江苏省徐州市-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017 学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分 70 分）1已知集合 a= 1，0，1 ， b= 0， 1， 2 ，则 ab=2函数 y=3tan（2x+）的最小正周期为3已知点 a（ 1，2）， b（1，3），则向量的坐标为4. 若指数函数 f（x） =ax（ a 0，且 a1）的图象经过点（ 3，8），则 f（ 1） 的值为5. cos240 的值等于6. 函数 f（x）=的定义域是7已知向量， 满 足| =2， | =， 与 的夹角为，则| =8. 若偶函数 f（ x）满足 f（x+）=f（ x），且 f（）=，则 f（）的值为9. 设函数 f（x）=则 f（log214） +f（ 4）的值为10. 已知 a0 且 a1，函数 f（ x） =4+loga（x+4）的图象恒过定点p，若角 的终边经过点 p，则 cos的值为11. 将函数 f（x）=sin （x0）的图象向右平移个单位后得到函数g（ x）的图象，若对于满足 | f（x1）g（x2）| =2 的 x1，x2，有| x1 x2| min =，则 f（） 的值为12平行四边形 abcd中，| =6，| =4，若点 m，n 满足：=3，=2，则=13. 设函数 f（x）=，若函数 f（ x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是14. 已知不等式（ mx+5）（ x2 n） 0 对任意 x（ 0，+）恒成立，其中m， n 是整数，则 m+n 的取值的集合为二、解答题（共6 小题，满分 90 分）15（ 14 分）已知集合 a= 0，3）， b= a，a+2）（ 1）若 a=1，求 a b；（ 2）若 ab=b，求实数 a 的取值范围16（ 14 分）已知向量=（ cos ，sin ），=（ 2，2）（ 1）若=，求（ sin +cos）2 的值；（ 2）若，求 sin（ ） ?sin（）的值17（14 分）某同学用 “五点法 ”画函数 f（x）=asin（x+）（ 0，| | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xf（x）03030（1） ）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2） ）若将函数 f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变， 得到函数 g（ x）的图象，求当x ， 时，函数 g（ x）的值域；（3） ）若将 y=f（x）图象上所有点向左平移（ 0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若 =h（ x）图象的一个对称中心为（），求 的最小值18（ 16 分）已知向量=（ m， 1），=（）（1） ）若 m=，求与 的夹角 ；（2） ）设求实数 m 的值；若存在非零实数k，t，使得+（t 2 3） （ k+t），求的最小值19（ 16 分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过5 吨时，每吨为 2.6 元，当用水超过5 吨时，超过部分每吨4 元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x 吨（1） ）求 y 关于 x 的函数；（2） ）若甲、乙两户该月共交水费34.7 元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费20（ 16 分）已知函数 f（x） =x2+4x+a5， g（ x） =m?4x 12m+7（ 1）若函数 f（ x）在区间 1，1 上存在零点，求实数a 的取值范围；（ 2）当 a=0 时，若对任意的x1 1，2 ，总存在 x2 1，2 ，使 f（x1）=g（x2） 成立，求实数 m 的取值范围；（ 3）若 y=f（x）（ x t， 2 ）的置于为区间d，是否存在常数t，使区间 d 的长度为 6 4t ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间 p， q 的长度 qp）2016-2017 学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分 70 分）1已知集合 a= 1，0，1 ， b= 0， 1， 2 ，则 ab= 0，1【考点】 交集及其运算【分析】 利用交集的性质求解【解答】 解：集合 a= 1， 0， 1 ，b= 0，1，2 ， a b= 0， 1 故答案为： 0， 1 【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用2函数 y=3tan（2x+）的最小正周期为【考点】 三角函数的周期性及其求法【分析】 根据正切函数的周期公式进行求解即可【解答】 解：由正切函数的周期公式得t=， 故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，根据条件结合正切函数的周期公式是解决本题的关键3已知点 a（ 1，2）， b（1，3），则向量的坐标为（ 2， 1）【考点】 平面向量的坐标运算【分析】 根据平面向量的坐标表示，即可写出向量的坐标【解答】 解：点 a（ 1，2）， b（1，3）， 则向量=（ 1（ 1）， 3 2）=（2，1） 故答案为：（ 2，1）【点评】 本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题目4. 