高二数学椭圆试题(有答案)VIP

.高二数学椭圆试题一：选择题1. 已知方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（）a m 2 或 m 1b m 2c 1 m 2d m 2 或 2 m 1解：椭圆的焦点在x 轴上;. m2 2+m ，即 m2解得 m 2 或 m 1又 2+m 0 m 22m 0 m 的取值范围：m 2 或 2 m 1故选 d2. 已知椭圆，长轴在y 轴上、若焦距为4，则 m 等于（）a 4b 5c 7d 8解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然 m 210 m，即 m 6，解得 m=8故 选 d 3椭圆（ 1 m） x2 my2=1 的长轴长是（）a b cd解：由椭圆（1 m）x2 my2=1，化成标准方程：由于，椭圆（ 1 m） x2 my2 =1 的长轴长是2a=2= 故选 b4. 已知点 f1、f2 分别是椭圆+=1（ k 1）的左、右焦点， 弦 ab 过点 f1，若abf 2的周长为8，则椭圆的离心率为（）a bcd解：由椭圆定义有4a=8 a=2，所以 k+2=a 2=4 k=2 从而 b222b2=k+1=3 ， c=a =1，所以，故选 a5. 已知 abc 的周长为20，且顶点 b （ 0，4），c （ 0，4），则顶点 a 的轨迹方程是 （）a （x0）b（ x 0）c（x0）d（ x 0）解： abc 的周长为20，顶点 b （ 0， 4）， c （ 0， 4）， bc=8 ， ab+ac=20 8=12， 12 8点 a 到两个定点的距离之和等于定值，点 a 的轨迹是椭圆， a=6， c=42 b =20，椭圆的方程是故选 b6方程=10 ，化简的结果是（）a bcd解：根据两点间的距离公式可得：表示点 p（x， y）与点 f1（2， 0）的距离，表示点 p（ x， y）与点 f2（ 2， 0）的距离， 所以原等式化简为|pf1|+|pf2|=10，因为 |f1f2|=2 10，所以由椭圆的定义可得：点p 的轨迹是椭圆，并且a=5， c=2 ，所以 b2=21所以椭圆的方程为：故选 d7. 设 是三角形的一个内角，且，则方程x22sin ycos=1 表示的曲线是（）a 焦点在 x 轴上的双曲线b 焦点在 x 轴上的椭圆c 焦点在 y 轴上的双曲线d 焦点在 y 轴上的椭圆解：因为（ 0， ），且 sin+cos=，所以， （， ），且|sin| |cos|，所以 （，），从而 cos0，从而 x2sin y故选d2cos=1 表示焦点在y 轴上的椭圆8. 设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过 f2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若 f1pf2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）a bcd解：设点p 在 x 轴上方，坐标为， f1 pf2 为等腰直角三角形 |pf2 |=|f1 f2|，即，即故椭圆的离心率e=故选 d9. 从椭圆上一点 p 向 x 轴作垂线， 垂足恰为左焦点f1，a 是椭圆与x 轴正半轴的交点，圆的离心率是（b 是椭圆与）y 轴正半轴的交点，且ab op（ o 是坐标原点） ，则该椭a bcd解：依题意，设p（ c，y 0）（ y 0 0），则+=1， y0=， p（ c，），又 a （ a， 0），b （ 0，b）， ab op， kab =k op，即=， b=c=，设该椭圆的离心率为e，则 e2椭圆的离心率e= 故选 c10. 若点 o 和点 f 分别为椭圆的中心和左焦点，点p 为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）a 2b 3c 6d 8解：由题意， f（ 1，0），设点 p（ x0，y0），则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0= 2，因为 2x 02，所以当x 0=2 时，取得最大值，故选 c11. 如图，点 f 为椭圆=1（ ab 0）的一个焦点，若椭圆上存在一点p，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段pf 相切于线段pf 的中点，则该椭圆的离心率为（）a bcd解：设线段pf 的中点为m ，另一个焦点f，由题意知，om=b ，又 om 是 fpf的中位线， om=pf=b， pf=2b ，由椭圆的定义知pf=2a pf=2a 2b，+b又 mf=pf=（ 2a 2b） =a b，又 of=c ， 直角三角形omf 中，由勾股定理得： （ a b） 222=c ，又a2 b2=c2，可求得离心率e=，故答案选b12. 