结构动力计算.ppt

学习目的和要求工程结构除受静荷载作用外 有时还会受到随时间迅速变化的动荷载作用 如地震荷载等 在动荷载作用下 结构发生振动 结构的内力 位移等将随时间变化 确定它们的变化规律 从而得到这些量的最大值 以便做出合理的动力设计是本章的学习目的 本章基本要求 掌握动力自由度的判别方法 掌握单自由度 有限自由度体系运动方程的建立方法 熟练掌握单自由度体系 两个自由度体系动力特性的计算 熟练掌握单自由度体系 两个自由度体系在简谐荷载作用下动内力 动位移的计算 掌握阻尼对振动的影响 了解自振频率的近似计算方法 13 1结构动力计算概述 结构动力计算的特点 荷载 约束力 内力 位移等随时间变化 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力 结构动力计算的内容 确定结构的动力特性 即结构本身的自振频率 振型和阻尼参数 通过自由振动 由初位移或初速度引起的振动 研究结构的自振频率和振型 计算结构的动力反应 即结构在动荷载作用下产生的动内力 动位移等 通过强迫振动 由动荷载引起的振动 研究结构在动荷载作用下的动力反应 结构的动力反应与动力特性有密切的关系 动力计算自由度确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的数目称为体系的振动自由度 实际结构的质量都是连续分布的 都是无限自由度体系 常作简化如下 集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点 将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题 广义坐标法假设振动曲线为是满足位移边界条件的已知函数 称为形状函数 a1 a2 an为待定参数 广义坐标 如an只取有限项 则结构简化成有限自由度体系 几点注意 对于具有集中质量的体系 可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度 振动体系的自由度数与计算假定有关 而与集中质量的数目和超静定次数无关 如图1所示几个体系 1 集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点 将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题 m m m梁 m m梁 I I 2I m m柱 厂房排架水平振动时的计算简图 屋架质量远大于柱子质量 单自由度体系 三个自由度体系 水平振动时的计算体系 多自由度体系 构架式基础顶板简化成刚性块 t v t u t 三个自由度 三个自由度 复杂体系可通过加支杆限制质量运动的办法确定体系的自由度 动力计算的原理和方法 结构动力计算中常用的基本原理为达朗伯原理 在质点运动的每一瞬时 作用在质点上的所有外力 荷载与约束力 与假想地加在质点上的惯性力互相平衡 可利用静力学的处理方法建立结构的运动方程 在建立运动方程时 取静力平衡位置作为位移y的坐标原点 位移y 速度 加速度的正方向取为一致 柔度法利用体系的柔度系数 根据位移协调条件建立运动方程 在质点运动的任一时刻 体系在质点处的位移应等于该时刻的动荷载 惯性力 阻尼力共同作用下所产生的静力位移 刚度法利用体系的刚度系数 根据平衡条件建立运动方程 在质点运动的任一时刻 各质点上的动荷载 惯性力 弹性力 阻尼力组成平衡力系 其中惯性力 阻尼力为 弹性力列向量为按位移法原理来求 动荷载分类 按其变化规律及其作用特点可分为 1 周期荷载 随时间作周期性变化 转动电机的偏心力 2 冲击荷载 短时内剧增或剧减 3 随机荷载 非确定性荷载 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定 如地震荷载 风荷载 13 2单自由度自由振动 建立运动方程 柔度法取体系为研究对象 在质点上假想地加上惯性力 如图1 质点位移为惯性力产生的静位移 列出运动方程为 刚度法 取质点为研究对象 作用在质点上的弹性力和假想地加在质点上的惯性力互相平衡 建立平衡方程得运动方程为 自由振动 由初位移 初速度引起的 在振动中无动荷载作用的振动 分析自由振动的目的 确定体系的动力特性 频率 周期 一 运动方程及其解 阻尼 耗散能量的作用 m 令 二阶线性齐次常微分方程 自由振动微分方程的解 总位移 振幅 初始相位角 无阻尼自由振动是简谐振动 结构的自振周期和自振频率 周期函数的条件 y t T y t 是周期函数 且周期是 频率 每秒钟内的振动次数 圆频率 2 秒内的振动次数 自振周期计算公式的几种形式 圆频率计算公式的几种形式 例题1 6 频率计算 例1 图示三根单跨梁 EI 常数 在梁中点有集中质量m 不考虑梁的质量 试比较三则者的自振频率 解 