大一高数(上)

;.第一章函数、极限、连续（小结）一、函数;.1. 邻域：u (a),u ( a)以 a 为中心的任何 开区间 ；2. 定义域：ytan x xk; 2ycot x xk;yarctan x xr, y(,) ； y 22arcsin x x1,1, y, 22yarccos x x1,1, y0, .二、极限1. 极限定义： （了解）lim xnna若对于0 ，nz， st.当 nn 时，有 | xna |；note ： | xna |n?limxx0f ( x)a0 ，0 ， st.当 0xx0时，有f (x)a；note ：f (x)axx0?limxf ( x)a0 ，x0 ， st.当xx 时，有f (x)a；note：f ( x)ax?2. 函数极限的计算（掌握）（1） 定理：limxx0f ( x)af ( x0 )f (x0 )limxx0f ( x)a ；（分段函数）2（2）0 型： 约公因子，有理化；比如：lim x1 ， lim3x1x ；032sin xsin u( x)x1 x1x1xx2重要极限limlim1 ；x0xu( x)0u(x) 等价无穷小因式代换：tan xx,sinxx, arc sinxx ， 1cosx 1 x2 ，2n 1x11 nx ， ex1 x ，ln(1x) x型： 先通分；比如：lim122x 1 1x1xx21型： 转化为无穷小；比如：limxx2x2111 型：重要极限lim 1x xlim1u( x)u ( x )e ；x0u ( x)0（3） 无穷小量：无穷小无穷小 =无穷小；无穷小有界量 =无穷小比如 ： limxcosx 2x（4） 函数极限与无穷小的关系： limxx0f ( x)af ( x)a,其中：lim0xx0（抽象函数）（5） 微分中值定理：f (b)f (a)f () ；比如：limarctan xarctan1 （第 3 章）bax 1x1（6） 罗必达法则：limf ( x)limf ( x)0 ,比如：limtanxx（第 3 章）00xx g ( x)xx g(x)0x0 x sin x23. 数列极限的计算：夹逼原则：lim111nn21n22n2n1ni1n积分定义：lim11xdx； lim q0(| q |1) ； lim n a1 . （第五章）nni 1n0nn三、连续1. 函数在点x0 处连续 ：limxx0f (x)f (x0 ) .一切初等函数在其定义域都是连续的.2. 闭区间上函数连续的性质：最大最小值定理：若f (x)在 a, b 上连续，则f ( x)在 a , b 上一定有最大、最小值.零点定理： 设f (x)c a , b ，且f ( a)f (b)0 ，至少有一点( a , b ) ，使得f ()0介值定理： 设f (x)c a , b ，且f ( a)a ， f(b)b, ab则对 a, b 之间的任意常数c ，至少有一点( a , b ) ，使得f ()c .四、间断点1. 第一类间断点：f (x0) 、 f(x0) 存在若 f ( x0 )f ( x0 )f (x0 )，则称x0 为可去 间断点；若 f ( x0 )f ( x0) ，则称x0 为跳跃间断点；2. 第二类间断点：f ( x0) 、 f ( x0) 至少一个不存在若其中一个趋向，则称x0 为无穷 间断点；若其中一个为振荡，则称x0 为振荡 间断点；第二章导数与微分（小结）一、导数的概念1. f(x )limylimf ( x0x)f(x0 )limf ( x0h)f ( x0 )0x0xx0xh0hnote ：该定义主要用于相关定理的分析与证明；导函数求导公式：f ( x)limf (xh)f ( x).h0h2. 分段函数在分段点处可导性判别：定理：f (x) 在x0 处可导f ( x) 在x0 处即左可导，又右可导f ( x0 )limf ( x)f ( x0 ) ,f(x0 )limf ( x)f (x0 ) .xx0xx0xx0xx03. 导数的几何意义：切线斜率，即 kf(x0 )当 f ( x0 )时，曲线在点(x0, y0 )处的切线、法线方程为：切线方程：yyf( x )( xx) ；法线方程：yy1( xx )00f ( x0 )000二、导数的运算1. 四则运算：u( x)v(x)u ( x0 )v ( x0 ) ； u( x) v( x)u ( x)v( x)u( x)v ( x) ；u(x)v( x)u ( x) v( x)v2u(x)v ( x)；( x)2. 反函数求导：yf ( x) ， x( y)互为反函数，则f (x)1( y)3. 复合函数求导：yf(x)，则 d yf(u)( x) .4. 隐函数求导：f ( x, y)0d x两边关于x 求导，把y 看成是 x 的函数 .5. 参数方程 ：x x(t),y y(t ),则dydydtdxdtdxdydxdtdty (t)x (t)三、微分1. 微分的概念： 若有yf (x0x)f(x0 )axo(dyx) 成立，记作： dyaxnote：dyaxadxf( x)dx ,yf ( x), dyf( x)dx ；2. 微分在近似计算中的应用（ 1）近似计算f ( x)f (x0 )f( x0 )( xx0 ) .第三章微分中值定理及导数的应用一、微分中值定理1、罗尔 (rolle)中值定理 ：(a, b) 内至少存在一点，使得f ()0 .note ： 证明导函数根的存在性. 证明原函数根的唯一性.2、拉格朗日中值定理：在 (a, b) 内至少存在一点, 使得f()f(b)f ( a) .note ： 把f (b)f (a) 用 fba() 做代换，求极限.ba 由 ab 建立不等式，用于证明不等式.3、柯西中值定理：在 (a,b) 内至少存在一点, 使得：f()f (b)f (a)g ()g(b)g(a)note： 用于说明洛必达法则.二、洛必达法则（1） 可结合两个重要极限、等价无穷小代换，约公因子等方法灵活运用.