b .(2分)x0由 f (0)f (0) ，有 b0 . (3分)又f(0)limf ( x)f (0)limarcsin( a x)lima xa ， (4 分)x0xf ( x)0f (0)x0xx22xx0xf(0)limlim2 .(5分)x0x0x0x由 f (x) 在 x0 处可导，有f(0)f(0)(6 分 ),得 a2 .(7分)故当 a0,b2 时，函数f (x) 在 x0 处可导 . (8分)六证明题（ 12 分） 若函数 f ( x) 在闭区间 0,1 上连续，在开区间(0, 1) 内可导，且f (0)0 ,f (1)1 .证明 : (1) 存在(0, 1) ，使得f ()1;(2) 存在两个不同的点a, b(0, 1) ,使得f ( a) f(b)1 .证明： (1) 令g( x)f ( x)x1 , (1 分)则 g( x) 在0,1 上连续 , (2 分)又 g(0)10 ，g (1)10(3分 ) ，由零点定理知, 存在(0,1), 使得g()f ()10(5 分) ,即f ()1.(6分)(2)分别在 0, 和 , 1 上应用拉格朗日中值定理(7分 ),存在 a(0,) , b(, 1) 使得f (a)f ()f (0)1, (9 分)f (b)f (1)f ()1(1), (11 分)111因 此 f(a) f(b)1 . (12 分)附加题（ 10 分, 不计入总成绩，只作为参考）如果f ( x) 和g( x)满足下列三个条件：（ 1）在闭区间a, b上连续；（ 2）在开区间a, b内可导；（ 3）对任意xa, b ，均有g (x)0 则存在一点a,b，使得f (a)f ()f () g()g(b)g ()证明：令f( x)f (a)f ( x) g (x)g (b) .(2 分)因为 f ( x) 在闭区间a,b上连续，在开区间a, b内可导，且f (a)f (b)0 ,(3分)由罗尔定理 , 存在一点a, b,使得f ()0 . (5 分)由于 f( x)f ( a)f (x)g ( x) g( x)g (b)f(x) , (6 分)所以 f()f (a)f ()g () g()g(b)f ()0 ,(8 分)整理 ,得f (a)f ()f ().(10 分)g()g(b)g ()大一上学期高数期末考试卷一、 单项选择题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)1. 设 f( x )cos x ( xsinx ), 则 在 x0 处 有() .（ a） f导.(0)2（ b） f(0)1 （ c） f(0)0（ d）f ( x) 不可设( x)2.1x ，1x( x)333x，则当 x1时（）.（ a ）(x)与( x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（ b）( x)与( x) 是等价无穷小；（c）( x) 是比(x)高阶的无穷小 .高阶的无穷小；（d）( x)是比( x)3. 若 fx( x)( 2tx)0f (t )dt，其中f ( x)在区间上 (1,1) 二阶可导且 f( x)0 ，则（）.（a） 函数（b） 函数f ( x) 必在 xf ( x) 必在 x0 处取得极大值；0 处取得极小值；（c） 函数拐点；f ( x) 在 x0 处没有极值， 但点 (0, f (0)为曲线yf ( x) 的（d） 函数的拐点。f ( x) 在 x0 处没有极值， 点 (0, f (0)1也不是曲线yf (x)4. 设 f( x )是连续函数，且f ( x )x2f0( t )dt,则f ( x )()x 2（a） 2x 2（ b） 22（c） x1（ d） x2 .二、填空题（本大题有4 小题，每小题4 分，共 16 分）2lim ( 13 x )sin x5.x0.已知 cosx 是6. xf ( x) 的一个原函数,.则f ( x)cosx d x xlim(cos2cos2 2cos2 n1)7. nnnnn.122xarcsin x21 dx 11x8.2.exy三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.设 函数yy(x) 由方程sin(xy)1确定，求y ( x ) 以及y (0).7求10.1x(1xx 7 )dx.设 f ( x )xex，x01求f (x ) dx11.2 xx 2 ， 0x131g( x )f ( xt ) dtlimf ( x)a12. 设函数f ( x) 连续，0，且 x0x， a 为常数 . 求 g ( x) 并讨论g (x) 在 x0 处的连续性 .y(1)113. 求微分方程 xy2 yx lnx 满足9 的解.四、 解答题（本大题10 分）14. 已知上半平面内一曲线yy( x)( x0) ，过点 (0,1) ，且曲线上任一点 m(x0 , y0 )处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线xx0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10 分）15. 过坐标原点作曲线ylnx 的切线， 该切线与曲线ylnx 及 x轴围成平面图形d.(1) 求 d 的面积 a； (2) 求 d 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 v.六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16. 设函数qf ( x ) 在 0,1 上连续且单调递减，证明对任意的1q0,1 ，f ( x)d xqf( x )dx00.17. 设 函 数f ( x)在0,上 连 续 ， 且f ( x ) d x00，f ( x ) cos x dx00.证明：在0,内至少存在两个不同的点x1 ,2 ，使 f (1 )f (2 )0. （提示：设f ( x )f ( x ) dx0）解答一、单项选择题 (本大题有 4 小题 , 每小题 4 分, 共 16 分) 1、d2、a3、c4、c二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1 ( cosx ) 2c5.e 6. 6. 2x.7.2 .8.3.三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导ex y ( 1y)c oxsy(xy) ( y)y ( x)ex yx yycos(xy)ex cos(xy)x0, y0 ， y (0)110. 解：ux 77 x6 dxdu原式1(1u) du1( 12)du7u(1u)7uu11 (ln | u |2ln | u 71|)c1 ln | x7 |2 ln |1x7 |c01771f ( x)dxxe xdx2xx2 dx11. 解：3300xd(e x )11( x1)2 dx300e3xe xx0cos22d(令 x1sin)2e31412. 解：由f (0)0 ，知g(0)0 。xg( x )1f ( xt0)dtfxtu0( u )dux( x0 )g ( x)xf ( x)xxf (u)du0x2( x0)2g (0)lim 0f (u)dulimf ( x)ax0xx02x2xxf ( x)lim g ( x)limf (u)du0aaax0x0dy2 yx2ln x22 ，g ( x ) 在 x0 处连续。13. 解： dxx2 dx2 dxyex(e xln xdxc)1 x ln x1 xcx 239y( 1 )111c,0 yx ln xx9，39四、 解答题（本大题10 分）xy14. 解：由已知且2 0 yd xy ，将此方程关于 x 求导得y2 yy特征方程：r 2r20解出特征根：xr11,r22.其通解为yc 1 ec e 2 x212c2 ,c1代入初始条件 y(0)y ( 0)1 ，得33y故所求曲线方程为：2 e x31 e2 x3五、解答题（本大题10 分）15. 解 ：（ 1 ） 根 据 题意 ， 先 设 切 点 为1( x 0 , ln x 0 )， 切 线 方 程 ：yln x 0( xx0 )x 0y1 x由于切线过原点，解出x 0e ，从而切线方程为：ea则平面图形面积1(e y0ey)dy1 e121v1e2（ 2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为v1，则3曲线 ylnx 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为 v21v 2( e0ey )2 dyd绕直 线x=e旋转一周 所得旋转体的 体积vv1v2( 5e2612e3)六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 12 分）q1qq1f ( x)d xqf( x)dxf ( x)d xq(f ( x)d xf(x)dx )16. 证明： 0000qq1(1q)0f ( x) d xqfq(x)dx1 0, q 2 q,1f ( 1 )f ( 2 )故有：qq (11q ) f (1 )q (1q ) f (2 )0f ( x )d xqf( x ) dx0