柯西不等式习题

柯西不等式教学题库大全一、二维形式的柯西不等式精品资料(a 2b2 )( c 2d 2 )(acbd ) 2(a , b,c , dr, 当且仅当 adbc时,等号成立 .)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a2b2c2d 2acbd(a, b, c, dr , 当且仅当 adbc时,等号成立 .)(2) a2b2c2d 2acbd( a, b, c, dr , 当且仅当 adbc时,等号成立 .)(3)( ab)( cd)(acbd ) 2(a , b , c , d0 , 当且仅当 adbc时，等号成立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式. (当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使k时,等号成立 .)借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对 a2 + b2 + c2 ， 并不是不等式的形状 ，但变成 (1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2) 就可以用柯西不等式了 。基本方法（1） 巧拆常数：例 1：设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证：2ab22bcca9abc（2） 重新安排某些项的次序：例 2 ： a 、 b 为非负数， a + b =1， x1 , x2r求证：(ax1bx 2 )(bx1ax2 )x1 x2（3） 改变结构：例 3、若 a b c求证：114abbcac（4） 添项：例 4 ： a, b, cr求证：abc3bccaab2【1】、设 a(2,1,2), b6 ，则 ab 之最小值为 ；此时 b 。答案：18;(4,2,4)解析： aba b a b1818ab18ab 之最小值为18，此时 b2a(4,2,4)【2】 设a(1 ，0，2)， b(x，y，z)，若 x2y2z216 ，则a b 的最大值为。【解】a(1，0，2) ， b(x， y， z)a bx2z由柯西不等式 120(2) 2(x 2y2z2)(x02z) 2516(x2z) 245x4545a b45 ，故 a b 的最大值为 45【3】空间二向量 a(1,2,3) ，b(x, y, z) ，已知 b56 ，则(1) a b 的最大值为多少？ (2) 此时 b？ans ： (1) 28 ：(2) (2,4,6)【4】设 a、b、c 为正数，求(abc)( 4936)abc的最小值。 ans ：121【5】. 设 x，y，zr，且满足 x2y2z25，则 x2y3z 之最大值为解(x2y3z) 2(x 2y 2z2 )(1 2223 2 )5 1470x2y3z 最大值为70【6】 设 x， y，zr，若 x2y2z24，则 x2y2z 之最小值为时，(x， y，z)解(x2y2z) 2(x 2y2z2)1 2(2) 2224936x2y2z 最小值为6，公式法求(x， y， z)此时 x1yz222262(2)2223x2 ， y 34 ， z433【7】设x, y, zr ，222xyz25 ，试求 x2 y2 z 的最大值 m 与最小值 m。ans ： m15; m15【8】、设 x,y, zr , x2y 2z225 ，试求 x2 y2 z 的最大值与最小值。答：根据柯西不等式(1x2y2z) 212(2) 222 ( x 2y2z2 )即 (x2 y2z) 2925而有15x2 y2 z152故 x2 y2 z 的最大值为15 ，最小值为 15 。【9】、设x, y, zr , 2xy2z6 ，试求 xy 2z2 之最小值。答案：考虑以下两组向量u= ( 2, 1, 2)v=( x, y, z )根据柯西不等式(uv) 222uv，就有 2x(1) y(2) z 222(1) 2(2) 2 ( x2y 2z2 ) 即(2xy2 z)29( x2y 2z2 )将 2 xy2 z6 代入其中，得369(x 2y2z2 )而有x 2y 2z24故 x 2y 2z2 之最小值为 4。【10 】设x, y, zr ， 2xy2 z6 ，求 x2y2z2 的最小值 m，并求此时 x、y、z 之值。ans ： m4; ( x, y, z)( 4 ,2 ,4)333【11 】 设 x，y，zr，2x2yz80，则(x1) 2(y2) 2(z3)2 之最小值为解： 2x2yz802(x1)2(y2)(z3)9，考虑以下两组向量u= (,)， v=(,)(uv) 2u 2v 22(x1)2(y2)(z3) 2(x1) 2(y2) 2(z3) 2(222212)(x1)2(y2) 2(z3) 2(9) 299【12 】设 x, y, zr，若 2 x3 yz3 ，则 x2( y1) 2z2 之最小值为 ，又此时y 。解：2x3 yz32x3(y1)z()，考虑以下两组向量u= (,)， v=(,)解析： x2( y1) 2z2 22(3) 212 ( 2x3 y3z) 2 x 2( y1) 2z2 3614最小值 187xy1z t ,x2y3z3,t2(2)t3( t31)3231 t37 y27【13 】 设 a， b， c 均为正数且 abc9，则 4a916 之最小值为bc解：考虑以下两组向量u= (,)， v=(,)(uv) 2u 2v 2(2a a3b4bcc )2( 49ab16 )(abc)c( 49ab16 )9(234) 281c4916abc8199【14 】、设 a, b, c 均为正数，且 a解：考虑以下两组向量2b3c2 ，则 1a23 之最小值为bc ，此时 a 。