反比例函数压轴题精选(含答案)

2009-2013年中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义：y1ca精品资料(i )s aobs aock ；2obx(ii)s矩形 oback 。yy下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图 ，ppecbecs opas ocd ，s opcs梯形 padc 。oadxoax(2 )如图 ，s梯形 oapbs梯形 obca ， sbpe图图s ace 。经典例题例 1.(1)( 兰州 )如图，已知双曲线yk ( x x0) 经过矩形 oabc边 ab 的中yceb foax点 f 且交 bc于点 e ，四边形 oebf 的面积为2 ，则 k2；y(2) 如图，点a、b 为直线 yx 上的两点，过a、b 两点分别作y 轴的平行线交双b a曲线 y1 (x0) 于 c、d 两点，若 bd2 ac ，则 4oc 2od 26cdx例 2 (2013陕西 ) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数oxy6 的图象交xa( x1 , y1 ), b( x2 ,y2 ) ，那么( x2x1 )( y26y1 ) 值为24.解析：因为a， b 在反比例函数y上，所以xx1 y16 ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 )中有x2x1 , y2y1，所以(x2x1 )( y2y1 )(x1x1 )(y1y1 )4x1 y14624例 3 (2010 山东威海 ) 如图，一次函数ykxb 的图象与反比例函数ym 的图象交于点a2 ， 5，c 5 ， xn，交y 轴于点 b，交 x 轴于点 d(1) 求反比例函数ym和一次函数yxkxb 的表达式；y(2) 连接 oa，oc 求 aoc 的面积解： (1) 反比例函数ym 的图象经过点a2， 5 ， xcodxb m=( 2) ( 5) 10 反比例函数的表达式为ay10 点 c 5， n在反比例函数的图象上，xn1052 c 的坐标为5 ， 2 一次函数的图象经过点a， c，将这两个点的坐标代入ykxb ，得52kb，25kb.k1，解得b3.y 所求一次函数的表达式为y x 3 a(2) 一次函数y=x 3 的图像交 y 轴于点 b， b 点坐标为0 ， 3 ox ob3 a 点的横坐标为2 ，c 点的横坐标为5 ，bsaoc= saob+ s boc= 1 ob- 221 ob 5 211 ob2521 22k例 4（ 2007 福建福州） 如图，已知直线（ 1 ）求 k 的值；yx 与双曲线y 2(k0)x交于 a，b 两点， 且点 a 的横坐标为4 （ 2 ）若双曲线yk (k x0) 上一点 c 的纵坐标为8 ，求 aoc 的面积；k（ 3 ）过原点 o的另一条直线l 交双曲线y(k0)x于 p， q 两点（ p 点在第一象限） ，若由点 a， b， p， q为顶点组成的四边形面积为24 ，求点 p 的坐标y解：（ 1 ）点 a 横坐标为 4 ，当 x点 a 的坐标为 (4，2) 4 时， y2 ncdao点 a 是直线 y1 x 与双曲线y2k (k x0) 的交点，mx精品资料图 1k428 精品资料（ 2）解法一：如图1 ，点 c 在双曲线上，当y8 时， x1点 c 的坐标为 (1，8) 过点 a，c 分别做 x 轴， y 轴的垂线，垂足为m，n ，得矩形 dmon s矩形 ondm32 ， sonc4 ， s cda9 ， s oam4 s aocs矩形 ondms oncs cdas oam3249415 y c解法二：如图2，a过点 c，a 分别做 x 轴的垂线，垂足为e，f ，8o efxb点 c 在双曲线y上，当 yx8 时， x1 图 28点 c 的坐标为 (1，8)点 c ， a 都在双曲线y上，xs coes aof4scoe梯s形 cefa sc oasys coas梯形 cefas梯形 cefa 1(28)315 ，2s coa15 pao e fxb（ 3）反比例函数图象是关于原点o的中心对称图形，q图 3opoq ， oaob 四边形 apbq 是平行四边形11s poas平行四边形 apbq44246 8y设点 p 横坐标为m(m0且m4) ，得p( m， ) ma过点 p，a 分别做 x 轴的垂线，垂足为e，f ，p点 p，a 在双曲线上，s pqes aof4 qofexb若 0m4 ，如图 3，图 4s poes梯形 pefas poas aof ，ss6 128 (4m)6 梯形 pefa poa2m解得 m2 ， m8 （舍去）p (2，4) 若 m4 ，如图 4，s aofs梯形 afeps aopspoe ，ss6 128(m4)6 ，梯形 pefa poa2m解得 m8 ， m2 （舍去）p(8，1) 点 p 的坐标是 p (2，4) 或 p(8，1) 例 5. (山东淄博 ) 如图，正方形aocb 的边长为4，反比例函数的图象过点 e（ 3， 4）（ 1 ）求反比例函数的解析式；（ 2 ）反比例函数的图象与线段bc 交于点 d，直线y = -1 x +2b 过点 d，与线段 ab 相交于点f，求点 f 的坐标；（ 3）连接 of， oe，探究 aof 与 eoc 的数量关系，并证明【答案】 解：（ 1 ）设反比例函数的解析式y = k ，x 反比例函数的图象过点e（ 3， 4）， 4 =k ，即 k=12 。 反比例函数的解析式3y = 12 。x（ 2） 正方形 aocb 的边长为4， 点 d 的横坐标为4 ，点 f 的纵坐标为4 。 点 d 在反比例函数的图象上， 点 d 的纵坐标为3，即 d（ 4,3 ）。 点 d 在直线y = -1 x +2b 上， 3 = -1 ?4b ，解得 b=5 。 直线 df 为2y = -1 x + 5 。2将 y =4 代入y = -1 x +25 ，得4 = -1 x +25 ，解得 x =2。 点 f 的坐标为（ 2， 4）。（ 3 ） aof 12 eoc。证明如下：在 cd 上取 cg =cf =2 ，连接 og，连接 eg 并延长交 轴于点 h。 ao=co =4 ， oaf = ocg =90 0， af=cg =2 ， oaf ocg （ sas）。 aof = cog 。 egb = hgc ， b= gch=90 0 ， bg=cg =2 ， egb hgc （ aas）。 eg=hg 。设直线 eg： y = mx + n ， e（ 3， 4），g （ 4， 2 ），43mn，解得，m2。24mnn=10 直线 eg： y = -2x +10 。令 y = -2x +10=0 ，得 x =5。h（ 5，0），oh =5 。在 r aof 中，ao=4，ae =3 ，根据勾股定理， 得 oe=5 。 oh=oe。 og 是等腰三角形底边eh 上的中线。 og 是等腰三角形顶角的平分线。 eog = goh。 eog= goc = aof，即 aof 12 eoc 。例 6.(2009山东威海 ) 一次函数 yaxb 的图象分别与x 轴、 y 轴交于点m , n ，与反比例函数yk的图象x相交于点a, b 过点 a 分别作 acx 轴， aey 轴，垂足分别为c, e ；过点 b 分别作 bfx 轴， bdy轴，垂足分别为f， d，ac 与 bd 交于点 k ，连接 cd k（ 1）若点 a，b 在反比例函数y的图象的同一分支上，如图1 ，试证明：x s四边形 aedks四边形 cfbk ； anbm （ 2）若点 a， b 分别在反比例函数yk 的图象的不同分支上，如图2 ，则 an 与 bm 还相等吗？试证明你的x结论yna( x1，y1)eb( x2， y2 )dkyea( x1，y1)nfmocf mxocxkb( x3， y3 )d（图 1）（图 2）解：（ 1 ）ac x 轴， ae y 轴，四边形 aeoc 为矩形bf x 轴， bd y 轴，四边形 bdof 为矩形ac x轴， bd y 轴，四边形 aedk，dock， cfbk均为矩形ocx1， acy1， x1 y1k ，s矩形 aeococ acx1 y1kofx2， fby2， x2y2k ，s矩形 bdofoffbx2 y2k s矩形 aeocs矩形 bdof s矩形 aedks矩形aeocs矩形 dock ，s矩形 cfbks矩形bdofs矩形 