正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在abc 中，若角 a，b，c 所对的边分别是a，b，c，r 为abc 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理精品资料a内容sinab sinbc sin c2ra2 b2c2 2bccos a； b2 c2a2 2cacos b； c2a2 b2 2ab cos c(1) a 2rsin a，b2rsin b， c 2rsin c；cos ab2c2 a2；2bcabc(2) sin a， sinb，sin c； 变形2r2r2r(3) abcsinasinbsin c；cos bc2a2 b22ac；a2b2 c2(4) asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin acos c2absabc1absin c21bcsin a21acsin b2abc4r1(abc)r(r是三角形内切圆半径 )，并可由此计算 r、 2r选择题在abc 中，已知 a 2， b6，a45 ，则满足条件的三角形有()a 1 个b2 个c0 个d无法确定解析bsin a623，bsin aa1 ，所以只需使边长为3 及 x 的对角都为锐角即可，故12x23 2，12 32x2，即 8 x20 ，所以 22x10.在abc 中，角 a， b， c 所对的边分别为a， b， c，若ccosa，则abc 为()ba钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d等边三角形解析已知csin ccosa，由正弦定理，得cos a，即 sin csinbcos a，所以 sin( ab)sin bcos a，bsin b即 sin bcos acos bsina sinbcos a0 ，所以 cos bsina0，于是有 cos b1.角 b 不存在，即满足条件的三角形不存在若abc 的三个内角满足sinasin bsin c511 13，则abc () a一定是锐角三角形b一定是直角三角形c一定是钝角三角形d可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析由正弦定理a bc 2r(r 为abc 外接圆半径 )及已知条件sin asinbsincsin asinbsinc5x 2 11 x 2 13 x 223x2511 13 ，可设 a5x， b 11x，c13 x(x 0)则 cos c25x11x 110 x2 0，c 为钝角， abc 为钝角三角形abc 的内角 a， b，c 的对边分别为 a，b，c，则“ab”是“ cos2 acos2 b” 的() a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析因为在abc 中， ab? sinasin b? sin 2asin 2 b? 2sin 2 a 2sin 2 b? 1 2sin 2 a 1 2sin 2 b? cos2 acos2 b，所以“ab”是“cos2 acos2 b”的充分必要条件在abc 中，角 a，b，c 的对边分别是 a， b， c，已知 bc， a2 2b2(1 sina)，则 a()3a.b.c.d.4346解析在abc 中，由 bc，得 cos ab2 c2 a2 2bc2b2a22b2，又 a2 2b2(1sin a)，所以 cos asin a，即 tan a1，又知 a(0，)，所以 a，故选 c. 4在abc 中， ab3， ac 1， b30，abc 的面积为32，则 c()a 30b45c60 d75 解析sabc 13ab ac sin a，221即 31sin a 232 ，sin a1，由 a(0 ，180 )，a 90 ，c60，故选 cc b已知abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a， b， c，且c asinasin csinb，则 b 等于()a.b.643c.d.34解析根据正弦定理asin absin bc sin c2r，得cbcasin asin csin ba，cb即 a2c2b 2 ac，得 cos ba2c2 b22ac1，故 b 2，故选 c.3在abc 中，角 a，b，c 对应的边分别为a，b，c，若 a23 ，a 2， b233，则 b 等于()5 5a.b.c.或d. 36666解析a23 ，a2，b23asin a3，由正弦定理23b b3sin b可得， sinbasin a23122 ，a2，b36设abc 的内角 a，b，c 所对边的长分别为a ，b，c，若 bc 2a,3sin a5sin b，则角 c 等于()2a.b.35c.d.334637解析因为 3sin a5sin b，所以由正弦定理可得3a5b.因为 bc2a，所以 c2a a a.令 a55 5， b3，c7，则由余弦定理 c2a2 b2 2ab cos c，得 4925 9235cos c，解得 cos c12，所以 c.23在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别是a，b， c，若 c2(ab)2 6，c ，3abc 的面积是()93a 3b.2c.332d 33解析c2(a b)2 6， c2a2b22ab 6.c222223 ，c a b2abcos 3ab ab .