若指数函数 f（x） =ax（ a 0，且 a1）的图象经过点（ 3，8），则 f（ 1） 的值为【考点】 指数函数的图象与性质【分析】 先根据指数函数过点（ 3， 8）求出 a 的值，再代入计算即可【解答】 解：指数函数 f（x）=ax（a0 且 a1）的图象经过点（ 3，8）， 8=a3， 解得 a=2，f（x）=2x，f（ 1） =2 1=， 故答案为：【点评】 本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题5. cos240 的值等于【考点】 运用诱导公式化简求值【分析】将 240表示成 180+60，再由诱导公式化简， 再由特殊角的三角函数值求值【解答】 解：由题意得， cos240=cos（ 180+60） = cos60=故答案为：【点评】本题考查了诱导公式的应用，熟记口诀：奇变偶不变，符号看象限，并会运用，注意三角函数值的符号，属于基础题6. 函数 f（x）=的定义域是 e， +）【考点】 函数的定义域及其求法【分析】 由根式内部的代数式大于等于0，求解对数不等式得答案【解答】 解：要使原函数有意义，则1+lnx 0，即 lnx1，解得 xe函数 f（x）=的定义域是 e， +） 故答案为： e， +）【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法， 是基础题7已知向量， 满足| =2， | =， 与 的夹角为，则| =【考点】 平面向量数量积的运算【分析】利用两个向量的数量积的定义， 根据| =， 计算求的结果【解答】解：由题意可得| =， 故答案为：【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法， 属于基础题8若偶函数 f（ x）满足 f（x+）=f（ x），且 f（）=，则 f（）的值为【考点】 函数奇偶性的性质【分析】根据偶函数 （fx）满足 （fx+）=（fx），可知函数的周期 t=，则 （f）=f（）即可得答案【解答】 解：由题意， f（x+）=f（ x），可知函数的周期t=，则 f（）=f（）f（）=， f（x）是偶函数f（）=即 f（）的值为 故答案为：【点评】 本题考查了函数的周期性的运用和计算，比较基础9设函数 f（x）=则 f（ log214）+f（ 4）的值为6【考点】 分段函数的应用；函数的值【分析】由已知中函数 f（x）=，将 x=log214 和 x=4 代入计算可得答案【解答】 解：函数 f（x）=，f（log214）=7， f（ 4）=1，f（log214）+f（ 4） =6，故答案为： 6【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题10. 已知 a0 且 a1，函数 f（ x） =4+loga（x+4）的图象恒过定点p，若角 的终边经过点 p，则 cos的值为【考点】 对数函数的图象与性质【分析】 根据函数 f（x）恒过定点 p，求出 p 点的坐标，利用cos的定义求值即可【解答】 解：函数 f（ x）=4+loga（x+4）的图象恒过定点p，即 x+4=1，解得： x= 3，则 y=4故 p 的坐标为（ 3， 4）， 角 的终边经过点 p，则 cos= 故答案为：【点评】本题考查考查了对数函数的恒过点坐标的求法和余弦的定义属于基础题11. 将函数 f（x）=sin （x0）的图象向右平移个单位后得到函数g（ x）的图象，若对于满足 | f（x1）g（x2）| =2 的 x1，x2，有| x1 x2| min =，则 f（） 的值为1【考点】 函数 y=asin（x+）的图象变换【分析】由题意可得到函数 g（x）=sin （x ），对满足| f（x1） g（ x2）| =2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有| x1x2| min = ，由此求得的值，可得 f（x）的解析式，从而求得 f（ ）的值【解答】 解：将函数 f（ x）=sin （x 0）的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x） =sin （x）的图象，若对于满足 | f（x1） g（ x2）| =2 的 x1，x2，有| x1x2| min=，则=，t=， =2， f（x）=sin2x，则 f（）=sin=1，故答案为： 1【点评】本题主要考查了三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题， 可以回代验证的方法快速解答，属于中档题12平行四边形 abcd中，| =6，| =4，若点 m，n 满足：=3，=2， 则=9【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 用，表示出，在进行计算【解答】 解：=3，=2，=，=（）?（）=36=9 故答案为： 9【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题13. 