1 求 3l 16 5l 32 l 2 结构约束越强 其刚度越大 刚度越大 其自振动频率也越大 k QCA QCB 例2 求图示刚架的自振频率 不计柱的质量 3EI h2 6EI h2 6EI h2 k 例5 解法1 求k 1 h MBA kh MBC 解法2 求 例6 解 求k 对于静定结构一般计算柔度系数方便 如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时 所有刚节点都不能发生转动 如横梁刚度为无穷大的刚架 计算刚度系数方便 一端铰结的杆的侧移刚度为 两端刚结的杆的侧移刚度为 13 3单自由度强迫振动 简谐荷载 强迫振动 受迫振动 结构在荷载作用下的振动 k 弹性力 ky 惯性力 和荷载P t 之间的平衡方程为 1 简谐荷载 单自由度体系强迫振动的微分方程 特解 最大静位移yst 是把荷载幅值当作静荷载作用时结构所产生的位移 特解可写为 通解可写为 设t 0时的初始位移和初始速度均为零 则 过渡阶段 振动开始两种振动同时存在的阶段 平稳阶段 后来只按荷载频率振动的阶段 由于阻尼的存在 按自振频率振动 按荷载频率振动 平稳阶段 最大动位移 振幅 为 动力系数 为 重要的特性 当 0时 1 荷载变化得很慢 可当作静荷载处理 当01 并且随 的增大而增大 当 1时 即当荷载频率接近于自振频率时 振幅会无限增大 称为 共振 通常把0 751时 的绝对值随 的增大而减小 当 很大时 荷载变化很快 结构来不及反应 简谐荷载作用下动力反应的一般计算方法由以上各式可见 对于无阻尼体系 位移 惯性力 动荷载三者频率相同 相位角相同 三者同时达到幅值 由于结构的弹性内力与位移成正比 所以位移达到幅值时 内力也达到幅值 于是得到简谐荷载作用下动力反应的一般计算方法 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上 按一般静力学方法求解 即得到体系的最大动内力和最大动位移 比例算法 单自由度体系荷载作用在振动质点上 并且其作用线与质点运动方向重合时 荷载和惯性力共线 两者可以合成一个力为 可见 只需按静力法求出荷载幅值P0产生的静内力和静位移 乘以动力系数即可得到动内力幅值和动位移的幅值 内力和位移的动力系数相同 不计阻尼时 动力系数在 0 和 1 范围内变化 0 时 0 由于振动是往复的 对于单自由度体系的振动计算来说 的正负并无实际意义 常取其绝对值 例题1 强迫振动例题 当动荷载作用在单自由度体系的质点上时 由于体系上各截面的内力 位移都与质点处的位移成正比 故各截面的动内力和动位移可采用统一的动力系数 只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可 例 已知m 300kg EI 90 105N m2 k 48EI l3 P 20kN 80s 1求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩 解 1 求 2 求 3 求ymax Mmax 例17 3有一简支梁 I28b 惯性矩I 7480cm4 截面系数W 534cm3 E 2 1 104kN cm2 在跨度中点有电动机重量Q 35kN 转速n 500r min 由于具有偏心 转动时产生离心力P 10kN P的竖向分量为Psin t 忽略梁的质量 试求强迫振动的动力系数和最大挠度和最大正应力 梁长l 4m 解 1 求自振频率和荷载频率 2 求动力系数 175 6MPa 必须特别注意 这种处理方法只适用于单自由度体系在质点上受干扰力作用的情况 对于干扰力不作用于质点的单自由度体系 以及多自由度体系 均不能采用这一方法 I22b 3570cm4 3570 39 7 39 7 1 35 可见 对于本例 采用较小的截面的梁既可避免共振 又能获得较好的经济效益 52 3 57 4 0 91 共振 325 149 2 13 4阻尼对振动的影响 一 阻尼与阻尼力 阻尼 使振动衰减的作用 阻尼产生原因 材料的内摩擦 连接点 支承面等处的外摩擦及介质阻力等 c 阻尼系数 阻尼对振动的影响 阻尼力 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比 方向与速度相反 二 计阻尼自由振动 1 运动方程及其解 令 运动方程 设 特征方程 2 振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼 振动是衰减的 对数衰减率 利用此式 通过实验可确定体系的阻尼比 上式也可写成 例题 图示一单层建筑物的计算简图 屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m 加一水平力P 9 8kN 测得侧移A0 0 5cm 然后突然卸载使结构发生水平自由振动 