电磁感应中的“杆+导轨”类问题(3大模型)解题技巧

.辅导 23：电磁感应中的“杆导轨”类问题(3 大模型 )解题技巧电磁感应中的杆导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：类型一：单杆 +电阻 +导轨模型类【初建模型 】【例题 1】(2017 淮安模拟 )如图所示，相距为 l 的两条足够长的光滑平行金属导轨 mn、pq 与水平面的夹角为 ， n、q 两点间接有阻值为 r 的电阻。整个装置处于磁感应强度为 b 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为 m、阻值也为 r 的金属杆 cd 垂直放在导轨上，杆 cd 由静止释放， 下滑距离 x 时达到最大速度。重力加速度为 g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：(1) 杆 cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。【思路点拨 】：【答案】：(1)gsin ，方向沿导轨平面向下； 2mgrsin 1b2l2，方向沿导轨平面向下； (2)2mgxsinm3g2r2sin2b4l4【解析】：(1)设杆 cd 下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势eblve;.回路中的感应电流irr杆所受的安培力fbil根据牛顿第二定律有mgsinb2l2v2r ma当速度 v0 时，杆的加速度最大，最大加速度agsin ，方向沿导轨平面向下2mgrsin 当杆的加速度 a0 时，速度最大，最大速度vmb2l2，方向沿导轨平面向下。12(2) 杆 cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsin q 总2mvm11m3g2r2sin2 又 q 杆2q 总，所以 q 杆2mgxsin b4l4。【内化模型 】单杆+电阻+导轨四种题型剖析题型一(v0 0)题型二(v00)题型三(v00)题型四(v0 0)杆 cd 以一定初速度 v0 在光滑水平说明轨道上滑动，质量为 m，电阻不计，两导轨间距为 l轨道水平光滑， 杆cd 质量为 m，电阻不计，两导轨间距为 l，拉力 f 恒定倾斜轨道光滑，倾角 为 ，杆 cd质量为 m，两导轨间距为 l竖直轨道光滑， 杆 cd 质量为 m， 两导轨间距为 l示意图力学观杆以速度 v 切割磁感线产生感应电 动势 eblv，电blv流 i r ，安培力b2l2vf开始时 am，杆cd 速度 v? 感应电 动 势 e blv? i? 安培力开始时 agsin ，杆cd 速度 v? 感应电动势 e blv? i ?安培力 f 安bil ，开始时 ag，杆cd 速度 v? 感应电 动 势 e blv? i ? 安培力 fbil ，由点fbilr。杆做减速运动：v? f ? a，当 vf 安bil ，由 ff 安ma 知 a，当 a0 时， v 最由 mgsin f 安ma知 a，当 a0 时，vmgrsin 安mgf 安ma 知a，当 a0 时，fr最大， vmb2l2mgr0 时， a0，杆保持静止大， vmb2l2v 最大， vmb2l2图像观点能量观点动能全部转化为内能： q102f 做的功一部分 转化为杆的动能， 一部分转化为内1重力做的功 (或减少的重力势能 )一部分转化为杆的动能，一部分转化为内能： w重力做的功 (或减少的重力势能 )一部分转化为杆的动能，一部分转2能： wfqgmv化为内能： w 2mv2mvm2q1m2gq12【应用模型 】2mvm【变式】：此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为 。现用沿导轨平面向上的恒定外力 f 作用在金属杆 cd 上，使 cd 由静止开始沿导轨向上运动， 求 cd 的最大加速度和最大速度。【答案】：见解析【解析】：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、 导轨平面的支持力、 拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有：fmgsin f 安f ma又 f 安bil， ieblvrrrrb2l2v，所以 f 安bil rrfn mcgosb2l2v故 fmgsinrr mcgosma当速度 v0 时，杆的加速度最大，最大加速度ammgsingcos，方向沿导轨平面f向上当杆的加速度 a0 时，速度最大， vm ( f类型二：单杆 +电容器 (或电源 )+导轨模型类mg sinmg cosb 2 l2)2 r 。【初建模型 】【例题 2】(2017 北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为b 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道mn、pq 固定在水平面内， 相距为 l。