设函数 f（x）=，若函数 f（ x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是1a2，或 a 4【考点】 函数零点的判定定理【分析】 分段函数求解得出2xa=0，x2 3ax+2a2=（x a）（ x2a），分类分别判断零点，总结出答案【解答】 解： y=2x，x2，02x4， 0 a4 时， 2xa=0，有一个解， a0 或 a 4， 2xa=0 无解 x23ax+2a2=（xa）（ x2a），当 a（ 0，1）时，方程 x2 3ax+2a2=0 在 1，+）上无解； 当 a 1， 2）时，方程 x2 3ax+2a2=0 在 1，+）上有且仅有一个解； 当 a 2， +）时，方程 x2 3ax+2a2=0 在 x 1， +）上有且仅有两个解； 综上所述，函数f（ x）恰有 2 个零点， 1 a2，或 a4 故答案为： 1a 2，或 a4【点评】本题考查了分段函数的性质的应用及分类讨论的思想应用，把问题分解研究的问题，拆开来研究，从多种角度研究问题，分析问题的能力14. 已知不等式（ mx+5）（ x2 n） 0 对任意 x（ 0，+）恒成立，其中m， n 是整数，则 m+n 的取值的集合为 4，24【考点】 函数恒成立问题【分析】 对 n 分类讨论，当 n0 时，由（ mx+5）（ x2 n） 0 得到 mx+50， 由一次函数的图象知不存在；当n0 时，由（ mx+5）（ x2n）0，利用数学结合的思想得出m，n 的整数解，进而得到所求和【解答】 解：当 n 0 时，由（ mx+5）（x2n）0，得到 mx+50 在 x（0，+） 上恒成立，则 m 不存在；当 n0 时，由（ mx+5）（ x2n） 0，可设 f（x）=mx+5，g（x）=x2n， 那么由题意可知：，再由 m， n 是整数得到或， 因此 m+n=24 或 4故答案为： 4，24 【点评】本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、 转化与化归思想及运算求解能力， 属于较难题， 根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个函数的零点相同是解决本题的关键二、解答题（共6 小题，满分 90 分）15（ 14 分）（ 2016 秋?徐州期末）已知集合a= 0，3）， b= a，a+2）（ 1）若 a=1，求 a b；（ 2）若 ab=b，求实数 a 的取值范围【考点】 集合的包含关系判断及应用【分析】 （1）吧 a 的值代入确定出b，求出 a 与 b 的并集即可；（ 2）由 a 与 b 的交集为 b，得到 b 为 a 的子集，确定出a 的范围即可【解答】 解：（ 1） a= 0， 3）， b= a，a+2）= 1，1）， a b= 1，3）；（ 2） ab=b， b?a，解得： 0a1【点评】此题考查了集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键16（14 分）（ 2016 秋?徐州期末）已知向量=（ cos ，sin ）， =（ 2，2）（ 1）若=，求（ sin +cos）2 的值；（ 2）若，求 sin（ ） ?sin（）的值【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（ 1）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式可求2sin cos的值， 即可得解（ 2）根据平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式可求sin cos，进而利用诱导公式化简所求即可得解【解答】 （本题满分为 14 分）解：（ 1）向量=（cos， sin ），=（ 2， 2）=2sin 2cos= ，解得： sin cos=，两边平方，可得： 1 2sin cos=，解得： 2sin cos=，（ sin +cos） 2=1+2sin cos =1=（ 2）， 2cos+2sin =，0 解得： cos+sin =，0两边平方可得： 1+2sin cos，=0解得： sin cos= ，sin（）?sin（）=sin ?cos= 【点评】本题考查了数量积运算、 平面向量的共线定理， 同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题17（14 分）（2016 秋?徐州期末） 某同学用 “五点法 ”画函数 f（x）=asin（x+）（ 0， | | ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： x+02xf（x）03030（1） ）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2） ）若将函数 f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变， 得到函数 g（ x）的图象，求当x ， 时，函数 g（ x）的值域；（3） ）若将 y=f（x）图象上所有点向左平移（ 0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若 =h（ x）图象的一个对称中心为（），求 的最小值【考点】 函数 y=asin（x+）的图象变换；五点法作函数y=asin（x+）的图象【分析】（ 1）由表中数据列关于、的二元一次方程组，求得a、的值， 