dock ，s矩形 aedks矩形cfbk 由（ 1 ）知 ssakbkak dkbk ck 矩形aedk矩形 cfbkckdkakbckd90， akb ckdcdkabk ab cdac y 轴，四边形 acdn 是平行四边形yancd 同理 bmcd anbm ea（ 2） an 与 bm 仍然相等s矩形 aedks矩形 aeocs矩形 odkc ，nf mocxs矩形 bkcfs矩形 bdofs矩形 odkc ，又s矩形 aeocs矩形bdofk ，d kbs矩形 aedkckdks矩形 bkcfak dkbk ck 图 2akbkkk ，cdk abkcdkabk ab cd ac y 轴，四边形 andc 是平行四边形a nc d 同理 bmcd anbm 第一部分练习一、选择题k1.(2009年鄂州 )如图，直线y=mx 与双曲线 y=x交于 a、b 两点，过点a 作 am x 轴，垂足为m，连结 bm,若 s abm=2 ，则 k 的值是a.2 b.m 2c. md.42.(2009兰州 ) 如图， 若正方形oabc 的顶点 b 和正方形adef 的顶点 e 都在函数y1 （ xx0 ）的图象上，则点e 的坐标是（，） .k3.(2009泰安）如图，双曲线y( k0)x经过矩形oabc 的边 bc 的中点 e，交 ab 于点 d。若梯形odbc 的面积为 3 ，则双曲线的解析式为精品资料1a. yx3c. yx2b yx6d yx4.（ 2009 仙桃）如图，已知双曲线yk ( k0 ) 经过直角三角形oab 斜边 ob 的中点 d，与直角边ab 相交于x点 c若 obc 的面积为3，则 k 5.(2009年牡丹江市 )如图，点 a 、 b 是双曲线y3 上的点，分别经过a 、 b 两点向 x 轴、 y 轴作垂线段，若xs阴影1，则 s1s26. （ 2009 年莆田）如图，在x 轴的正半轴上依次截取oa1a1 a2a2 a3a3 a4a4 a5 ，过点a1、a2、a3、 a4、a5分别作 x 轴的垂线与反比例函数y2x x0 的图象相交于点p1、 p2、p3、p4、p5，得直角三角形op1a1、a1p2 a2、 a2p3 a3、a3p4 a4、a4 p5 a5，并设其面积分别为s1、s2、 s3、s4、s5，则 s5 的值为yy2yxap1s1bp2p3 p4 p5s2ooxa1 a2a3 a4 a5x第 4 题图第 5 题图第 6 题图k7.（ 2009 年包头） 已知一次函数yx1与反比例函数y的图象在第一象限相交于点a，与 x 轴相交于点xc， ab x轴于点 b ， aob 的面积为1，则 ac 的长为28（.2010嵊州市）如图 ,直线 ykx(k0) 与双曲线y交于 a( x1 , y1 ), b(x2 , y2 )x两点 ,则 3x1 y28 x2 y1 的值为a. 5b.10c.5d.10【答案】 b9.（ 2010 江苏无锡） 如图， 已知梯形abco 的底边 ao 在 x 轴上， bcao ，abao ，过点 c 的双曲线 ykx3交 ob 于 d，且 od： db= 1:2 ，若 obc 的面积等于3，则 k 的值a等于 2b等于424y c等于ad. 无法确定【答案】 by5yb精品资料caco bxoxdboax第 7 题图第 8 题图第 9 题图精品资料10. （2010江苏盐城）如图，a、b 是双曲线y=kx (k0)上的点，a、b 两点的横坐标分别是a、2a，线段ab 的延长线交x 轴于点 c，若 s aoc=6 则 k=【答案】 4k11. （2010 安徽蚌埠二中）已知点（1， 3 ）在函数yk( x0) 的图像上。正方形abcd 的边 bc 在 x 轴上，x点 e 是对角线bd 的中点，函数y( x0) 的图像又经过a 、 e 两点，x则点 e 的横坐标为 。【答案】612.（ 2010 四川内江）如图，反比例函数yk(x 0) 的图象经过矩形oabc 对角x线的交点m，分别与 ab 、bc 相交于点d、e若四边形odbe 的面积为6 ，则 k 的值为a 1b 2c 3d 4【答案】 byyacebbocxmdoax第 10 题图第 11 题图第 12 题图13.