偏导数与全微分习题

偏导数与全微分习题精品资料1. 设f ( x, y)x( y1) arcsinx ，求 f x ( x,y1) 。2. 习题 817 题。3. 设f ( x, y)ysin1x 2x 2y20x 2y20，考察 f (x,y20y)在点（ 0,0 ）的偏导数。4. 考 察f ( x, y)1xysin22xy0x 2y20在 点x 2y20（0,0 ）处的可微性。5. 证明函数f ( x, y)( x 2y2 ) sin01x2y2x 2y20在x 2y20点（ 0,0 ）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0 ） 不连续，而 f (x, y)在点（ 0,0 ）可微。1. 设f ( x, y)x( y1) arcsinx ，求yf x ( x,1) 。f x ( x,y)1( y1)11xy11 ( x)212yyf x ( x,1)1。2. 习题 817 题。17.设 zln( x2 z2 za) 2( yb) 2 （a, b 为常数），证明220。xy先化简函数z1 ln( x2a)2( yb)2 ) ，z12( xa)( xa)，x2( xa) 2( yb)2( xa)2( yb)2z12( yb)( yb)，y2( xa)2( yb)2( xa)2( yb)22 z( xa)2( yb) 22( xa) 2x 2( xa) 2( yb) 2 ) 2( yb) 2( xa) 2( xa) 2( yb)2 ) 2 ，2 z( xa) 2( yb) 22( yb) 2y2( xa) 2( yb) 2 ) 2( xa) 2 2( yb) 222，( xa)( y2 z2 z0。x 2y2b) )3. 设f ( x, y)ysin1x 2x 2y20x 2y20，考察 f (x,y20y)在点（ 0,0 ）的偏导数。由偏导数定义可知f x (0,0)f (limx0x,0)xf (0,0)lim00 ，x 0f y (0,0)limy 0f (0,y)fy( 0,0)limysin10y2不存在。4. 考 察f ( x, y)1xysin22xy0x 2y20在 点x 2y20（0,0 ）处的可微性。由偏导数定义可知f x (0,0)limf (x,0)f ( 0,0)0 ，x 0xf y(0,0)limf (0,y)f(0,0)0，y 0y则 dz=0,fdzf (x,y)f(0,0)xysin(1x) 2(y) 2要讨论在（ 0,0 ）点可微性，即讨论极限limf0dz 是否趋于 0，limfdzlimxysin (1x) 2(y) 20 ，00(x)2(y)2这是因为xysin|(1x) 2(y) 2|1(x)2(y)2(x)2(y)22(x)2(y)21(x)22(y) 2f (x, y)在点（ 0,0）处的可微4. 证明函数( x 2y2 ) sin1x2y20x 2x 2y2y20f ( x, y)在0点（ 0,0 ）连续且偏导数存在，但偏导数在（0,0 ） 不连续，而 f (x, y)在点（ 0,0 ）可微。（1）连续|f ( x, y)f ( 0,0) | ( x 2y2 ) sin1|x 2y2| x2y2 |，故 f (x, y)在（ 0,0 ）点连续；（2） 偏导数存在由偏导数定义f x ( 0,0)f (limx0x,0)xf (0,0)(limx0x) 21sin|x |0x同理fx ( 0,0)0 ，偏导数存在；（3） 偏导数在（ 0,0 ）点不连续当 x 2y20时f x ( x, y)2 x sin1x 2y 2xx 2y 2cos1，x 2y2而limf x ( x, y)lim2x sin1xcos1x0x0yxyx2 x22 | x |2 x2极限不存在，故f x ( x,y) 在（ 0,0 ）处不连续；同理，f y ( x,y) 在（ 0,0 ）处不连续；（4） 可微由（ 2）可知:dz=0,fdzf ( x, y)f (0,0)(x) 2(y)2 ) sin1(x) 2(,y) 2(x)2(y)2 ) sinlimfdzlim1(x)2(y)200(x)2(