由得 ab 6 0，即 ab 6，sabc 12absin c16233322.填空题abc 中，若 bcos cccos basina，则abc 的形状为 解析由已知得 sin bcos ccos bsincsin2 a，sin( bc)sin 2a， sin asin2 a，又 sin a0，sin a1，a， abc 为直角三角形2在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为a，b，c，若角 a，b，c 依次成等差数列，且a 1， b 3，则 sabc .13解析因为角 a， b，c 依次成等差数列，所以b 60.由正弦定理，得，解得 sinasin asin 60 1，因为 0a180 ，所以 a30 或 150 (舍去)，此时 c 90 ，所以 sabc 213ab 22在abc 中， a 4， b 5，c 6，则sin2 asin c b2c2a225 361637解析由余弦定理： cos a2 bc2564，sina 4，cos ca2b2 c216 25 361， sin c37sin2 a，32 474 1.2ab2 4588sinc378在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c.若(a2c2b2)tan b3ac，则角 b 的值为 a 2c2b2332解析由余弦定理，得2或32accos b，结合已知等式得cos btan b2 ，sin b， b3在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，已知 bcos c3bsin c ac 0，则角 b 解析由正弦定理知， sinbcos c3sin bsin csin asin c 0sinasin( bc)sinbcos ccos bsin c，代入上式得3sin bsin ccos bsin csin c0cbb1bbsin 0， 3sincos10，2sin6 1，即 sin6 2.b(0，)， b3在abc 中，已知 sinasinb2 1 ，c2b22bc，则三内角 a，b，c 的度数依次是 解析由题意知 a2b，a2b2c2 2bc cos a，即 2b2b2c2 2bc cos a，又 c2b22bc， cos a22 ， a45，sinb12，b30 ， c105 .设abc 的内角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos c1，3sin a 2sin b，则 c 4解析由 3sin a 2sin b 及正弦定理，得3a2b，又 a2，所以 b3，故 c2a2b22abcos c149 2 2 3 16，所以 c 4.41设abc 的内角 a， b， c 的对边分别为 a，b，c.若 a3，sin b2，c6，则 b 解析因为 sin b1且 b (0，)，所以 b25或 b. 662 又 c，bc，所以 b6，a b c.63又 a3，由正弦定理得a b，即3 b，sin asin bsin2 sin 36在abc 中， a60，ac 2，bc 3，则 ab 解析a60，ac 2，bc3，设 abx，由余弦定理，得bc 2ac 2ab 22ac ab cos a，化简得 x22x10，x1，即 ab1.在abc 中， a2b，a3c，则 3c解析在abc 中，a2 b2c22bc cosa，将 a21，a3c 代入，可得(3c)2b2 c2 2bc ，32整理得 2c2 b2bc ，c 0 ，等式两边同时除以 c2，得 2b bb2 ，可解得1 ccc在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为 a ，b，c，已知abc 的面积为 315 ，bc2，cos a1，则 a 的值为 41解析cos a4，0a，sin a15，s abc41bc sina 21bc 215315 ，bc 24，4又 bc2，b2 2bcc2 4 ，b2c2 52，1由余弦定理得， a2b2c22 bccos a52 224 464 ，a8.解答题，在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别是a，b，c，已知 a b2a21c2 42(1) 求 tanc 的值；(2) 若 abc 的面积为 3，求 b 的值解(1)由 b2 a21c2 及正弦定理得2sin 2b11 sin 2 c.所以 cos2 bsin 2c.又由 a 22，即 bc43，得4 cos2 b cos23c cos432c sin2 c2sin ccos c，由 解得 tanc 2. 225(2)由 tanc 2， c(0，)得 sin c55，cos c，5310因为 sin bsin( ac)sin4c ，所以 sin b10，由正弦定理得 c223b，又因为 a 1 4，2bcsin a3，所以 bc 62，故 b3.已知 a，b，c 分别为abc 三个内角 a，b， c 的对边， a3bsin aacos b. (1)求角 b；(2)若 b 2， abc 的面积为3，求 a，c.