概率论公式总结

第一章精品资料p(a+b)=p(a)+p(b)- p(ab)特 别 地 ， 当a、 b互 斥 时 ，p(a+b)=p(a)+p(b)条件概率公式f ( x)p( xx)p( xk )k xp( a | b)p( ab)p( b)概率的乘法公式p( ab)p( b) p(a | b)p( a) p(b | a)全概率公式：从原因计算结果p( a)np( bk ) p( a | bk )k 1bayes公式：从结果找原因0f (x, y)1p(bk| a)p(bin)p( a | bi )f (x, y)p xx,yyp( bk )p( a |k 1bk )第二章二项分布（ bernoulli分布） xb(n,p)p(xk)ck pk(1p)n k，(kn泊松分布 xp( )kp( xk)k!e， ( k0,1,.)概率密度函数f (x)dx1怎样计算概p(axb)率bp(axb)f (x) dxa均匀分布 xu(a,b)f ( x)1ba( axb)指数分布 xexp ( )f (x)1 e x /( x0)0,1,.n, )f ( x)f ( x)分布函数对离散型随机变量对连续型随机f ( x)p( xx)xf (t )dt变量分布函数与密度函数的重要关系：f ( x)p( xx)xf (t )dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法f (x, y)联合密度f ( x, y)函数联合分布函数f ( x, y)0f ( x, y)dxdy1联合密度与边缘密度f x (x)f (x, y)dyfy (y)f (x, y)dx离散型随机变量的独立性p xi, yj p xi pyj连续型随机变量的独立性f ( x, y)f x ( x)fy ( y)第 三 章 数学期望e( x)kxkpk离散型随机变量，数学期望定义e( x )xf ( x) dx连 续 型 随 机 变量，数学期望定义e(a)=a ，其中 a 为常数e(a+bx)=a+be(x)，其中 a、b 为常数e(x+y)=e(x)+e(y)，x 、y 为任意随机变量e(g ( x )g( xk ) pkk随机变量g(x) 的数学期望常用公式e(x)xi pijije( x )xf ( x, y)dxdye(xy)xi yj pijije( xy )e ( x )e (y)e( xy)xyf ( x, y)dxdy当x与y独立时 ,e( xy)e( x )e(y )方差定义式d ( x )xe( x )2f ( x) dx22常 用计算d( x )e( x)e (x )式常用公式d( xy )d ( x )d(y)2 e( xe( x )( ye(y )当 x、y 相互独立时：d( xy)d( x )d (y)方差的性质d(a)=0 ，其中 a 为常数d(a+bx)=b2d(x)，其中 a、b 为常数当 x、y 相互独立时， d(x+y)=d(x)+d(y)协方差与相关系数exe ( x ) ye(y )e( xy )e( x )e(y)cov (x , y)e( xy )e( x )e(y)xycov(x,y)d( x)d(y)协方差的性质cov( x , x )e( x 2 )e( x )2d( x )cov(ax , by)abcov(x , y)cov( xy, z )cov( x , z )cov(y , z )独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章x n (,2 )正态分布f ( x)12e( x2) 22e( x ),d( x )2(a)1(a)标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式p(zp(za)a)p( zp( za)a)1(a)(a)p( azzb)(b)(a)p(aa)(a)a)2(a)一般正态分布的概率计算x n(,2 )zx n(0,1)1p( xa)p( xa)( a)一般正态分布的概率计算公式p( xa)p( xa)1( a)p( axb)( b)( a)第五章若x n (0,1)，则n2x ii 12 (n)卡方分布若y n (,2 ),1n则2yii 12 2( n)t 分布若x n (0,1),y 2 ( n), 则xy / n t (n)12若u 2 (n ),v 2 (n ),则 u / n1v / n2 f ( n1, n2 )f 分布2x n (,n)x/n n (0,1)样本方差的分布：(n1) s222 (n1)xs /n t(n1)两个正态总体的方差之比s22121/ s/222 f(n11,n21)第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计nnlf ( xi ;)lp( xi ;)似然函数i 1i 1均值的区间估计 大样本结果xz/ 2x 样本均值n精品资料 标准差(通常未知，可用样本标 准差s代替)n 样本容量 (大样本要求 n50)z/ 2 正态分布的分位点正态总体条件下 样本均值的分布：pz/ 2p (1p)npn 样本比例 样本容量 (大样本要求 n50)z/ 2 正态分布的分位点小样本、正态总体、标准差已知xz / 2n小样本、正态总体、标准差未知xt(n/ 21)s nt/ 2 (n1) 自由度为 n1的t分布的分位点( n1) s22/ 2,( n1) s22s2 样本方差21/ 2/ 2 卡方分布的分位点精品资料正态总体方差的区间估计x1x2z/ 221n122n2两个正态总体方差比的置信区间fs1/ 2 (n12/ s22s1 / s2221, n21),f/ 2 (n11, n21)两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知第七章假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设h0 和备择假设 h1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形 z 检验正态总体小样本、方差已知 z 检验正态总体小样本、方差未知 t 检验精品资料单正态总体方差的检验正态总体、均值未知 卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式(1)h 0 :0h 1 :0双边检验(2 )h 0 :0h 1 :0左边检验(3)h 0 :0h 1 :0右边检验单正态总体均值的z 检验zx0/n（大样本情形未知时用s代替）拒 绝 域zz/ 2的代数表示双 边 检验zz左 边 检验zz右 边 检验比例 特殊的均值的z