概率论习题及答案

概率论习题一、填空题1、掷 2n1 次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是.2、把 10 本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率.3、一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率.4、 已知 p( a)0.7, p( ab)0.3,则 p( ab).精品资料5、 已知 p( a)0.3, p( b)0.4, p( a b)0.5,则 p(b |ab).6、 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为. .7、设p( a)0.4, p( ab)0.7,若 a, b 独立，则p( b).8、设a, b 为两事件，p( a)p(b)1 , p( a| b)1 ,则p( a| b).362i9、设 a , a , a 相互独立，且p( a ),i1,2,3,则 a , a , a 最多出现一个的概3123123率是.10 、某人射击三次， 其命中率为0.8 ，则三次中至多命中一次的概率为.11 、一枚硬币独立的投3 次，记事件a“第一次掷出正面，”事件 b“第二次掷出反面”， 事件c“正面最多掷出一次。”那么p(c |ab)=。12 、已知男人中有 5%是色盲患者，女人中有 0.25% 是色盲患者 .今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人 ,恰好是色盲患者 ,求此人是男性的概率。13 、将 3 个球随机的放入 4 个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率。杯中最多有两个球时，概率为。14 、把 abc 表示为互不相容事件的和是。15 、 a, b, c 中不多于两个发生可表示为。二、选择题1、下面四个结论成立的是（）a. a( bc )(ab)cb. 若ab且ca, 则bcc. ( ab)ba d.( ab)ba2、设 p( ab )0, 则下列说法正确的是（）a.a和b不相容b.ab是不可能事件c. p( a)0或p(b)0d. p( ab)p(a)3、掷 2n1 次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（）a. nb. n12n12n1n1c.0.5d.2n14、设a, b 为随机事件，p( b)0, p( a | b)1,则必有（）a. p( ab)p( a)b. bac. p( a)p(b)d. p( ab)p( a)5、设 a、b 相互独立，且p(a)0 ，p(b)0，则下列等式成立的是（）a.p(ab )=0b.p(a-b)=p(a)p( b )c.p(a)+p(b)=1d.p(a|b)=06、设事件 a 与 b 互不相容，且p(a)0 ，p(b) 0 ，则有（）a.p( ab )=lb.p(a)=1- p(b)c.p(ab )=p(a)p(b)d.p(ab)=17、已知p( a)0.5 ， p( b)0.4 ，p( ab)0.6 ，则p( a | b)（）a.0.2b.0.45c. 0.6d.0.758、同时抛掷3 枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（）a.0.125b.0.25c.0.375d.0.509、设事件a, b 互不相容，已知p( a)0.4 ， p( b)0.5 ，则p( ab ) =（）a.0.1b.0.4c.0.9d. 110 、已知事件 a，b 相互独立，且 p(a)0 ，p(b )0 ，则下列等式成立的是 （）a.p( ab)p( a)p( b)b.p( ab)1p(a) p( b)c. p( ab)p( a)p( b)d. p( ab)111 、设 0p( a)1 ， 0p (b)1 ， p( a | b)p( a | b )1 ，则（）a. 事件 a 与b 互不相容b.事件 a 与b 相互独立c.事件 a 与b 相互对立d.事件 a 与b 互不独立12 、对于任意两事件a和 b ，p( ab) =（）a. p( a)p(b)b. p( a)p(b)p( ab)c. p( a)p(ab )d. p (a)p( a)p( ab )13 、设 a、b 是两事件，且p（ a）=0.6,p(b)=0.7则 p（ab）取到最大值时是（）a.0.6b.0.7c.1d.0.4214 、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率（）。a.0.5b.0.3c.1 3d.0.815 、设每次试验成功的概率为p (0p1)，重复进行试验直到第n 次才取得成11功的概率为（）1a. p (1p)n；b. np (1p)n；c. (n1) p (1p)n；d. (1p)n 1 .三、计算题1. 一宿舍内住有 6 位同学，求他们之中至少有 2 个人的生日在同一个月份概率。2. 设猎人在猎物 100 米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为 0.5 ，若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎人与猎物已相距 150 米，若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎人与猎物已相距 200 米，若第三枪还未命中，则猎物逃逸。 假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比， 试求该猎物被击中的概率。.3. 一个人的血型为a, b, ab,o 型的概率分别为0.37, 0.21, 0.08, 0.34 ，现在任意挑选 4 个人，试求：(1) 此 4 个人的血型全不相同的概率；(2) 此 4 个人的血型全部相同的概率。4. 一赌徒认为掷一颗骰子4 次至少出现一次6 点与掷两棵骰子24 至少出现一次双 6 点的机会是相等的，你认为如何？5. 考虑一元二次方程x2bxc0 ，其中b, c分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。6. 甲、乙、丙3 位同学同时独立参加数理统计考试，不及格的概率分别为0.4, 0.3, 0.5 ，（1） ）求恰有两位同学不及格的概率；（2） ）如果已经知道这3 位同学中有2 位不及格，求其中一位是同学乙的概率.7. 设 n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率。8. 设事件a, b 独立，两个事件仅a 发生的概率或仅b 发生的概率都是1 ，求4p( a) 及 p(b) .9. 将 12 个球随意放入3 个盒子中，试求第一个盒子中有三个球的概率10 、每次射击命中率为0.2 ，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？11 、在一个盒中装有15 个乒乓球，其中有9 个新球，在第一次比赛中任意取出3 个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3 个球，求第二次取出的3 个球均为新球的概率？