椭圆顶点 a（ a，0），b（ 0，b），若右焦点f 到直线 ab 的距离等于，则椭圆的离心率e=（）a bcd解：由题意可得直线ab 的方程为即 bx+ay ab=0， f（ c，0） f（c， 0）到直线ab 的距离 d=，|af|=a c则22 a =3b a222 3c=3a即 3c22=2a=故选 b13已知椭圆+=1（ a b0）的左、 右焦点为f1，f2，p 为椭圆上的一点，且|pf1|pf2|的最大值的取值范围是2c2，3c2 ，其中 c=则椭圆的离心率的取值范围为（）a ，b ， 1）c ， 1）d ，2解： |pf1|?|pf2|的最大值 =a ，222由题意知2ca 3c ，故椭圆m 的离心率e 的取值范围 故选 a 14. 在椭圆中， f1，f2 分别是其左右焦点，若|pf1|=2|pf2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）a bcd解：根据椭圆定义|pf1|+|pf2|=2a，将设 |pf1 |=2|pf2|代入得， 根据椭圆的几何性质，|pf2|a c，故，即 a3c，故，即，又 e 1，故该椭圆离心率的取值范围是 故选 b二：填空题15. 已知 f1、 f2 是椭圆 c：（a b 0）的两个焦点，p 为椭圆 c 上一点，且若 pf1f2 的面积为9，则 b=3解：由题意知 pf1f2 的面积 =， b=3，故答案为316. 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是4 k 7解：+=1 表示焦点在y 轴上的椭圆， k 17 k 0 4 k7故 k 的取值范围是4 k7 故答案为： 4 k717. 已知椭圆的焦距为 2，则实数t=2， 3， 62222解：当 t 5t 0 即 t5 时， a =t， b =5t=t此时 c225t=6解可得， t=6 或 t= 1（舍）=5t， b=t当 0 t25t 即 0t 5 时， a222此时 c22b22=a=5t t =6解可得， t=2 或 t=3综上可得， t=2 或 t=3 或 t=6故答案为： 2， 3，618. 在平面直角坐标系xoy 中，已知 abc 顶点 a （ 4， 0）和 c（ 4， 0），顶点 b 在椭圆上，则=解：利用椭圆定义得a+c=25=10b=2 4=8由正弦定理得=故答案为19. 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的焦距为2c，以 o 为圆心， a为半径作圆m ，若过作圆 m 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为解：设切线pa、pb 互相垂直，又半径oa 垂直于 pa，所以 oap 是等腰直角三角形，故，解得，故答案为220. 若椭圆的焦点在 x 轴上，过点（1，）做圆 x +y2=1 的切线，切点分别为a ，b，直线 ab 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是解：设切点坐标为（m， n）则即22 m +n =1 m即 ab 的直线方程为2x+y 2=0线 ab 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c 2=0； b 2=0解得 c=1， b=22所 以 a =5故椭圆方程为故答案为三：解答题21. 已知 f1， f2 为椭圆的左、右焦点，p 是椭圆上一点（1） 求 |pf1|?|pf2|的最大值；（2） 若 f1pf2=60且 f1pf2 的面积为，求 b 的值解：（ 1） p 点在椭圆上，|pf1|+|pf2 |=|2a=20， |pf1 |0， |pf2| 0， |pf1|?|pf2 |=100， |pf1 |?|pf2|有最大值100（ 2） a=10， |f1f2|=2c 设|pf1 |=t1， |pf2|=t2，则根据椭圆的定义可得：t1+t2=20 ， 在 f1 pf2 中， f1pf2=60，+t所以根据余弦定理可得：t12222t1t22?cos60=4c ，22由 得 3t 1?t2=400 4c ，所以由正弦定理可得：=所以 c=6， b=822. 如图， f1、f2 分别是椭圆c：（ a b0）的左、右焦点，a 是椭圆 c 的顶点，b 是直线 af 2 与椭圆 c 的另一个交点，f1af 2=60 （）求椭圆c 的离心率；（）已知 af 1b 的面积为40，求 a， b 的值解：（） f1 af 2=60 ? a=2c? e=（）设 |bf 2|=m，则 |bf1|=2a m，在三角形bf 1f2 中， |bf1 22 21 2 2 2|bf 212| =|bf| +|f f |f f|cos120+a?