再测得周期T 1 5s及一个周期后的侧移A1 0 4cm 求结构的阻尼比 和阻尼系数c 解 返回 三 计阻尼简谐荷载受迫振动 1 运动方程及其解 设 或 通解 初位移 初速度引起的自由振动分量 动荷载激起的按结构自振频率振动的分量 称为伴随自由振动 纯受迫振动 2 阻尼对振幅的影响 在平稳阶段 随增大而减小 阻尼在共振区内影响显著 在共振区外可不计阻尼 的最大值并不发生在 位移滞后于荷载 3 动内力 动位移计算 除动力系数计算式不同外 其它过程与无阻尼类似 将荷载看成是连续作用的一系列冲量 求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移 一般动荷载作用时的受迫振动分析 一 瞬时冲量的反应 1 t 0时作用瞬时冲量 2 时刻作用瞬时冲量 一般动荷载作用时的受迫振动分析 二 动荷载的位移反应 杜哈美积分 计阻尼时 若t 0时体系有初位移 初速度 例 求突加荷载作用下的位移 开始时静止 不计阻尼 解 动力系数为2 例题 有阻尼强迫振动例题 例15 4图示机器与基础总重量W 60kN 基础下土壤的抗压刚度系数为cz 0 6N cm2 0 6 103kN m3 基础地面积A 20m2 试求机器连同基础作竖向振动时 1 自振频率 2 机器运转产生P0sin t P0 20kN 转速为400r min 求振幅及地基最大压力 3 如考虑阻尼 阻尼比 0 5 求振幅及地基最大压力 解 1 让振动质量向下单位位移需施加的力为 k czA 0 6 103 20 126 103kN m 解 2 求荷载频率 求动力系数 竖向振动振幅 地基最大压力 解 3 求动力系数 竖向振动振幅 地基最大压力 13 5多自由度自由振动 刚度法 柔度法 主振型的正交性 几点注意 2 刚度法 建立力的平衡方程 两个自由度的体系 r1 k11y1 k12y2r2 k21y1 k22y2 质点动平衡方程 即 设 特点 1 两质点具有相同的频率和相同的相位角 2 两质点的位移在数值上随时间变化 但两者的比值始终保持不变y1 t y2 t Y1 Y2 常数 结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型 弹性力分析 乘y1 t 乘y2 t r1 k11y1 k12y2r2 k21y1 k22y2 kij表示使j点产生单位位移 其它点位移 0 时 在i点需施加的力 称为刚度系数 振型计算公式 频率计算公式 频率方程 振型方程 为了得到Y1 Y2的非零解 应使系数行列式 0 展开是 2的二次方程 解得 2两个根为 可以证明这两个根都是正根 与 2相应的第二振型 因为D 0 两个振型方程式线性相关的 不能求出振幅的值 只能求出其比值求与 1相应的第一振型 2的两个根均为实根 矩阵 k 为正定矩阵的充分必要条件是 它的行列式的顺序主子式全部大于零 故矩阵 k 为正定矩阵 k11k22 k12k21 0 2的两个根均为正根 与 2相应的第二振型 求与 1相应的第一振型 多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是 初始位移和初始速度应当与此主振型相对应 一般解 在这种特定的初始条件下出现的振动 在数学上称为微分方程组的特解 其线性组合即一般解 0 0 几点注意 1 2必具有相反的符号 多自由度体系自振频率的个数 其自由度数 自振频率由特征方程求出 每个自振频率相应一个主振型 主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式 自振频率和主振型是体系本身的固有特性 例题4 多自由度1 例17 4 质量集中在楼层上m1 m2 层间侧移刚度为k1 k2 k21 k11 解 求刚度系数 k11 k1 k2 k21 k2 k22 k12 k22 k2 k12 k2 1 当m1 m2 m k1 k2 k 代入频率方程 求振型 1 第一主振型 Y21 1 618 Y11 1 第一主振型 2 第二主振型 Y22 0 618 Y11 1 第二主振型 2 当m1 nm2 k1 nk2k11 1 n k2 k12 k2 求频率 求振型 如n 90时 当上部质量和刚度很小时 顶部位移很大 鞭梢效应 第一振型 第二振型 特征方程 例题5 多自由度2 例 质量集中在楼层上 层间侧移刚度如图 1 k 11 解 1 求柔度系数 k 柔度矩阵 和质量矩阵 M 21 31 32 4 22 4 13 23 4 33 9 12 展开得 解之 1 11 601 2 2 246 3 1 151 三个频率为 3 求主振型 令Y3i 1 将 1代入振型方程 M 1 I Y 0的前两式 2 求频率 解得 同理可得第二 第三振型 振型可看作是体系按振型振动时 惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移 柔度法 位移幅值方程 频率方程 其中 刚度矩阵 为n n的对称矩阵 I 为n阶单位矩阵 1 2 两个自由度体系的位移幅值方程 频率方程 展开得频率计算公式 将求得的频率代入位移幅值方程得到主振型 第一主振型 第二主振型 例题6 柔度法1 3 例1 求简支梁的自振频率和主振型 解 1 求柔度系数 求得频率 求得主振型 例2例1另解 另解 如果结构本身和质量分布都是对称的 则主振型不是对称就是反对称 故可取半边结构计算 对称情况 反对称情况 例3 求图示体系对称振动情况下的频率 2 1 0 5 1 1 0 875 0 25 Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同 为负时 表示与单位力方向相反 返回 主振型的正交性 主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自由度体系中 任意两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵正交 即 11 12 主振型的位移幅值恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移 对这两种静力平衡状态应用功的互等定理 因为 1 2 主振型之间的第一正交关系 一般说来 设 i j相应的振型分别为 y i y j 由振幅方程 K 2 M Y 0 得 K Y 2 M Y K Y i 2 M Y i Y j T K Y i 2i Y j T M Y i a K Y j 2 M Y j Y i T K Y j 2j Y i T M Y j b 主振型的正交性 Y j T K T Y i 2j Y j T M T Y i Y j T K Y i 2i Y j T M Y i a Y i T K Y j 2j Y i T M Y j b c b 转置 a c 第一正交关系 相对于质量矩阵 M 来说 不同频率相应的主振型彼此是正交的 第二正交关系 相对于刚度矩阵 K 来说 不同频率相应的主振型彼此是正交的 如同一主振型 定义 所以 由广义刚度和广义质量求频率的公式 是单自由度体系频率公式的推广 几点注意 低阻尼体系的自由振动可以不考虑阻尼的影响 n个自由度体系有n个频率和主振型 各频率之间的关系是 1 2 n K 1 可见刚度法 柔度法实质上是相同的 可以互相导出 当计算体系的柔度系数方便时用柔度法 如梁 静定结构 当计算体系的刚度系数方便时用刚度法 如横梁刚度为无穷大的多层刚架 主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式 多自由度体系能够按某个主振型振动的条件是 初始位移和初始速度应当与此主振型相对应 为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同 为负时 表示与单位力方向相反 主振型正交性的物理意义 体系按某一主振型振动时 在振动过程中 其惯性力不会在其它振型上作功 因此 它的能量便不会转移到别的振型上去 从而激起其它振型的振动 即各主振型可以单独出现 频率 主振型及主振型的正交性是体系本身的固有特性 与外荷载无关 13 6多自由度强迫振动 位移幅值计算 惯性力幅值计算 动内力幅值计算 对称性的利用 1 柔度法 忽略阻尼 因为在简谐荷载作用下 荷载频率在共振区之外 阻尼影响很小 在共振区之内时 计不计阻尼 虽对振幅影响很大 但都能反映共振现象 2 动位移的解答及讨论通解包含两部分 齐次解对应按自振频率振动的自由振动 由于阻尼而很快消失 特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动 13 6两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 1 建立振动微分方程 各简谐荷载频率相同相位相同 否则用其他方法 n各自由度体系 存在n个可能的共振点 设纯强迫振动解答为 代入 3 动内力幅值的计算 荷载 位移 惯性力同频 同相 同时达到最大 位移达到最大时 内力也达到最大 求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构 用静力法求出内力 即为动内力幅值 或用叠加公式求 由Y1 Y2值可求得位移和惯性力 惯性力的幅值为 代入位移幅值方程 可得求惯性力幅值的方程 直接求惯性力幅值 求得惯性力幅值Ii如为正 表示与计算柔度系数时置于质量mi处的单位力方向相同 为负时 表示与单位力方向相反 动内力幅值计算 位移 惯性力 动荷载频率相同 对于无阻尼体系三者同时达到幅值 于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上 