一质量为 m 的导体棒 cd垂直于 mn、pq 放在轨道而上，与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。(1) 如图 1 所示，若轨道左端 m、p 间接一阻值为 r 的电阻，导体棒在拉力 f 的作用下以速度 v 沿轨道做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间 t 内，拉力 f 所做的功与电路获得的电能相等。(2) 如图 2 所示，若轨道左端接一电动势为e、内阻为 r 的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关 s，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。(3) 如图 3 所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为c，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4 所示，已知 t1 时刻电容器两极板间的电势差为u1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。【思路点拨 】：(1) 导体棒匀速运动 受力平衡 求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势产生感应电流 求出回路的电能。(2) 闭合开关s 导体棒变加速运动 产生的感应电动势不断增大达到电源的路端电压棒中没有电流 由此可求出电源与电阻所在回路的电流电源的输出功率。(3) 导体棒在外力作用下运动回路中形成充电电流导体棒还受安培力的作用由牛顿第二定律列式分析。【答案】：见解析【解析】：(1)导体棒切割磁感线， e blve导体棒做匀速运动， ff 安，又 f 安bil，其中 ir在任意一段时间t 内，拉力 f 所做的功 w fvtf 安 vtb2l2v2b2l2v2rt电路获得的电能e qe eitrt可见，在任意一段时间t 内，拉力 f 所做的功与电路获得的电能相等。(2) 导体棒达到最大速度vm 时，棒中没有电流，电源的路端电压ublvmeu电源与电阻所在回路的电流ir电源的输出功率pui eblvmb2l2vm2r。(3) 感应电动势与电容器两极板间的电势差相等blvuu1由电容器的 u-t 图可知 u t1 tu11导体棒的速度随时间变化的关系为vblt tu1可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度ablt1由 cqu和 iqcut ，得 i tcu1 t1由牛顿第二定律有fbilmablcu 1mu1可得 ft1blt1。【内化模型 】单杆+电容器 (或电源 )+导轨模型四种题型剖析题型一(v00)题型二(v00)题型三(v00)题型四(v0 0)轨道水平光滑，说明杆cd 质量为 m，轨道水平光滑，杆cd 质量为 m，电阻倾斜轨道光滑， 杆 cd 质量为 m，竖直轨道光滑， 杆 cd 质量为 m，电阻不计，两导轨间距为 l不计，两导轨间距为 l，拉力 f 恒定电阻不计，两导轨间距为 l电阻为 r，两导轨间距为 l示意图s 闭合，杆 cd受安培力 ff开始时 am，杆cd 速度 v? e开始时 a gsin，杆 cd 速度 v? eblv，经过 t开始时 a g，杆cd 速度 v? eblv，经过 tbler，ablemrblv，经过 t 速，度为 vv， e速度为 v v，e 速度为 vv，e力学观点杆 cd 速度 v?感应电动势 e 感blv? i? 安培力 fbil ?加速度 a，当 e感e 时， v 最bl(vv)，q c(e e)q cblv，i t cbla， f 安cb2l2a， abl(v v)，qc(e e)q cbl v，i t cbla，f 安cb2l2a， mgsin f 安ma，abl(vv)，qc(ee)q cblv，i t 22cbla， f 安cb l a，mgf 安ma，aef22，所以杆mgsin mg大，且 vmblmb l cmcb2l2，所以m cb2l2，所以匀加速运动杆匀加速运动杆匀加速运动图像观点能量观点电源输出的电能转化为动能：f 做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能： wf重力做的功一部分转化为动能， 一部分转化为电重力做的功一部分转化为动能， 一部分转化为电121212w 电2mvm12e场能： wg 2mv场能： wg2mv2mvcecec【应用模型 】【变式】：例题 2 第(3)问变成，图 3 中导体棒在恒定水平外力f 作用下，从静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为，写出导体棒的速度大小随时间变化的关系式。