高考理科数学导数题型归纳(1)

请同学们高度重视：导数题型归纳首先， 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法5、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（ 2）端点处和顶点是最值所在其次， 分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f (x)0 得到两个根；第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；其中 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值- 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0 ）第二种：变更主元 （即关于某字母的一次函数）- （ 已知谁的范围就把谁作为主元）；例 1：设函数yf ( x) 在区间 d 上的导数为f ( x) ，f(x) 在区间 d 上的导数为g(x) ，若在区间 d 上，g (x)0恒成立，则称函数4yf ( x) 在区间 d 上为“凸函数” ，已知实数m 是常数，f ( x)xmx33 x2（ 1）若yf ( x) 在区间0,3 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；1262（ 2）若对满足m2 的任何一个实数m ，函数f ( x)在区间a, b 上都为“凸函数” ，求 ba 的最大值 .x4mx33x2x3mx2解:由函数g( x)f (x)x2mx12623得 f ( x)3 x32（ 1）yf ( x) 在区间0,3上为“凸函数” ，则g ( x)2xmx3 0在区间 0,3上恒成立-解法一：从 二次函数的区间最值入手：等价于g max (x)0g( 0 )030m2g( 3 )09 m330解法二： 分离变量法： 当 x0 时,g( x)x2mx330 恒成立 ,当 0x3 时 ,g( x)x2mx30 恒成立等价于x233mxxx的最大值（0x3 ）恒成立，而 h(x)3x（ 0xx3 ）是增函数，则hmax( x)h(3)2m2(2) 当 m2 时 f(x) 在区间a, b 上都为“凸函数”则等价于当m2 时 g( x)x2mx3 0恒成立变更主元法再等价于f ( m)mxx230 在 m2 恒成立 （视为关于 m 的一次函数最值问题）f (2 )0x2x230f (2)02xx2301x1ba2-22例 2： 设函数f (x)1 x 332 ax23a 2 xb(0a1, br)（）求函数f（ x）的单调区间和极值；（）若对任意的x a1, a2, 不等式f (x)a恒成立，求a 的取值范围 .（二次函数区间最值的例子）解：（）f ( x)x24ax3a2x3axa0a1f (x)a3aa3a令 f( x)0,得f ( x) 的单调递增区间为（a,3a）令 f( x)0,得f ( x) 的单调递减区间为（， a）和（ 3a， +）当 x=a 时，f (x)极小值 =3 a 3b;4当 x=3a 时，f ( x)极大值 =b.（） 由 | f( x) | a，得：对任意的x a1, a22,ax24ax3aa 恒成立gmax ( x)a22则 等 价 于g( x)这 个 二 次 函 数gmin ( x)ag( x)x4ax3a的 对 称 轴 x2a0a1,a1aa2a （放缩法）即定义域在对称轴的右边，g(x) 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x)x24ax3a 2在 a1,a2 上是增函数 .（g(x)maxg(x)ming(ag( a2)2a1.1)4a4.a1,a2x2a于是，对任意xa1, a2 ，不等式恒成立，等价于g(ag(a2)4a41)2a1a, 解得 4a5a1.又 0a41, 5a1.点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f ( x)g( x)恒成立h( x)f ( x)g( x)0 恒成立；从而转化为第一、二种题型例 3；已知函数f (x)x3ax2 图象上一点p(1,b) 处的切线斜率为3 ，g(x)x3t6 x22(t1)x3(t0)（）求a, b的值；（） 当 x1,4 时，求f ( x) 的值域；（） 当 x1,4 时，不等式f (x)g( x) 恒成立，求实数t 的取值范围。