按静力学方法求解 即得到体系的最大动内力和最大动位移 对称性的利用 振动体系的对称性是指 结构对称 质量分布对称 强迫振动时荷载对称或反对称 多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反对称 可分别取半边结构进行计算 对称荷载作用下 振动形式为对称的 反对称荷载作用下 振动形式为反对称的 可分别取半边结构进行计算 一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组 分别计算再叠加 例 图示简支梁EI 常数 0 75 1求动位移幅值和动弯矩幅值 解 1 求柔度系数 2 作MP图 求 1P 2P 5 计算动内力 1 4119P 0 2689P 0 8740P Qd图 0 3530Pl 0 2180Pl Md图 6 比较动力系数 因此 多自由度体系没有统一的动力系数 返回 例题7 求幅值1 3 求图示刚架楼面处的侧移幅值 惯性力幅值和柱底截面弯矩幅值 解 1 求刚度系数 2 求位移幅值 3 求惯性力幅值 位移幅值 0 9P 0 9P A 例 质量集中在楼层上m1 m2 层间侧移刚度为k1 k2 解 荷载幅值 P1 P P2 0 求刚度系数 k11 k1 k2 k21 k2 k22 k2 k12 k2 当m1 m2 m k1 k2 k 两个质点的位移动力系数不同 当 趋于无穷大 可见在两个自由度体系中 在两种情况下可能出现共振 yst1 yst2 P k 荷载幅值产生的静位移和静内力 yst1 yst2 P k 层间剪力 Qst1 P 动荷载产生的位移幅值和内力幅值 由此可见 在多自由度体系中 没有一个统一的动力系数 层间动剪力 这说明在下图结构上 适当加以m2 k2系统 可以消除m1的振动 动力吸振器原理 吸振器不能盲目设置 必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置 例 如图示梁中点放一点动机 重2500N 电动机使梁中点产生的静位移为1cm 转速为300r min 产生的动荷载幅值P 1kN问 1 应加动力吸振器吗 2 设计吸振器 许可位移为1cm 解 1 频率比在共振区之内应设置吸振器 2 13 7求频率的近似法 能量法求第一频率 Rayleigh法 集中质量法 频率 振型的实用计算方法 能量法 瑞利法 能量法是计算体基本频率近似值的一种常用方法 设体系按i振型作自由振动 t时刻的位移为 速度为 动能为 势能为 最大动能为 最大势能为 由能量守恒 有 选满足位移边界条件的 形状与振型相近的向量代入上式求频率的近似值 通常将重力作为荷载所引起的位移代入上式求基本频率的近似值 算例 用能量法计算图示体系的基频 解 1 取自重引起的位移 精确解 2 取直线 3 取常数 精确解 能量法求第一频率 Rayleigh法 设一位移幅值函数Y x 代入上式求频率 假设位移幅值函数Y x 必须注意以下几点 必须满足运动边界条件 铰支端 Y 0 固定端 Y 0 Y 0 尽量满足弯矩边界条件 以减小误差 剪力边界条件可不计 所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近 如正好与第n主振型相似 则可求的 n的准确解 但主振型通常是未知的 只能假定一近似的振型曲线 得到频率的近似值 由于假定高频率的振型困难 计算高频率误差较大 故Rayleigh法主要用于求 1的近似解 相应于第一频率所设的振型曲线 应当是结构比较容易出现的变形形式 曲率小 拐点少 通常可取结构在某个静荷载q x 如自重 作用下的弹性曲线作为Y x 的近似表达式 此时应变能可用相应荷载q x 所作的功来代替 即 则 Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高 其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线 就是迫使梁按照这种假设的形状振动 这就相当于给梁加上了某种约束 增大了梁的刚度 致使频率偏高 当所设振型越接近于真实 则相当于对体系施加的约束越小 求得的频率越接近于真实 即偏高量越小 迭代法 对于给定的方阵 满足上式的向量和数值称作的特征向量和特征值 合称为特征对 有限自由度体系求频率 振型 属于矩阵特征值问题 标准特征值问题 广义特征值问题 柔度法建立的振型方程 令 动力矩阵 标准特征值问题 刚度法建立的振型方程 广义特征值问题 一 迭代法求基频和基本振型 1 作法 若是真的振型 则下式成立 即与成比例 若不成比例 不是振型 迭代式为 这时将归一化 得 在将其作为新的假设振型继续计算 一直算到与成比例为止 为基本振型 这时下式成立 基本频率由下式计算 2 算例 用迭代法计算图示体系的基频和基本振型