解(1) 由 a3 bsin a acos b及正弦定理，得sina3sin bsina sinacos b， 0a0，3sincos 1，即 sin6 2，又 0b，6 b6 6，b3.(2)s 1ac sinb3，ac 4，又b2a2c2 2ac cos b，即 a2c2 8. 2由联立解得 ac2.如图，在 abc 中， d 是 bc 上的点， ad 平分bac ，abd 面积是adc 面积的 2 倍(1) 求sin b；sin c(2) 若 ad 1， dc 12，求 bd 和 ac 的长21解(1)s abd2ab ad sinbad ，sadcac adsin cad . 2因为 sabd 2sadc ，badcad ，所以 ab2ac，由正弦定理可得sin bac1 . sin cab2(2)因为 sabd sadc bddc ，所以 bd2.在abd 和adc 中，由余弦定理，知ab 2ad 2bd22ad bd cosadb ，ac 2ad 2 dc22ad dc cosadc.故 ab 2 2ac 2 3ad2 bd 2 2dc 26，由(1)知 ab2ac，所以 ac1.在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为a，b，c，已知 a c6b，sin b6sin c6(1) 求 cos a 的值；(2) 求 cos 2a6 的值bc解(1)abc 中，由，及 sin b6sin c，可得 b6c，sin bsinc又由 ac66b，有 a2c，所以 cos ab2c2a22bc6c2c24c2626c24(2)在 abc 中，由 cos a6104，可得 sin a4于是， cos2 a2cos 2a 1115，sin2 a2sin acos a2a414315115 3所以， cos6 cos2 acos6 sin2 asin6 4 2 428已知 a，b ，c 分别为abc 三个内角 a，b，c 的对边， a 2，且(2b)(sin a sinb)(cb)sin c， 则abc 面积的最大值为解析由正弦定理，可得 (2b)(ab)(cb)ca 2，a2 b2c2 bc，即 b2c2a2bc由余弦定理，得cos ab2c2a 22bc13， sin a. 22由 b2c2bc 4，得 b2 c24bc .b2c2 2bc ，即 4bc 2bc ，bc 4，sabc1bcsin a3，即(sabc )max 3.2在abc 中，内角 a，b，c 所对的边分别为a，b，c.已知 ab，c3，cos 2acos 2 b3sin acos a3sin bcos b. (1)求角 c 的大小；(2)若 sina4，求abc 的面积5解(1)由题意得1 cos2 a21cos2 b232sin2 a32sin2 b，31312a2 b即sin2 a 22cos2 asin2 b2cos2 b，sin26 sin6 .2由 ab，得 ab，又 ab(0， )，所以 2a2b6，即 ab 63，所以 c .34 ac8(2)由 c3，sin a ，得 a ，5 sin asinc53由 ac，得 ac，从而 cos a5，故 sin bsin( ac)sin acos ccos asinc4 3310，所以， abc 的面积为 s1ac sinb283 18.25在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c.已知 cos b3，sin( ab)36，ac23，9求 sin a 和 c 的值解在abc 中，由 cos b3，得 sin b366，因为 abc，所以 sin csin( ab).3953因为 sin csin b，所以 cb，可知 c 为锐角所以 cos c.9因此 sin asin( bc)sin bcos ccos bsin c6533 936223 93.22caccsin a3由，可得 a sinasincsinc 23c，又 ac 23，所以 c1.69专项能力提升在abc 中， ac7，bc2，b 60，则 bc 边上的高等于 ()333a.b.2236c.2339d.4解析设 abc，则由 ac 2ab 2bc 2 2ab bc cos b 知 7c242 c，即 c2 2c 3 0， c 3(负值舍去 )bc 边上的高为 ab sin b3333.22在abc 中，内角 a，b，c 所对的边长分别是a，b，c，若 c acos b (2ab)cos a，则abc的形状为 ()a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰或直角三角形解析c acos b (2a b)cos a，c(ab)，由正弦定理得 sin csin acos b 2sin acos asin bcos a，sinacos bcos asin bsin acos b2sin acos a sinbcos a或cos a(sin bsin a)0，cos a0 或 sinbsin a，a2ba 或 ba (舍去)， abc 为等腰或直角三角形acos bbcos a在abc 中，三个内角 a，b，c 所对的边分别为a，b，c，若 sabc 23，a b 6，c 2cos c，则 c()a 27b 4c23d33acos bbcos a解析c 2cos c，由正弦定理，得 sin acos bcos asi