得到函数解析式，进一步完成数据补充（2） ）根据函数 y=asin（x+）的图象变换规律可求g（x），利用正弦函数的性质可求其值域（3） ）由（ 1）及函数 y=asin（x+）的图象变换规律得g（x），令 2x+2+=k，解得 x=，kz令：= ，结合 0 即可解得 的最小值【解答】 解：（ 1）根据表中已知数据，解得a=3， =2，= ，数据补全如下表：x+02xf（x）03030函数表达式为 f（x）=3sin（2x+）（2） ）将函数 f（ x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到图象对于的函数解析式为：g（ x）=3sin（ x+）由 x ， ，可得： x+ ， ，可得： sin（x+） ，1 ，可得：函数 g（x）=3sin（x+） ，3 （3） ）若将 y=f（x）图象上所有点向左平移（ 0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若 h（x）图象的一个对称中心为（），由（）知 f（x） =3sin（2x+），得 g（ x） =3sin（ 2x+2+） 因为 y=sinx 的对称中心为（ k， 0）， kz令 2x+2+=k，解得 x=，k z由于函数 y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令：= ， 解得 =，kz由 0 可知，当 k=1 时， 取得最小值【点评】本题考查了由y=asin（x+）的部分图象求解函数解析式，函数 y=asin（ x+）的图象变换规律的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出a，和 值，属于中档题18（ 16 分）（ 2016 秋?徐州期末）已知向量=（m， 1），=（）（1） ）若 m=，求与 的夹角 ；（2） ）设求实数 m 的值；若存在非零实数k，t，使得+（t 2 3） （ k+t），求的最小值【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 （1）由条件利用两个向量的数量积的定义求得cos=的值， 可得 的值（ 2）利用两个向量垂直的性质，求得m 的值根据 +（ t 2 3 ） ?（ k+t） =0，求得4k=t （ t 2 3 ），从而求得=，再利用二次函数的性质求得它的最小值【解答】 解：（ 1）向量=（m， 1），=（），若 m=， 与 的夹角 ，则有 cos=， =（ 2）设，则=0， m=由可得，=（， 1），=0，若存在非零实数k，t，使得+（t23） （ k+t），故有+（ t2 3） ?（ k+t）=0， k+ k（ t23）+t+ t（t 2 3）=k?4+0+t （t 23）=0， 4k=t（ t23），=+t=，当且仅当 t=2 时，取等号， 故的最小值为【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的性质， 二次函数的性质应用，属于中档题19（16 分）（2016 秋?徐州期末）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 5 吨时，每吨为 2.6 元，当用水超过 5 吨时，超过部分每吨4 元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x 吨（1） ）求 y 关于 x 的函数；（2） ）若甲、乙两户该月共交水费34.7 元，分别求甲、乙两户该月的用水量和水费【考点】 分段函数的应用【分析】 （1）由题意知： x0，令 5x=5，得 x=1；令 3x=5，得 x=将 x 取值范围分三段，求对应函数解析式可得答案（ 2）在分段函数各定义域上讨论函数值对应的x 的值【解答】 解：（ 1）由题意知， x0，令 5x=5，得 x=1；令 3x=5，得 x=则 当 0x1 时 ， y=（5x+3x） 2.6=20.8x 当 1x时，y=5 2.6+（5x 5） 4+3x2.6=27.8x7，当 x时，y=（5+5） 2.6+（5x+3x 5 5） 4=32x14；即得 y=（ 2）由于 y=f（ x）在各段区间上均单增， 当 x 0，1 时， yf（1）=20.834.7；当 x（ 1， 时， yf（） 39.334.7； 令 27.8x7=34.7，得 x=1.5，所以甲户用水量为5x=7.5 吨，付费 s1=52.6+2.5 4=23 元乙户用水量为 3x=4.5 吨，付费 s2=4.5 2.6=11.7 元【点评】本题是分段函数的简单应用题，关键是列出函数解析式， 找对自变量的分段区间20（ 16 分）（ 2016 秋?徐州期末）已知函数f（ x）=x2+4x+a 5，g（x）=m?4x 1 2m+7（ 1）若函数 f（ x）在区间 1，1 上存在零点，求实数a 的取值范围；（ 2）当 a=0 时，若对任意的x1 1，2 ，总存在 x2 1，2 ，使 f（x1）=g（x2） 成立，求实数 m 的取值范围；（ 3）若 y=f（x）（ x t， 2 ）的置于为区间d，是否存在常数t，使区间 d 的长度为 6 4t ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间 p， q 的长度 qp）【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）求出函数的对