解：（）f / ( x)3 x22ax f / (1)3a3，解得b1ab2（）由（）知，f ( x) 在1,0 上单调递增，在0, 2 上单调递减，在2, 4 上单调递减又 f (1)4,f (0)0,f (2)4,f (4)16 f ( x) 的值域是 4,16（）令h( x)f ( x)g( x)t x22(t1)x3x1,42思路 1：要使f ( x)g( x) 恒成立，只需h(x)0 ，即t( x2 x)2 x6 分离变量思路 2：二次函数区间最值二、题型一： 已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法 1：转化为f ( x)0或f ( x)0 在给定区间上恒成立，回归基础题型解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区3别：前者是后者的子集例 4： 已知 ar，函数f (x)1 x 12a1 x 22(4a1) x （）如果函数g( x)f ( x) 是偶函数，求f ( x) 的极大值和极小值；（）如果函数f ( x) 是 (,) 上的单调函数，求a 的取值范围解 ： f( x)1 x24(a1) x(4a1) .1312（）f (x) 是偶函数，a1. 此时f ( x)x123x ， f( x)x3 ， 4令 f ( x)0 ，解得： x23 .列表如下：x( ,23 ) 23( 23 ,23 )23(23 ,+ )f ( x)+00+f (x)递增极大值递减极小值递增可知：f (x) 的极大值为f (23 )43 ，f (x)的极小值为f (23)43 .（） 函数f ( x) 是 (,) 上的单调函数， f( x)1 x24(a1)x21(4 a1) 0 ， 在给定区间 r 上恒成立 判别式法2则(a1)4(4 a1)a42a0，解得： 0a2 .综上， a 的取值范围是 a 0a2 .例 5、已知函数f ( x)1 x31 (2a)x2(1a) x(a0).（ i ）求f ( x)32的单调区间；（ ii ）若f (x)在0， 1上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想（ i ） f(x)x2(2a) x1a( x1)(x1a).1、 当a0时, f(x)( x1)20恒成立 ,当且仅当 x1 时取“ =”号，f ( x)在(,) 单调递增。2、 当a0时,由f( x)0, 得x11, x2a1,且x1x2 ,f (x)单调增区间：(,1) a, (1,单调增区间：(1,a1)-1a-1（ ii ）当f ( x)在0,1上单调递增 ,则 0 , 1是上述增区间的子集：1 、 a0 时，f ( x)在(,) 单调递增符合题意2 、 0,1a1,，a10a1综上， a 的取值范围是0， 1。三、题型二：根的个数问题题 1 函数 f(x)与 g(x)（或与 x 轴）的交点 = 即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）； 主要看极大值和极小值与0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；例 6、已知函数f ( x)1 x 33(k1)2x2 ， g (x)1kx ，且3f ( x) 在区间( 2,) 上为增函数（ 1）求实数 k 的取值范围；（ 2）若函数f ( x) 与 g ( x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围解：（ 1）由题意f( x)x 2(k1) x f ( x) 在区间( 2,) 上为增函数， f(x)x 2(k1)x0 在区间(2,) 上恒成立 （分离变量法）即 k1x 恒成立，又x2 ， k1x 3( k2 ，故 k1)1 k 的取值范围为k11（ 2）设h(x)f (x)g( x)3x 2kx，23h ( x)x 2(k1) xk( xk )( x1)令 h ( x)0 得 xk 或 x1 由（ 1）知 k1 ，当 k1 时，h (x)( x1) 20 ， h( x) 在 r 上递增，显然不合题意当 k1 时，h( x) ， h( x) 随 x 的变化情况如下表：x(, k)k(k,1)1(1,)h ( x)00h( x)极大值极小值k 3k 21k16232由于k120 ，欲使f ( x) 与g(x)的图象有三个不同的交点，即方程h(x)0 有三个不同的实根，故需k 3k 210 ，即 (k1)( k 22kk12)0，解得 k13623k 22k20综上，所求k 的取值范围为k13根的个数知道，部分根可求或已知。例 7、已知函数f ( x)ax31 x222xc（ 1）若 x1 是 f(x) 的极值点且f ( x)的图像过原点，求f ( x) 的极值；（ 2）若g(x)1 bx22xd ，在（ 1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g (x)的图像与函数f (x) 的图像恒有含f (0)0c0f ( x)3ax2x2 ，(1)3a120a1x1 的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。