不等式推理与证明

不等式推理与证明(时间 120 分钟，满分150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不等式(x1)x 1 0的解集是()a x|x1b x|x 1c x|x 1 或 x 1d x|x 1 或 x 12. 下列命题中的真命题是()a若 a b， c d，则 ac bdb 若|a| b，则 a2 b2c若 ab，则 a2 b2d若 a| b|，则 a2 b2精品资料3. 已知函数f(x)x2， x 0，若 f(x) 1 ，则 x 的取值范围是()2 x1， x0a( ， 1b 1， )c ( ， 0 1， )d ( ， 1 1 ， )4 若集合 a x|2 x 1| 3 ，b x|2 x 1 3 x 0 ，则 a b 是()1a x|1 x或 2x 3b x|2 x 32c x|11 x 2d x|1 x 225 给出下面类比推理命题(其中 q 为有理数集， r 为实数集， c 为复数集 )：“ 若 a， br ，则 a b 0 ? a b” 类比推出 “ 若 a， b c ，则 a b 0 ? a b” ；“ 若 a，b，c，d r，则复数 a bi c di? a c，bd” 类比推出 “ 若 a， b，c， d q，则 a b2 c d2 ? a c，b d”；“ 若 a， br ，则 a b 0 ? a b” 类比推出 “ 若 a， b c ，则 a b 0 ? a b” 其中类比得到的结论正确的个数是()a0b 1c 2d 36 已知实数a，b，则“ab 2”是“ a2 b2 4 ”的() a充分不必要条件b 必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7. 三段论： “ 只有船准时起航， 才能准时到达目的港； 某艘船是准时到达目的港的； 所以这艘船是准时起航的” 中小前提是() ab c d 8. 不等式组x 0 ，x 3 y 43 x y 4，所表示的平面区域的面积等于()3243a. b.c.d. 23349. 已知函数f( x) ax2 bx c 的图象过点 ( 1,3) 和(1,1) ，若 0 c 1，则实数a 的取值范围是 ()a2,3b 1,3c (1,2)d (1,3)10 (2010 淄博模拟 )若 f(a) (3 m 1) a b2 m，当 m 0,1 时 f(a) 1 恒成立，则 a b的最大值为( )1257a. b.c.d. 333311 已知函数f(x)满足： f(p q) f(p)f(q)， f(1) 3 ，f 2 (1)f (2)ffff则f (1)ffff等于()fa36b 24c 18d 1212 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车 站()a5 km 处b 4 km 处c 3 km 处d 2 km 处二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13 关于 x 的不等式x2 (a 1) x ab 0 的解集是 x|x 1 或 x 4 ，则实数a、b 的值分别为 14 关于 x 的不等式 ax 2 4 x 1 2x2 a 恒成立，那么实数 a 的取值范围是 15 某公司租赁甲、乙两种设备生产a，b 两类产品，甲种设备每天能生产a 类产品5 件和 b 类产品 10 件，乙种设备每天能生产a 类产品 6 件和 b 类产品 20 件 已知设备甲每天的租赁费为200 元，备乙每天的租赁费为300 元，现该公司至少要生产a 类产品 50 件， b 类产品 140 件，所需租赁费最少为 元16 已知点p(a， b)与点q(1,0) 在直线2 x 3 y 1 0的两侧，则下列说法正确的是 2a3 b 1 0 ； a 0 时，b有最小值，无最大值；a ?m r，使a2 b2 m 恒成立； 当 a 0 且 a 1 ， b0 时，则b的取值范围为a 1( ，12) (， )33三、 解答题 (本大题共6 小题， 共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )17 (本小题满分12 分)已知 f(x) 3 x2 a(6 a)xb.(1) 解关于 a 的不等式f(1) 0 ；(2) 当不等式f(x) 0 的解集为 ( 1,3) 时，求实数a， b 的值18 (本小题满分12 分)若 a1 0 ， a1 1 ， an 12an(n1,2 ，) 1 an(1) 求证： an 1 an；(2) 令 a11，写出 a2、a3、a4、a5 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.219 (本小题满分12 分)(2010 吉林模拟 )沪杭高速公路全长166 千米 假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60 千米/时且不高于120 千米 /时的速度匀速行驶到杭州已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单元 )由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米 /时)的平方成正比，比例系数为0.02 ；固定部分为200 元(1) 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2) 汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？