（2） 若-，不为分式，可通过令：1x，创造分式 .t比如：limxx2 ln(11 )xx0通分00取倒数取对数三、函数图形的描绘（1） 写定义域，研究f ( x)的奇偶性、周期性；-0001（2） 求f ( x) ， f( x) ；（3） 令f (x)0f (x) 不可疑极值点fx1 ，f( x)0( x)不可疑拐点x2 ；（4） 补充个别特殊点，求渐近线：limxf ( x)c ， limxx0f (x)；（5） 列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点；（ 6）画图xx1f ( x)x1x1x2x2x2f ( x)f( x)极值点拐点五、最值的计算:（ 1）求f ( x)在 (a ,b)内的可疑极值点：x1 , x2, xm（ 2）最大值：mmaxf ( x1 ),f ( x2 ), f ( xm ),f (a),f (b)（1）特别的，f ( x) 在 a,b上只有一个可疑极值点，若此点取得极大值，则也是最大值点.（2）f ( x) 在 a,b上单调时，最值必在端点处达到.（3）对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.一、不定积分：f ( x)dxf ( x)第四章不定积分c ，note ： c 为积分常数不可丢！ df ( x)d dxxf ( x)f ( x) dxf (x)c f ( x)g(x)d xf( x)d xg( x)d x ；kf ( x)dxkf ( x)dx .x几个常用的公式a x11xdx11c ，a x dxcln adxln xcxsecx tan xdxsecxc，csc xcot xdxcscxc ，二、换元积分法：u( x)1. f ( x)( x)d xf (u) du .note ： 常见凑微分：dxd (xc),xdx1 d ( x2 2c),1dx x2d (xc),1 dxd (ln | x |c) x121+ xdxd (arctan x)d (arc cotx),11x2dxd (arcsin x)d (arccos x) 适用于被积函数为两个函数相乘的情况，若被积函数为一个函数，比如：e2x1 dx ，若被积函数多于两个，比如：sin x cos x dx ，要分成两类；1sin 4 x 一般选择“简单” “熟悉”的那个函数写成(x) ； 若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；u(x )2. f (u) duf ( x)( x)d xnote ：常见代换类型:f ( x , naxb )d x， tn axbf ( x ,x2a 2 )d x ，xasectf (x ,a2x2 )d x ，xasintf (x ,a 2x2 )d x ，xa tantf (ax )d x ， taxf (x , na x bc x d)d x ， tn a x b c x d三、分部积分法：uv dxuvu v dx .note ：按 “ 反对幂指三”的顺序，谁在前谁为uu v 要比uv容易计算；适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：arcsin x1dx ，e x dx（ tx ）；多次使用分部积分法：u uu求导v vv积分三、有理函数的积分1. 假分式 = 多项式 +真分式p( x)；q( x)2. 真分式 = （拆成）若干部分分式之和；note：拆项步骤 ：将分母分解：q( x)( xa)2(x2p xq)2p 24q0根据因式的情况将真分式拆成分式之和：p1 ( x)a1a2b 1xc1b2 xc 2q(x)xaxa 2x2p xq(x2p xq)23. 逐项积分 .注：有时一个题目会用到几种积分方法，要将所有的方法灵活运用，融会贯通！第五章定积分一、定积分的概念及性质bn(ba)i1. 定义：f ( x) dxalimf (i )xi0i 1，其中i =；n2. 几何意义 ：f (x)0,bf ( x)d x 曲边梯形面积af ( x)0,bf (x)d x 曲边梯形面积的负值a3. 性质：（1）baf ( x)d xf ( x)d x ,abaf (x)d x0 ;ab（2）dxbaa（3）bbk f (x)d xkf ( x)d x;aabbb（4）f ( x)g( x)d xf( x)d xg(x)d x ;aaa（5）bcbf ( x)d xf (x)d xf ( x)d x ;aac（6） 若在 a, b 上f ( x)0 ，则bf ( x)d x0 ;a（7） 设 mmax f ( x),m a , b min a , b f ( x) ，则m(ba)bf ( x)d xm (ba) ;a（8） 积分中值定理：bf (x)d xf ()(ba) ， a ,b .a4. 变上限函数：( x)xf (t)dtanote ： ddxbf (t ) dtxf ( x) ；ddx( x)af (t )d tf (x)(x)d( x)d x( x)df (t)d tdxa( x)( x)f (t)dtf (t)dtabf ( x)( x)f ( x)(x)f ( x)d xf (x)b5. 牛顿莱布尼茨公式：a二、定积分的计算f (b)f (a) .a1. 换元积分： 换元必须换限，无需变量回代，凑微分不必换限；bbb2. 分部积分：a uv dx = uv au vdx ；a3. 若f (x) 为奇函数， 则af (x)dx0 ；aaa若 f (x)为偶函数， 则f ( x)dxa2f ( x) dx .0aaa4. 广义积分：f (x)dxlimf ( x) dx ;f (x) dxlimf ( x) dx ;三、定积分的应用1. 平面图形的面积bbbbab直角坐标：af ( x)d xa推广 ： a=ba f (x)g( x) dxa=