高二数学理科期末试卷

.高二数学（上）期末考一、选择题：本小题共10 小题，每小题5 分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 x30 的解集是（）b 1,3c,31,d,13,1. 不等式 x2a3,12. 已知平面的法向量是2,3,1 ， 平面的法向量是4,2 ，若/ /，则的值是（）a10b6c 6d 1033;.3. 已知a, b,c 满足 cba ， 且 ac0 ，那么下列选项中一定成立的是()a. abacb.c ba0c.cb2ab2d.ac ac04. 已知 an 是由正数组成的等比数列，sn 表示 an 的前 n 项的和若a13 ， a2 a4144 ，则s10 的值是 ()a 511b 1023c 1533d30695. 下列有关命题的说法正确的是()a. 命题“若x21 ，则 x1 ”的否命题为： “若x21 ， 则 x1 ”b. “ x1 ”是“2x5x60 ”的必要不充分条件c. 命题“xr ，使得 x2x10 ”的否定是： “xr，均有 x2x10 ”d. 命题“若xy ， 则 sin xx2siny ”的逆否命题为真命题6. 设f1 , f2为双曲线4y 21 的两个焦点，点p 在双曲线上且f1pf 2900 ，则f1 pf2的面积是（）a.1 b.5c.2d.527. 已知向量aa. 1b.(1,1,0) ， b1c.5(1,0,2) ，且 k a 3d.755b 与 2 ab 互相垂直，则k 的值是（）8. 若abc 的内角a, b,c 所对的边a, b, c 满足22(ab)c4 ， 且 c060，则 ab 的最小值为 ()a. 233x2y2b. 43 3c. 43d 8439. 若双曲线221(aab0, b0) 的右焦点为f，若过 f 且倾斜角为60 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e的取值范围是（）a 1,2b 1,2c 2,d. 2,10. 若抛物线y24x 的焦点是f , 准线是 l , 则经过点 f 、 m （ 4， 4）且与 l 相切的圆共有（）a.4 个b.2个c.1个d.0个二、填空题 : 本大题共5 小题，每小题4 分，满分20 分. 请把答案填在答题纸的相应位置.11. 等差数列an中，若 a3a4a512,则 a1a 7 =.x1,12. 已知xy2 xy10,20则 zxy的最小值是.13. 已知正方体abcda1 b1c1 d1 中， e 为 c1 d1的中点，则异面直线ae 与 bc所成角的余弦值为.14. 点 p 是抛物线y24 x 上一动点，则点p 到点a(0,1) 的距离与p 到直线 x1的距离和的最小值是.15. 设an是公比为 q 的等比数列，其前n 项积为t n ，并满足条件a 11, a 99a 10010,a 991a 10010 ，给出下列结论：（ 1） 0q1 ；（2） t1981 ；（ 3） a 99 a 1011 ；（4）使 tn1 成立的最小自然数n 等于 199 ，其中正确的编号为（写出所有正确的编号）三、解答题 : 本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.16. （本小题满分13 分）已知数列 an 的前 n 项和为sn ，且an 是 sn 与 2 的等差中项，求 a1 , a2 的值；求数列 an 的通项公式。17（本小题满分13 分） 已知 a0, a1 ，命题 p :“函数f (x)a x 在 (0,) 上单调递减 ”，命题 q :“关于 x 的不等式 x212ax40 对一切的xr恒成立 ”，若 pq 为假命题，pq为真命题，求实数a 的取值范围 .ac18（本小题满分13 分）在 abc 中， a、b、c 分别是角a、b、c 的对边，且abba ，c（ 1）求角 b 的大小；（ 2）若 abc 最大边的边长为7 ， 且 sin c2 sin a ，求最小边长19（本小题满分13 分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130 千米(50 x100)( 单位：千米/ 小时) 假设汽x2油的价格是每升2 元，而汽车每小时耗油(2 360) 升，司机的工资是每小时14 元(1) 求这次行车总费用y 关于 x 的表达式； (2) 当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值20（本小题满分14 分）如图，在四棱锥pabcd中， pd底面 abcd，p底面 abcd是正方形， pd=dc， e、f 分别为 ab、pb的中点。（ 1）求证： efcd；（ 2）求 db与平面 def所成角的正弦值；（ 3）在平面pad内求一点g，使 gf平面 pcb，并证明你的结论。fx 221（本小题满分14 分）已知椭圆2ay1( a2b 2b0 ) 的左、右焦点分别是dcaebf1（ c， 0）、f 2（c， 0 ）， q 是椭圆外的动点，满足| f1q |2a. 点 p 是 线段f1 q 与该椭圆的交点，点t 在线段 f2 q上，并且满足pttf20,| tf2 |0. （ 1）设 x 为点 p 的横坐标，证明| f1 p |ac x ；（ 2 ）a求点 t 的轨迹 c 的方程；（ 3）试问：在点 t 的轨迹上， 是否存在点m， 使 f 1mf 2 的面积 s= b 2 .若存在，求f1 mf 2 的正切值；若不存在，请说明理由.高二（上）期末联考数学试卷参考答案（理科）一、选择题15、bcadd6 10、adbdb二、填空题11、812、313、214、215、（ 1）（ 3）（ 4）3三、解答题16、 解: 由已知得 2ansn2- -2分由得：2a1s12a12 -4分 2a2s22a1a 22a 24 -6分(2) 解：2a n+1sn 12 - - 得2an+1an+1 an2a n2sn 1sna n+1-9分数 列 an 以2为 首 项 ， 以2为 公 比 的 等 比 数 列-11分 即 an2 2 n 12 n -13分17、解： p 为真： 0a1；2 分；q 为真：4a 210 ，得1a21， 又 a210, a 1，0a52分因为pq为假命题，pq 为真命题，所以p, q 命题一真一假7 分0a1（ 1） 当 p 真 q 假1a21a12a19 分（ 2）当 p 假 q 真10a2无解11 分(,1)综上， a 的取值范围是1213 分18、解：（）由acabba 整理得 (acc)c(ba)( ab) ，即 acc2b 2a 2 ， -2 分a 2c 2b 2ac122 cos b， 0b， b。