20 ( 本 小 题 满 分12分 ) 已 知 函 数f(x) ax2 4( a为 非 零 实 数 ) ， 设 函 数f(x) f(x)(x 0). f( x)(x 0)(1) 若 f(2) 0 ，求 f(x) 的表达式；(2) 设 mn 0 ，m n 0 ，试判断 f(m)f(n)能否大于0?21 (本小题满分 12 分) 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志 “ 中国印舞动的北京 ” 和奥运会吉祥物 “福娃 ” 该厂所用的主要原料为 a、b 两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料 a 和原料 b 的量分别为 4 盒和 3 盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料a 和原料 b 的量分别为5 盒和 10 盒若奥运会标志每套可获利 700 元，奥运会吉祥物每套可获利1200 元，该厂月初一次性购进原料a、b 的量分别为 200 盒和 300 盒问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？22 理( 本小题满分14 分)已知函数f(x) axb 2ln x， f(1) 0.x(1) 若函数 f(x)在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；(2) 若函数 f(x)的图象在x 1 处的切线的斜率为0 ，且 an 1 f (1an n 1) n2 1 ，已知 a1 4 ，求证： an 2n 2.文(本小题满分14 分)已知不等式x2 px 1 2x p.(1) 如果不等式当|p| 2 时恒成立，求x 的范围；(2) 如果不等式当2 x 4 时恒成立，求p 的范围简要答案1、解析： x 1 0， x 1. 同时 x 1 0，即 x 1. x 1. 答案： b2、解析：由a |b|，可得 a |b| 0? a2 b2 .答案： d3、解析：将原不等式转化为：x 0或2x 1 1x 0，从而得 x 1 或 x 1.x2 1答案： d4、解析： |2 x1| 3， 3 2x 1 3. 1 x 2.2x 1又3 x 0， (2 x 1)( x 3) 0 ， x 3 或 x11. a b x| 1 x 22答案： d5、解析： 是正确的， 是错误的，因为复数不能比较大小，如a 5 6i， b 4 6i，虽然满足ab 1 0，但复数a 与 b 不能比较大小 答案： c6、解析：当ab 2 时， a2 b2 2 ab 4 ，故充分性成立，而a2 b24 时，当 a1， b3 时成立，但ab 32 ，显然 ab 2 不成立，故必要性不成立 答案： a7、解析：大前提是 ，小前提是 ，结论是 . 答案： b8、解析：不等式组表示的平面区域如图所示，x 3 y 4，由3 x y 4得交点 a 的坐标为 (1,1) 4又 b、c 两点的坐标为(0,4) ， (0 ，)3故 s abc1(4 244)1 . 33答案： c9、解析：由题意：a b c3 ，得 b 1， a c 2.a b c1 ，又 0 c 1， 0 2 a 1， 1 a2.答案： c10 、解析：设g(m)=f( a)=(3 a-2) m+b-a，由于当m0,1 时g(m)= f(a)=(3 a-2) m+b-a1 恒成立，于是g(0) 1,g(1) 1ba 1即, 满足此不等式组的点(a，b)构成图中的阴影部分，b2a 1其中 a(2 , 533)，设 a+ b= t，显然直线a+b=t 过点7a 时， t 取得最大值.3答案： d11 、解析：由f(p q) f(p)f(q)， 令 pq n，得 f2(n)f(2 n)f原式f2f(4)f(3)2 f(6)f(5)2f (8)f(7) 2f(1) 2 f(1) f(3)f (3)2 f(1) f(5) f(5)2f(1) f(7)f(7) 8f(1) 24.