（ 2011 山东东营） 如图 ,直线 l 和双曲线yk ( k x0) 交于 a、b 亮点 ,p 是线段 ab 上的点（不与 a、b 重合）,过点 a、b、p 分别向 x 轴作垂线 ,垂足分别是c、d、e,连接 oa、ob、op,设 aoc 面积是 s1、 bod面积是 s2、 poe 面积是 s3、则a. s 1 s2 s3b. s1 s2s3c. s 1=s2s3d. s1=s2 l)则 oab 的面积 (用 m 表示 )为m21a.2mm21b.m3(m21)c.m3(m21)d.2m答案： b22. （2013 江苏苏州）如图，菱形oabc 的顶点 c 的坐标为 (3 ， 4) ，顶点 a 在 x 轴的正半轴上反比例函数y kx(x 0) 的图象经过顶点b，则 k 的值为a12b 20c24d 32【答案】 d解：过 c 点作 cd x 轴，垂足为d 点 c 的坐标为（ 3， 4）， od =3 ，cd =4 oc= od2+ cd 2=32+42=5 oc= bc=5 点 b 坐标为（ 8， 4）， 反比例函数y= kx（ x 0）的图象经过顶点b， k=32 y23.（ 2013 山东临沂） 如图，等边三角形oab 的一边 oa 在 x 轴上，双曲线 y3x图象经过ob 边的中点c，则点 b 的坐标是a（ 1 ，3 ） b（3 ， 1 ）c （ 2 ， 23 ）d （ 23 ， 2）【答案】： c在 第 一 象 限 内 的bcoax24.(2013湖北孝感） 如图， 函数 y=x 与函数的图象相交于a，b 两点， 过 a，b 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点c， d则四边形acbd 的面积为a 2b 4c 6d 8解答： 解： 过函数的图象上a，b 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点c， d， saoc=s odb=| k|=2 ， 又 oc=od， ac=bd， saoc=s oda=sodb=sobc=2 ， 四边形 abcd 的面积为：s aoc+s oda+ s odb+s obc=4 2=8 故选 d25. （2013 四川内江）如图，反比例函数（x 0 ）的图象经过矩形oabc 对角线的交点m，分别于ab、bc 交于点 d、e，若四边形odbe 的面积为9，则 k 的值为a 1b 2c3d 4解答： 解：由题意得：e、 m、d 位于反比例函数图象上，则s oce=，soad=， 过点 m 作 mg y 轴于点 g，作 mn x 轴于点 n，则 sonmg=| k|，又m 为矩形 abco 对角线的交点， s 矩形 abco=4 sonmg =4| k|，由于函数图象在第一象限，k0 ，则 +9=4 k， 解得： k=3 故选 c26.(2013四川乐山 )如图，已知第一象限内的点a 在反比例函数y =2的图象上，第二象限内的点b 在反比例xk函数y =x的图象上，且oa 0b ， cota=3，则 k 的值为3a 3b. 6c.3d. 2327.（ 2013 贵州省黔东南州）如图，直线y=2 x 与双曲线y=在第一象限的交点为a，过点 a 作 ab x 轴于 b， 将 abo 绕点 o 旋转 90 ，得到 abo，则点 a的坐标为a. 1,0b.1,0 或1,0c.2,0或0,2d.2,1 或2,1解答： 解：联立直线与反比例解析式得：，消去 y 得到： x2=1 ，解得： x=1 或1 ，y=2 或2 ， a（ 1， 2 ），即 ab=2 ， ob=1 ，根据题意画出相应的图形，如图所示，可得 ab=ab=ab =2 ，ob = ob=ob =1 ，根据图形得：点a的坐标为（2 ， 1）或（ 2，1）故选 d28. （ 2013 ?威海） 如图， 在平面直角坐标系中， aob =90 ， oab =30 ，反比例函数的图象经过点a，反比例函数的图象经过点b，则下列关于m， n 的关系正确的是（）a m =3 nb m=ncm=nd m=n解答： 解：过点 b 作 be x 轴于点 e，过点 a 作 af x 轴于点 f，设点 b 坐标为（ a，），点 a 的坐标为（ b，）， oab =30 ， oa=ob，设点 b 坐标为（ a，），点 a 的坐标为（ b，），则 oe=a， be=， of=b， af=， boe + obe=90 ， aof + boe =90 ， obe= aof，又 beo= ofa =90 ， boe oaf，=，即=，解得： m=ab， n=，故可得： m=3n故选 a二、填空题1.