12 、某工厂生产的产品中96% 是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02 ，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05 ，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率？13 、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7 ， 若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2 ；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率？14 、甲乙丙三人向靶子各射击一次,结果有 2 发子弹击中靶子 .已知甲乙丙击中靶子的概率分别为4/5,3/4,2/3, 求丙脱靶的概率 .15 、如图,1,2,3,4,5表示继电器接点 .假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器接点闭合与否相互独立,求 l 至 r 是通路的概率 .概率论习题答案一、填空题1、0.52、 1153、274、则 p( ab)0.6.5、则p(b | ab)0.8. 6、3.47、则p( b)0.5.8、则p( a | b)7.129、7.2710 、0.10411 、0.512 、0.95c 2c 1c 1913、343431614、aabb bcc caabc（答案不唯一）15、abcabc二、选择题1.b2.d3.c4.a5.b6.a7.d8.c9.b10.b11.b12.c13.a14.c15.a三、计算题1、解：设设事件a 为“至少有2 个人的生日在同一个月份”，事件 a 为“6 个人生日全不同月”， p( a)1p( a)16p121260.7772 。2、解：记 x 为猎人与猎物的距离，因为该猎人命中猎物的概率与距离成反比，x所以有p( xx)，又因为在100 米处命中猎物的概率为0.5，k所以 0.5p(x100)k, 100从而 k50.记事件 a, b,c 分别为“猎人在100 米，150 米，200 米处击中猎物”， 事件 d 表示“猎人击中猎物，”则p( d)p( a)p( ab)p( abc)1111213 .22323443、解：(1) 四个人血型全不相同的概率为：c10.37c 10.21c 14320.080.340.0507.(2) 四个人血型全部相同的概率为：0.3740.2140.0840.3440.03414、解：设事件a 为“一颗骰子掷4 次，至少出现一次6 点”，则 a 为“一颗骰子掷 4 次，不出现一次6 点”，于是p( a)1p(a)1450.5177.6设事件 b 为“两颗骰子掷24 次，至少出现一次双6 点”，则 b 为“两颗骰子掷24 次，不出现双6 点”，于是p(b)1p( b)124350.4914.36从结果可以看出，赌徒的感觉是不对的，因为两者的概率相差0.0263 ，而概率相差 0.0263 的两个事件，在实际中仅凭感觉很难发现它们的细小差别，只有从理论上才能认识到。5、解：按题意知：( b, c) :b,c1,2,3,4,5,6 ，它含有 36 个等可能的样本点，所求的概率为：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)(3, 2),(4, 2),(5, 2),(6, 2)(4,3)(5,3)(6,3)(4, 4)(5, 4)(6, 4)(5,5)(6,5)(5,6)(6,6)pp( b 24c0)p(b 24c)而 b 24c含有 19 个样本点，所以p19 .2362同理qp(bq21 .4c，)而 b4c (2,1),(4,1)含有两个样本点，所以36186、解:设 a1 , a2 , a3 分别表示“甲不及格 ”、“乙不及格、”“丙不及格”三事件, 由题意知 a1 , a2 , a3 相互独立 , 令 a 表示“恰有2 位不及格”, 则aa1a2 a3a1 a2 a3a1a2 a3p( a)p( a1 a2 a3 )p( a1 a2 a3 )p( a1 a2 a3 )(1)0.40.290.30.50.40.70.50.60.30.5p( a aaa aa| a)p( a1 a2 a3 )p( a1 a2 a3 )(2)123123p( a)15 / 297、解：记事件a 为“有一件事不合格品”， b 为“另一件也是不合格品”，则c1 c 1c22m( nm)m( m1)p( a)mn mm22p( ab )cncncm2m(m1)cn2n(n1)n(n1)于是所求概率为：p(b | a)p( ab)m(m1)n(n1)m1.p(a)2m( nm) n(nm( m1)1)2nm18、解：由题设知p( ab )p( ab)1/ 4. 又因为a, b 独立，所有由p( a)p( b)p( a) p(b)1/ 4,p( a) p(b)1/ 4,解得 p( a)p(b)0.5 .9、解：将 12 个球随意放入3 个盒子中，所有的结果共有312 个。而事件“第一个盒子中有 3 个球”可分两步来考虑：第一步，12 个球任取 3 个放在第一个盒子中，12这有种可能；第二步，将余下的9 个球随意放入第二个和第三个盒子中，3这有 29 种可能，于是所求概率为：122930.212。31210 、解：设共射击n次，记事件ai 为“第i次射击命中目标”， i1, 2,n ,则p( ai )0.2 ，由题设条件知：p( aaa)1(0.8 n )0.9,12n由此得 0.8n0.1，两边取对数解得nln 0.1/ ln 0.810.318, 所 以 n11 可满足题设条件。11 、解：设 ai=第一次取出的3 个球中有 i 个新球，i=0,1,2,3. b=第二次取出的3 球均为新球 由全概率公式，有p( b)3p( b ai )p( ai )i 0c3c3c1 c2c3c2 c1c3c3c36996896796c3c3c3c3c3c3c3c31 51 51 51 51 51 51 51 50. 0 8 912 、解：设 a= 产品确为合格品 ，b=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得p( a b)p( ab)p(a) p( b a)p( b)p( a) p( b a)p( a)p( b a)0. 9 60. 9 80. 9 9 80. 9 60. 9 80. 0 40. 0 513 、解：设 a =飞机被击落 ， bi =恰有 i 人击中飞机 ， i由全概率公式，得0,1,2,3p( a)3p( a | bi )p( bi )i 0=(0.4 0.5 0.3+0.6 0.5 0.3+0.6 0.5 0.7)0.2+(0.4 0.5 0.3+0.4 0.5 0.7+0.6 0.5 0.7)0.6+0.4 0.5 0.7=0.45814 、解: 设甲，乙，丙击中靶子的事件分别为a,b,c事件“2 发子弹击中靶子 ” 为 d，则所求为：p c dp(c | d)p(cd)p( d | c) p(c)p( d| c)433p