答案： b12 、解析：由题意可设y1k1， y2 k2x，xy2 k1 xy1， k2 ，x把 x10 ， y12 与 x10 ， y2 8 分别代入上式得k120 ， k2 0.8 ，20 y1x， y2 0.8 x(x 为仓库与车站距离)，20费用之和 y y1 y2 0.8 xx20 20.8 x x 8，当且仅当 0.8 x20，即 x5 时等号成立x答案： a13 、解析：由不等式的解集为x|x 1 或 x 4 可得， 1, 4 是方程 x2 (a 1) xab 0 的两根，1 4 ( a 1)，解得 a 4， b 1.1 4 ab答案： 4,114 、解析：不等式ax2 4 x 1 2 x2 a可化为 (a 2) x2 4x a1 0，当 a2 0，即 a 2 时，不恒成立，不合题意 当 a2 0 时，要使不等式恒成立，a 2 0，需解得 a 2.16 4( a 2)( a1) 0 ，所以 a 的取值范围为2 ， ) 答案： 2 ， )15 、解析：设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，5x 6 y50 ，10x 20y 140 ，则xn *，yn *.目标函数为z 200 x300 y.作出其可行域，易知当x 4 ， y 5 时， z200 x300 y 有最小值2300 元 答案： 230016 、解析：由已知(2 a 3b 1)(2 0 1) 0 ， 即 2 a 3 b1 0， 错；当 a0 时，由 3 b 2 a 1 ，b可得a21，33 a 不存在最小值， 错；a2 b2表示为 (a， b)与(0,0) 两点间的距离，由线性规划知识可得：a2 b2|1|4 913恒成立，13 正确；b a 1表示为 (a， b) 和(1,0) 两点的斜率由线性规划知识可知 正确 答案： 17 、解： (1) f(1) 3 a(6 a)b a2 6ab 3， f(1) 0， a2 6a3 b 0. 24 4 b，当 0即 b 6 时， f (1) 0 的解集为 ?；当 b 6 时， 3 b 6 a 3b 6 ， f(1) 0 的解集为 a|3 b 6 a 3b 6 (2) 不等式 3x2 a(6 a)x b0 的解集为 ( 1,3) ，a(6 a)2，3b3 .3解之，得a 3 3，b 9.18 、解： (1) 证明： (采用反证法 )若 an 1 an，2 an即1 a an，解得 an 0,1.n从而 an an 1 a2 a1 0,1 ，与题设a10 ， a1 1 相矛盾， 故 an 1an 成立1248162n 1(2) a1 2 、a2 3、a3 5、a4 9、a5 17， an 2n 1 1 ，n n*.19 、解： (1) 依题意得： y (200 0.02 v2 )166v 166(0.02 v200v)(60 v 120) (2) y 166(0.02 v200v) 166 20.02 v200v 664( 元)当且仅当 0.02 v200即 v 100 千米 /时时取等号v答：当速度为100 千米/ 时时，最小的运输成本为664 元20 、解： (1) 由 f( 2) 0,4 a 4 0 ? a 1， f(x)x2 +4(xx2 -4(x0) . (2) 0)mn 0m n 0， m， n 一正一负不妨设 m 0 且 n 0，则 m n 0，f(m) f(n) f(m) f(n) am 2 4 (an2 4) a(m2 n2)，当 a0 时， f(m) f( n) 能大于 0 ， 当 a0 时， f(m) f( n) 不能大于0.21 、解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x， y 套，月利润为z 元，由题意得4x 5y 200 ，3x 10 y 300 ，x0 ， y0 ，目标函数为z 700 x1200 y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：目标函数可变形为y7zx，1212004 5712310 ， 7 当 y12zx1200通过图中的点a 时，z1200最大， z 最大4x 5y200 ，解得点 a 坐标为 (20,24) 3 x 10 y300 ，将点 a(20,24) 代入 z 700 x 1200 y得 zmax 700 20 1200 24 42800 元答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24 套时月利润最大，最大利润为42800 元22 、解： (1) 因为 f(1) ab 0，所以 a b，a所以 f(x) axx 2ln x，a2所以 f (x) a.x2x要使函数 f(x)在定义域 (0 ， )内为单调函数，则在 (0 ， )内 f (x)恒大于等于0 或恒小于等于0.当 a0 时，则 f (x)2 0 在(0， )内恒成立；适合题意x1111当 a0 时，要使f (x) a()2 a 0 恒成立，则a 0，解得 a 1 ；xaaa当 a0 时，由 f (x) aa2x2x 0 恒成立，适合题意所以 a 的取值范围为( ，0 1 ， )(2) 根据题意得：f (1) 0 ，即 a a 2 0 ，得 a 1，所以 f (x) (1 1