22 t【答案】：v f mgmcb l【解析】：导体棒由静止开始做加速运动，电容器所带电荷量不断增加，电路中将形成充电电流，设某时刻棒的速度为v，则感应电动势为： eblv电容器所带电荷量为：q ce cblv再经过很短一段时间t，电容器两端电压的增量和电荷量的增量分别为ueblvqcucblv流过导体棒的电流： iq2t cblvtcbla导体棒受到的安培力：f1bil cb 导体棒所受到的摩擦力：f2 mg 由牛顿第二定律得： ff1f2mal2af mg联立以上各式解得： amcb2l2显然导体棒做匀加速直线运动，所以导体棒的速度大小随时间变化的关系式为：f mgv2mcb l2t。类型三：双杆 +导轨模型类【初建模型 】【例题 3】(1)如图 1 所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度为b 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计，导轨间的距离为l，两根质量均为 m、电阻均为 r 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直。在 t0 时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小恒为f 的力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动，试分析金属杆甲、乙的收尾运动情况。(2)如图 2 所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，导轨上横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行。开始时，棒cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度。若两导体棒在运动中始终不接触，试定性分析两棒的收尾运动情况。【思路点拨 】：(1) 金属杆甲运动产生感应电动势回路中有感应电流 乙受安培力的作用做加速运动可求出某时刻回路中的总感应电动势由牛顿第二定律列式判断。(2) 导体棒 ab 运动，回路中有感应电流分析两导体棒的受力情况分析导体棒的运动情况，即可得出结论。【答案】：见解析【解析】：(1)设某时刻甲和乙的速度大小分别为v1 和 v2，加速度大小分别为a1 和 a2，受到的安培力大小均为f1，则感应电动势为： ebl(v1v2)e感应电流为： i2r对甲和乙分别由牛顿第二定律得：ff1 ma1，f1 ma2 当 v1v2定值 (非零)，即系统以恒定的加速度运动时a1 a2f解得 a1 a22m可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。(2)ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中产生感应电流。ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd 棒则在安培力作用下做加速运动，在 ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路中总有感应电流，ab 棒继续减速， cd 棒继续加速。两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度 v 水平向右做匀速运动。【内化模型 】三大观点透彻解读双杆模型示意图力学观点图像观点能量观点导体棒 1 受安培力的作用做加速度减小的减速运动， 导体棒 2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动两棒以相同的加速度做匀加速直线运动【应用模型 】【变式】：若例题 3(1)中甲、乙两金属杆受恒力作用情况如图所示，两杆分别在方向相反的恒力作用下运动(两杆不会相撞 )，试分析这种情况下甲、乙金属杆的收尾运动情况。【答案】：见解析棒 1 动能的减少量棒 2 动能的增加量焦耳热外力做的功棒1 的动能棒 2 的动能焦耳热【解析】：设某时刻甲和乙的速度分别为v1 和 v2，加速度分别为a1 和 a2，甲、乙受到的安培力大小均为f1，则感应电动势为： ebl(v1v2)e感应电流为： i2r对甲和乙分别应用牛顿第二定律得：f1bil ma1，bil f2 ma2 当 v1v2定值 (非零)，即系统以恒定的加速度运动时a1 a2f1 f2解得： a1 a22m可见甲、乙两金属杆最终做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。辅导 23：电磁感应中的“杆导轨”类问题(3 大模型 )解题技巧训练题1如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距l 0.5m，左端接有阻值 r0.3 的电阻。一质量m0.1kg、电阻 r0.1 的金属棒 mn 放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度b0.4t。