u= (,)， v=(,)222(uv)uv2(a )2(2b )2(3c )1222 ()()ab32ca2b3c1a2b3c()2(123) ( 1a23 )bc18 ，最小值为 18等号发生于u / v故 abc又a2b3c2 a13【15 】. 设空间向量 a 的方向为， ， ，0， ，csc 29 csc 225 csc 2的最小值为。解sin 2sin 2sin 22 由柯西不等式(sin 2sin 2sin 2 ) (1)2sin(3) 2sin(5sin) 2 (135) 22(csc 29csc 225csc 2 )81csc 29csc 225csc 28181故最小值为22【注】本题亦可求tan 29 tan 225tan 2与 cot 29cot 225cot 2之最小值，请自行练习。【16 】. 空间中一向量 a 与 x 轴， y 轴， z 轴正向之夹角依次为， ， （， ，均非象限角），1求 sin 24sin 29sin 2的最小值。解 : 由柯西不等式12)(22)(3222sin2sinsinsinsin()(sin)(1sinsin2sinsin3sin2sin)(1)sin 2(4sin29()sin 2)(sin 2sin 2sin 2)(123) 2sin 2sin 2sin 22(12sin 214sin 249sin 2)369(1sin 24sin 29sin 2)18sin 2sin 2sin 2的最小值18【17 】.空间中一向量 a 的方向角分别为,，求92516sin 2sin 2sin2的最小值。答 72 利用柯西不等式解之【18 】、 设 x, y, zr，若 (x答案： ( x1) 2( y2) 2z 2 32(1) 2(2)2 (3 x3y22 z)24(14)(3xy2z5) 2最小值时， x？1) 2( y2) 2z24 ，则 3 xy2 z 之范围为何？又 3xy2 z 发生2 143xy2z52145若 3x214y2 z3xy2z5214x1y25214 又zt 3(3t1)(t2)2(2t)52 1414 t x73123 1417【19 】 设abc 之三边长 x，y，z 满足 x2y + z = 0及 3x + y2z = 0 ，则abc 之最大角是多少度？【解】x2 yz0 3xy2z02x：y：z =11111：22332= 3 ：5：71设三边长为 x = 3k ，y = 5k ， z = 7k 则最大角度之 cos=(3k )2(5k )22(3k)( 5k)(7k )2=1 ，= 1202( x1)2( y2) 2(z3)2【20 】. 设 x，y， zr 且1 ，求 xyz 之最大值，最小值。1654ans最大值 7；最小值3【解】(x1) 2( y2) 2(z3)211654由柯西不等式知42(5 )222x1 2()4( y2) 25( z3) 22x14()4y25()252()z3251(xyz2) 25|xyz2|25xyz253xyz7故 xyz 之最大值为 7，最小值为3【21 】. 求 2sin3 cossincoscos的最大值与最小值。答. 最大值为 22 ，最小值为22【详解】令向量 a(2sin，3 cos，cos)， b(1 ，sin， cos)由柯西不等式| a b | a | b |得| 2sin3 cossincoscos|4 sin 23cos2cos2，1sin2cos24(sin 2cos2)(1sin 2cos2)22所求最大值为 22 ，最小值为22【22 】 abc 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为r，求证：(a 2b 2c 2 )(1sin 2 a1sin 2 b1sin 2 c )36 r2 证明：由三角形中的正弦定理得sin aa，所以2 r1sin 2 a4 r 2a 2，同理1sin 2 b4r2b 21， sin 2 c4r 2c2于是左边 =(a 2b 2c 2 )(4r2a 24 r 2b 24 r2c 2)( a2 raa2 r ba2r) 2c36r 2 。【23 】求证 :点 p(x 0 ,y0)到直线 ax+by+c=0的距离 d=| ax0by0c |.a2b 2证明 :设 q(x,y) 是直线上任意一点,则 ax+by+c=0.因为|pq| 2 =(x-x 0)2+(y-y 0) 2,a 2 +b2 0, 由柯西不等式得(a 2 +b 2 ) (x-x 0 )2+(y-y 0)2 a(x-x 0 )+b(y-y 0 ) 2= (ax+by)-(ax 0 +by 0) 2=(ax 0+by 0+c) 2, 所 以|pq| ax0by0c |.xx0当a2b 2yy0ax 0by022c|时,取等号 ,由垂线段最短得d=ax0by0c |22.ababab111【24 】已知正数x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式xyyzz恒成立 ,求 的范围 .x解析 :由二元均值不等式及柯西不等式,得11xyyz11zx2xy12yz12zx1 (z2 xyzxxyzy)xyz1(1221212 )(zxyzxxyzy)xyz3故 的取值范围是23,+).2温馨提示1本题主要应用了最值法,即不等式xy11yzz1恒成立 , 等价于 (xxy11yzz)max ,问题转x1化为求 f(x,y,z)=xy11yzz的最大值 .x【25 】设 a,b,c,x,y,z均为正实数 ,且满足 a2+b 2+c 2 =25,x 2+y 2+z 2=36,ax+by+cz=30.求 axbc的值 .yz解析 :根据已知等式