高 考 资 源 网解：（1）f ( x)的图像过原点，则又 x1 是 f(x)的极值点，则ff (x)f ( x)3x2x2(3 x32)( x1)022 2-123f极大值(x)f (1)2f极小值(x )f()37（2）设函数g( x) 的图像与函数f ( x)的图像恒存在含x1 的三个不同交点，等价于f ( x)g( x) 有含 x1 的三个根，即：f (1)g(1)d1 (b1)2x31 x22x1 bx2x1 (b1) 整理得：222即： x31 (b1)x2x1 (b1)0 恒有含 x1 的三个不等实根22（计算难点来了：） h(x)x31 (b1) x2x1 (b1)0 有含 x1的根，则 h(x) 必可分解为( x1)(二次式22)0 ，故用 添项配凑法因式分解，x3x2x21 (b1)x2x1 (b1)022x2 (x1)1 (b1)x2x1 (b1)022x2 ( x1)211 (b21)x22 x(b1)0十字相乘法分解：x ( x1 )(b21 x)b(1 ) x10(x1)x21 (b1)x1 (b1)0x31 (b1)x2x1 (b1)0 恒有含 x221 的三个不等实根22等价于x21 (b1)x1 (b1)0 有两个不等于-1 的不等实根。221 (b1)241 (b1)042b(,1)(1,3)(3,)(1)21 (b1)1 (b1)022题 2：切线的条数问题 =以切点x0 为未知数的方程的根的个数例 7、已知函数f (x)ax3bx2cx 在点x0 处取得极小值4，使其导数f ( x)0 的 x 的取值范围为(1,3) ，求：（ 1）f ( x) 的解析式；（ 2）若过点p(1,m) 可作曲线yf ( x)的三条切线，求实数m 的取值范围（ 1）由题意得：f (x)3ax 22bxc3a(x1)(x3),( a0)在 (,1)上f (x)0 ；在 (1,3) 上f ( x)0 ；在 (3,) 上f ( x)0因 此 f(x) 在x01 处取得极小值4 abc4 ， fa(1)3a12bc0 ，f (3)27 a6bc0 由联立得：b6，c9f ( x)32x6 x9 x（ 2）设切点q (t,f (t ) ，yf (t )f , (t )( xt )y(3t 212t9)( xt)(t 36t29t )(3t 212t9) xt (3t 212t9)t(t 26t9)(3t 2m(3t 212t 12t9) xt(2 t29)(1)2t 36t ) 过 (1, m) 6t2g(t)2t 32t 212t9m0令 g (t )6t 26t126(t2t2)0 ，求得： t1,t2 ，方程g(t )0 有三个根。g(1)0需：g(2)023129m01612249m0m16m11故：11m16 ；因此所求实数m 的范围为：(11,16)题 3：已知f (x)在给定区间上的极值点个数则有导函数 =0 的根的个数解法：根分布或判别式法例 8、3解：函数的定义域为r （）当m 4 时， f (x) 1x3 72 10x，f( x) x27x 10，令 f( x)0， 解 得 xx 25, 或 x2 .令 f( x)0， 解得 2x5可知函数 f (x)的单调递增区间为(,2) 和（ 5，），单调递减区间为2,5（）f ( x) x2 (m 3)x m 6,要使函数y f ( x) 在（ 1，）有两个极值点,f( x) x2 (m 3)x m 6=0的根在（ 1，）根分布问题：1(m3)24(m6)0;则f (1)1(m3)m60; ， 解得 m3m31.2例 9、已知函数f ( x)a x 331 x 2 ， (a2r, a0) （ 1）求f ( x) 的单调区间； （ 2）令g( x) 14x4 f（ x）（ x r）有且仅有 3 个极值点，求a 的取值范围解：（ 1）f (x)ax 2xx(ax1)当 a0 时，令f ( x)0 解得 x1 或x0 ，令af ( x)0 解得1x0 ， a所以 f(x)的递增区间为(,1 )a(0,) ，递减区间为(11 ,0) .a1当 a0时，同理可得f ( x)的递增区间为(0，) ，递减区间为(a,0)(,) .a（ 2）g( x)1 x44a x3 312x有且仅有3 个极值点2g ( x)x3ax2xx( x2ax1) =0 有 3 个根，则 x0 或 x2ax10 ， a2方程 x2ax10 有两个非零实根，所以a 240,a2 或 a2而当 a2 或 a2 时可证函数yg(x) 有且仅有3 个极值点1、（最值问题与主元变更法的例子）.例 10 已知定义在r上的函数f (x)ax32ax 2b（a0）在区间2,1 上的最大值是5，最小值是11.