（ 2010 湖北武汉）如图，直线y3 xb 与 y 轴交于点a，与双曲线y k 在3x第一象限交于点b， c 两点，且abac 4，则 k2（.答案：32010福建德化） 如图，直线y4 x 与双曲线y 3kkyx（0 ）交于点 a 将直线xaby4 x 向3下平移个6 单位后，与双曲线y（ x0 ）交于点b ，与 x 轴交于点x精品资料ocxc，则 c 点的坐标为 ；若 aobc92 ，则 k精品资料【答案】（,0) ， 1223. （ 2010湖南衡阳）如图，已知双曲线yk ( k 0 ) 经过直角三角形oab斜边xob 的中点 d，与直角边ab 相交于点c若 obc 的面积为3 ， 则 k 【答案】 24.（ 2011 宁波市） 如图， 正方形 a1b1p1p2 的顶点 p1、p2 在反比例函数y2（ xx0）的图像上，顶点a1、b1 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2p2 p3a2b2，顶点 p3 在反比例函数yx（ x0）的图象上，顶点a3 在 x 轴的正半轴上，则点p3 的坐标为【答案】（3 1，3 1）5.（ 2011 安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中有一正方形aobc ，反 比 例 函 数ky经过正方形aobc 对角线的交点， 半径为（ 4 - x22 ）的圆内切于 abc ，则 k 的值为【答案】 46.（ 2011 湖北武汉市） 如图，abcd 的顶点 a，b 的坐标分别是a（ 1，0 ）， b（ 0， 2 ），顶点 c，d 在双曲线y=k 上，边 ad 交 y 轴于点 e，且四边形xbcde的面积是 abe 面积的 5 倍，则 k= 【答案】 127. （ 2011 湖北孝感）如图，点a 在双曲线y = 1 上，点 b 在双曲线xy = 3x上，且 ab x 轴， c、d 在 x 轴上，若四边形abcd 的面积为矩形，则 它 的 面积为.【答案】 28.（ 2011 湖北荆州， 16 ，4 分）如图，双曲线2y =(x 0) 经过x四 边 形oabc的顶点 a、c，abc 90 ，oc 平分 oa 与 x 轴正半轴的夹角，ab x 轴 ， 将 abc 沿 ac 翻折后得到 ab c， b点落在oa 上，则四边形 oabc的面积是.【答案】 29.（ 2012 浙江温州） 如图， 已知动点 a 在函数4y=(x o) 的图象上，yxab x 轴于点 b，ac y 轴于点 c，延长 ca 至点 d，使 ad= ab，延长 ba至点 ，使qeae=ac.直线 de 分别交 x 轴， y 轴于点 p, q.当 qe：dp =4:9 时，图中的阴影部分的面积等于 .如图，作ef y 轴， dh x 轴，由题意得： qef dhp ， qe：dp =4:9 设 ac= a,则 ab = 4 ，adcaob第16 题图pxyef4hp9,hp = 9 a ， aed dhp，4qe4f eaadaa46428=得到：=,得： a =得： a=ddhhp49a93caa4s128413obhpx阴影 =a 2+ a 2=+3=）33第 16 题图10.（ 2012 ?聊城） 如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点o，且正方形的一组对边与x 轴平行， 点 p（3a， a）是反比例函数y=（k 0 ）的图象上与正方形的一个交点若图中阴影部分的面积等于9 ，则这个反比例函数的解析式为解解解： 反比例函数的图象关于原点对称，答答 阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b，：则b2=9 ，解得 b=6 ， 正方形的中心在原点o， 直线 ab 的解析式为： x=3 ， 点 p（ 3a，a）在直线ab 上， 3 a=3 ，解得 a=1 ， p（ 3， 1 ）， 点 p 在反比例函数y=（ k0）的图象上， k=3 ， 此反比例函数的解析式为：y=故答案为： y=11.