（）b,最长边为b ，2ac2ac233sin c2 sin a，c2a ， a 为最小边，由余弦定理得27a 24a 22a 2a (12) ，解得 a1 ，2 a1 ，即最小边长为11301302x1413019、解： (1) 行车所用时间为tx (h) ，yx 2(2360)x， x 50,100 234013所以，这次行车总费用y 关于 x 的表达式是yx 18x， x 50,100234013234013(2) yx 18x2610，当且仅当x 18x， 即 x 1810时，上述不等式中等号成立当 x 1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元20、pd面 abcd ,pdda, pddc ，又底面 abcd是正方形，dadc以da、 dc、dp所在直线为x轴、y轴、 z轴建立空间直角坐标系，设ada，pd (0,0,0) 、（a a，0，0）、（b a， a，0）、 c（0， a，0）、（e a， ，0）、（f， ，0）则aaaaaaf（， ，）、（p 222;.0，0，a）.222fdcaeb（1）efdc（a ，0 a0， a，0）0，efdc .;.， ）（22（2） 设平面 def 的法向量为 n( x, y, z).ndf0aaaa( x, y, z)(,)0,( xyz)0.由，得2222nde0aa( x, y, z)( a,0)0,axy0.22取x1,则y2, z1,n(1, 2,1).cosbd,nbdna3 ,db与平面 def 所成角的正弦 值为3 .6bdn2a66（3） ）设 g（ x，0， z），则 g平面 pad .。fg（ xa ,a , za ）,222fgcb（ xa ,a , za ）(a,0,0)a( xa)0, xa ;222222fgcp（ xa ,a , za ）(0,a, a)aa(za)0, z0.22222g点坐标为（a ，0，0），即 2g点为ad的中点 .解法二、 (1) 证明：pd面 abcdpdcd ，又abcd 是正方形adcdpdaddcd面 padcdpae 、f 分别为ab、pb的中点efpa ，故 cdef（证法二）取bd的中点o，连结fo、oe.aeeb，oe / ad又adcd， oecd.fpfb，fo / pd.pd底面 abcd，fo底面 abcd，focdoeofocd面 oefef面oefcdef（2） ）设 b到平面def 的距离为 d.v b defv f deb，13 s defd13 s debfo .设底面边长为a， 则 fo1 a，1 a2， ef1 ap2a ，2s deb11a 24225dfpb3a，dea2a.2242ef 2df 22 a 243 a 245 a 24de 2，def90o.s def6 a 2，826121adaad 8421a.设db 与平面6def 所成角，则 sind3 ，db6db 与平面def 所成角的正弦值为3 .6（3） ）答：g是ad的中点 .（方法一）取pc的中点h ，连结dh .pddc ，dhpc又bc平面pdc ，bcdh ，dh1平面 pcb.取da中点 g，连结gf 、fh .hf / /bc / /dg， 四边形2dgfh为平行四边形dh / /gf ， gf平面 pcb.（方法二）取ad中点g，连结pg、gb、gf .pgdbga，pggb.又f 为pb中点，gfpb.连结go.fo底面 abcd， ogad，fgad，fgbcfg平面 pbc.21、解：（ 1）证法一：设点p 的坐标为(x, y). 由 p ( x,y) 在椭圆上，得| f p |( xc) 2y2( xc) 2b 2bx 22a12(ac x) 2 . a由 xa,知ac xaca0 ，所以| f1 p |ac x.3 分a2证法二：设点p 的坐标为( x, y). 记 | f1 p |r1 , | f2 p |r2 , 则 r12(xc)2y , r222(xc)y.由 r1r 22a, r 2r4cx,得| f1p |r1ac x. a12（ 2）解法一：设点t 的坐标为( x, y).当 | pt |0 时，点（ a ， 0 ）和点（a ， 0）在轨迹上 .当| pt |0且 | tf2 |0 时，由| pt | tf2 |0 ， 得 pttf2.又| pq | pf2| ，所以 t 为线段f2 q 的中点 .在 qf1f 2 中，| ot |1 | f q |12a ，所以有x2y 2a 2 .综上所述，点t 的轨迹 c 的方程是x2y 2a 2 .解法二：设点t 的坐标为( x, y).当 | pt |0 时，点（ a ， 0）和点（a ， 0）在轨迹上 .当| pt |0 且 |tf2 |0 时，由 pttf20 ，得 pttf2 .又 | pq | pf2| ，所以 t 为线段 f2 q 的中点 .设点 q 的坐标为（x , yx），则yxc , 2y . 2x 2xc,因此y 2 y.由 | f1 q |2a 得 ( xc) 2y 24a 2 .将代入，可得x 2y 2a2 .综上所述，点t 的轨迹 c 的方程是x2y 2a 2 .7 分00（ 3 ）解法一： c 上存在点m（x , y ）使 s= b 2 的充要条件是xya ,222002012c | y|b .222bb2由得| y0 |a ，由得| y0 |.所以，当 ac时，存在点m， 使 s= b；ca当b2 时，不存在满足条件的点m.11 分c2当 ab c时 ， mf1(cx0 ,y0 ), mf 2( cx0 ,y0 ) ，由 mf1mf2222xyc00a 2c 2b 2 ，mf1mf2| mf1 |1| mf 2| cosf1 mf2 ，22s| mf1 | 2| mf 2|