（）求函数f ( x) 的解析式；（）若 t1,1 时，f( x） tx0 恒成立，求实数x 的取值范围 .解：（）f (x)ax32ax 2b,f ( x)3ax24 axax(3 x4)令 f (x) =0, 得 x0, x42,1因为 a1230 ，所以可得下表：x2,000,1f ( x )f ( x)+0-极大因此 f(0) 必为最大值 , f（0）5因此 b5 ，f ( 2)16a5,f(1)a 5,f (1)f ( 2)，即 f (2)16a511 ， a1 ，f (x）x32 x 25.（）f(x)3x 24 x ， f( x） tx0 等价于3 x 24xtx0 ，令 g (t )xt3x24 x ，则问题就是g(t )0 在 t1,1 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需g(1)0，即g（1)03x 25x0，x 2x0解得 0x1，所以所求实数x 的取值范围是0 ， 1.2、（根分布与线性规划例子）例 11 已知函数f ( x)2 x33ax2bxc( ) 若函数f ( x) 在 x1时有极值且在函数图象上的点(0,1) 处的切线与直线3 xy0 平行 , 求f ( x)的解析式；( ) 当f ( x) 在 x(0,1) 取得极大值且在x(1,2) 取得极小值时, 设点m (b2,a1) 所在平面区域为s,经过原点的直线l 将 s 分为面积比为1:3 的两部分 , 求直线 l 的方程 .解： ( ). 由 f(x)2x22axb , 函数f (x) 在 x1时有极值,2ab20f (0)1c1又f ( x)在 (0,1) 处的切线与直线3xy0 平行 ,f (0)f ( x)b2 x33 故a1 21 x23x1. 7 分( ) 解法一 : 由 f32(x)2x22axb及f ( x) 在 x(0,1) 取得极大值且在x(1,2) 取得极小值 ,f (0)0b0xb2f (1)0f (2)0即2ab204ab80令 m ( x,y),则ya12 yx20故点m所在平面区域s 为如图abc,4 yx60a y1b x2x20易得 a(2,0) ,b(2,1) ,c (2,2) ,1d (0,1) ,e (0,3 ) ,s2abc2同时 de 为 abc 的中位线 ,s decs四边形 abed3所求一条直线l 的方程为 :x0另一种情况设不垂直于x 轴的直线l 也将 s 分为面积比为1:3 的两部分 , 设直线 l 方程为 ykx ,它与 ac,bc 分别交于 f 、g,则k0 ,s四边形 degf1ykx2yx20y 4ykx x60由得点 f 的横坐标为 :xf由得点 g 的横坐标为 :xg22 k164k1 s四边形 degfs oges ofd136224k111222k11即 16k 22k50解得 :k1或2k5(舍去 )故这时直线方程为:y1 x 82综上 ,所求直线方程为:x0 或 y1 x.12 分2( ) 解法二 :由 f(x)2x22axb及f ( x) 在 x(0,1) 取得极大值且在x(1,2) 取得极小值 ,f (0)0b0f(1)0即2ab20令 m ( x,y),则f(2)04ab80ay1x202 yx20故点 m 所在平面区域s 为如图abc,4 yx60x b2y a1bx2易得 a(2,0) ,b(2,1) ,c (2,2) ,d (0,1) ,e (0,3 ) ,s2abc2同时 de 为 abc 的中位线 ,s dec1s四边形 abed3所求一条直线l 的方程为 :x0另一种情况由于直线bo 方程为 :y1x , 设直线 bo 与 ac 交于 h ,2y1 x由2得直线 l 与 ac 交点为 :h (1,1 )2 yx2021111111s abc2 ,s dec2,sabhs abos aoh21222212222 所求直线方程为:x0或 yx 23、（根的个数问题） 例 12 已知函数3f(x)ax2bx(c3a2b)xd(a0) 的图象如图所示。（）求 c、d 的值；（） 若函数 f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110 ，求函数 f ( x )的解析式；（） 若 x05, 方程 f(x)8a 有三个不同的根，求实数a 的取值范围。解：由题知：f (x)3ax 22bx+c-3a-2b（）由图可知函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 ) ，且 f1 = 0d3得3a2bd3c 3a2b0c0（）依题意f2 = 3 且 f ( 2 ) = 5212a 8a4b3a4b6a2b34b35解 得 a = 1 , b = 63所 以 f ( x ) = x6x+ 9 x + 3（）