（2a m） 2=m22+am ? m= af 1b 面积 s=|ba|f 1f2|sin60?=40?a=10， c=5， b=523. 已知中心在坐标原点o 的椭圆 c 经过点 a （2， 3），且点 f（2， 0）为其右焦点（1） 求椭圆c 的方程；（2） 是否存在平行于oa 的直线 l，使得直线l 与椭圆 c 有公共点，且直线oa 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由解：（ 1）依题意，可设椭圆c 的方程为（ a0， b 0），且可知左焦点为f（ 2， 0），从而有，解得 c=2， a=4，2222又 a =b +c ， 所 以 b=12，故椭圆 c 的方程为（ 2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得 3x2+3tx+t 212=0 ，22因为直线l 与椭圆有公共点， 所以有 =（3t ） 43（ t 12）0，解得 4t4，另一方面，由直线oa 与 l 的距离 4=，从而 t=2，由于 2? 4，4，所以符合题意的直线l 不存在24. 设 f1，f2 分别是椭圆的左、右焦点，过f1 斜率为 1 的直线? 与 e 相交于 a ， b 两点，且 |af2|， |ab| ， |bf2|成等差数列（1） 求 e 的离心率；（2） 设点 p（ 0， 1）满足 |pa|=|pb|，求 e 的方程解：（ i）由椭圆定义知|af2|+|bf2|+|ab|=4a ，又 2|ab|=|af 2 |+|bf2|， 得l 的方程为y=x+c ，其中设 a （ x1， y 1），b （ x2 ，y2），则 a 、b 两点坐标满足方程组2222222化简的（ a +b） x +2acx+a（ c b）=0则因为直线ab 斜率为 1，得，故 a22=2b所以 e 的离心率（ ii ）设 ab 的中点为n（ x0，y 0），由（ i）知，由|pa|=|pb|，得 kpn= 1，即得 c=3 ，从而故椭圆 e 的方程为25. 设椭圆的左焦点为f，离心率为，过点 f 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设 a ， b 分别为椭圆的左，右顶点，过点f 且斜率为k 的直线与椭圆交于c，d 两点若，求 k 的值解：（ i）根据椭圆方程为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为，=，离心率为，=， 解得 b=， c=1 ，a=椭圆的方程为；（ ii）直线 cd ： y=k （ x+1 ），设 c（x1， y 1），d （ x2 ，y2），由消去 y 得，（ 2+3k22） x +6kx+3k2 6=0， x1+x 2=， x 1x 2=，又 a（， 0），b （， 0），=（ x 1， y 1） ?（x2 y2） +（ x 2+， y2） ?（x 1 y1），） x2k （ x） 2k222=6 （ 2+2k1x 21+x 2=6+=8，解得 k=26. 设椭圆 e：，o 为坐标原点（）求椭圆e 的方程；（） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e 恒在两个交点a，b 且？若存在，写出该圆的方程，关求|ab| 的取值范围；若不存在，说明理由解：（ 1）因为椭圆e：（ a， b 0） 过 m （ 2，），n （， 1）两点，所以解得所以椭圆 e 的方程为（ 2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e 恒有两个交点a ， b ，且，设该圆的切线方程为y=kx+m 解方程组得 x2+2（kx+m ）2=8，即（ 1+2k22）x+4kmx+2m28=0，则 =16k2m24（ 1+2k2）（ 2m2 8） =8（ 8k22 m +4） 0，即 8k m22+40，要使，需使 x 1x2+y 1y2=0，即，所以 3m28k2 8=0 ，所以又 8k2m2+4 0，所以，所以，即或，因为直线 y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m 都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为存在圆心在原点的圆，与椭圆的两个交点为或使得该圆的任意一条切线与椭圆e 恒有两个交点a ， b ，且因为，所以， 当 k0 时因为所以，所以，所以2 当 k=0 时，当且仅当时取 ”=”27. 已知直线x 2y+2=0 经过椭圆的左顶点 a 和上顶点d，椭圆 c 的右顶点为b ，点 s 是椭圆 c 上位于 x 轴上方的动点，直线as， bs 与直线分别交于m ，n 两点（1） 求椭圆c 的方程；（2） 求线段