（ 2012 ?衢州）如图，已知函数y=2 x 和函数的图象交于a、b 两点，过点 a作 ae x 轴于点 e，若aoe 的面积为 4，p 是坐标平面上的点，且以点 b、o、e、p 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的p 点坐标是p1（ 0，4 ）p2（ 4，4 ） p3（ 4，4 ）解答： 解：如图 aoe 的面积为4 ，函数的图象过一、三象限，k=8 ，函数 y=2 x 和函数的图象交于a、b 两点，a、b 两点的坐标是： （2 ， 4 ）（2，4），以点 b、o、e、p 为顶点的平行四边形共有3 个，满足条件的p 点有 3 个，分别为：p1（ 0，4）， p2（4 ，4 ）， p3（4， 4 ）故答案为： p1 （ 0，4）， p2（4，4）， p3（ 4 ， 4）12.(2012甘肃兰州 )如图， m 为双曲线y3上的一点，过点m 作 x 轴、 y 轴的垂线，分别交直线y x mx于点 d、c 两点，若直线y x m 与 y 轴交于点a，与 x 轴相交于点b，则ad?bc 的值为解答： 解：作 ce x 轴于 e， df y 轴于 f，如图， 对于 y x m，令 x 0，则 ym；令 y 0， x m0 ，解得 x m， a(0， m) ，b(m， 0) ， oab 等腰直角三角形， adf 和 ceb 都是等腰直角三角形， 设 m 的坐标为 (a， b)，则 ab， ce b，df a， addfa， bcce b， ad ?bc a?b 2 ab 2故答案为213. （2012. 深圳）如图，双曲线yk (k0) 与 o 在第一象限内交于p、q 两点，分别过p、q 两点向 x 轴x和 y 轴作垂线，已知点p 坐标为 (1 ， 3) ，则图中阴影部分的面积为【答案】 4。【分析】 o 在第一象限关于y=x 对称，yk (k0) 也关于 y=x 对称， p 点坐标是（ 1 ， 3）， q 点的坐x标是（ 3 ，1）， s 阴影=1 3+1 32 11=4 。14.(2012 ?扬州 )如图，双曲线y经过 rt omn 斜边上的点a，与直角边mn 相交于点b，已知 oa 2an， oab 的面积为5，则 k 的值是12 解过 a 点作 ac x 轴于点 c，如图，答： 则 ac nm， oac onm ， oc ： om ac：nm oa： on ，而 oa 2an，即 oa： on 2： 3 ，设 a 点坐标为 (a， b)，则 oc a， ac b， om a， nm b， n 点坐标为 (a，b)， 点 b 的横坐标为a，设 b 点的纵坐标为y， 点 a 与点 b 都在 y图象上， k aba?y， yb，即 b 点坐标为 (a，b)， oa 2an， oab 的面积为5， nab 的面积为， onb 的面积 5 ， nb ?om，即(bb) a， ab 12 ， k 12 故答案为12 15. （2012 武汉）如图，点 a 在双曲线 y= 的第一象限的那一支上， ab 垂直于 x 轴与点 b，点 c 在 x 轴正半轴上，且 oc=2 ab，点 e 在线段 ac 上，且 ae=3 ec，点 d 为 ob 的中点，若 ade 的面积为 3，则 k 的值为 解答：解：连dc，如图， ae=3 ec， ade 的面积为3， cde 的面积为 1 ， adc 的面积为4 ，设 a 点坐标为（ a， b），则 ab=a， oc =2ab =2 a，而点 d 为 ob 的中点， bd=od=b， s 梯形 obac=s abo+sadc+ s odc ，（ a+2 a） b=a b+4+2 a b， ab=，把 a（ a， b）代入双曲线y=， k=ab=16.(2012成都 )如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线ab 与 x 轴、 y 轴分别交于点a，b，k与反比例函数y( k 为常数，且kx0 )在第一象限的图象交于点e， f过点 e 作 em be1y 轴于 m，过点 f 作 fn x 轴于 n，直线 em 与 fn 交于点 c若bfm( m 为大于 l 的常数 )记