棒在水平向右的外力作用2下由静止开始以a2m/s 的加速度做匀加速运动， 当棒的位移 x9m 时撤去外力， 棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比q1 q221。导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触。求：(1)棒在匀加速运动过程中，通过电阻r 的电荷量 q； (2)撤去外力后回路中产生的焦耳热q2；(3)外力做的功 wf。2(2017 常州检测 )如图所示，水平面内有两根足够长的平行导轨l1、l2，其间距 d0.5m，左端接有容量c2000f的电容。质量 m20g 的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和 导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度b2t。现用一沿导轨方向向右的恒力f10.44n 作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t 时间后到达 b 处，速度 v5m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为f2，又经 2t 时间后导体棒返回到初始位置a 处，整个过程电容器未被击穿。求(1) 导体棒运动到 b 处时，电容 c 上的电量；(2) t 的大小；(3) f2 的大小。3. 如图所示，两根竖直固定的足够长的金属导轨ab 和 cd 相距 l 0.2m，另外两根水平金属杆 mn 和 pq 的质量均为 m10kg，可沿导轨无摩擦地滑动， mn 杆和 pq 杆的电阻均为r 0.2 竖(直金属导轨电阻不计)， pq 杆放置在水平绝缘平台上，整个装置处于垂直导轨平面向里的磁场中， g 取 10m/s2。(1) 若将 pq 杆固定，让 mn 杆在竖直向上的恒定拉力f0.18n 的作用下由静止开始向上运动，磁感应强度b01.0t，杆 mn 的最大速度为多少？(2) 若将 mn 杆固定，mn 和 pq 的间距为 d0.4m，现使磁感应强度从零开始以的变化率均匀地增大，经过多长时间，杆pq 对地面的压力为零？bt 0.5t/s4. 如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨mn、pq 与水平面的夹角为30，两导轨之间相距为 l1m，两导轨 m、p 间接入电阻 r 0.2 ，导轨电阻不计。在abdc 区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场，磁感应强度为b0 1t，磁场的宽度x11m，在cd 连线以下的区域有一个方向也垂直于两导轨平面向下的磁场，磁感应强度为b1 0.5t。一个质量为 m 1kg 的金属棒垂直放在金属导轨上， 与导轨接触良好， 金属棒的电阻 r0.2 。若将金属棒在离ab 连线上端 x0 处自由释放，则金属棒进入磁场恰好做匀速直线运动。金属棒进入磁场后，经过ef 时系统达到稳定状态， cd 与 ef 之间的距离 x28m。(g 取 10m/s2) (1)求金属棒从开始静止到在磁场中达到稳定状态这一过程中电阻r 产生的热量；(2)求金属棒从开始运动到在磁场中达到稳定状态所经过的时间。辅导 23：电磁感应中的“杆导轨”类问题(3 大模型 )解题技巧训练题参考答案1【答案 】： (1)4.5c；(2)1.8j；(3)5.4j。【解析】：(1)设金属棒做匀加速运动的时间为t，回路中磁通量的变化量为，回路中 ，其中 t产生的平均感应电动势为e ，则由法拉第电磁感应定律得e blxe设回路中的平均电流为i ，则由闭合电路欧姆定律得i rr通过电阻 r 的电荷量 q i t联立以上各式，代入数据解得q 4.5c。(2) 设撤去外力时棒的速度为v，在棒做匀加速运动的过程中，由运动学公式得v22ax12设棒在撤去外力后的运动过程中安培力做的功为w，由动能定理得w02mv撤去外力后回路中产生的焦耳热q2 w代入数据解得 q21.8j。(3) 由题意知，撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比q1q 2 2 1， 可得 q13.6j在棒运动的整个过程中，由功能关系可知wfq1q25.4j。2【答案 】： (1)1 102c；(2)0.25s； (3)0.55n。【解析】：(1)当导体棒运动到 b 处时，电容器两端电压为ubdv 20.5 5 v 5v此时电容器的带电量qcu2 000 1065 c 1102 c。 (2)棒在 f1 作用下有 f1bidma1，q 又 i t cbdvt，v a1 t联立解得： a1f12 2mcb d20 m/s2v则 t a10.25s。(3)由(2)可知棒在 f2 作用下，运动的加速度a2f222，方向向左，m cb d1212又2a1t a1 t2ta 2 (2t )2将相关数据代入解得f20.55n。3【答案 】： (1)0.8m/s；(2)10s。【解析】：(1)mn 杆切割磁感线产生的感应电动势为e1 b0lve1由闭合电路欧姆定律，得i12r