信号与系统第2章

第二章傅立叶变换 在信号分析中 经常将信号从时域表示转换到某一变换域表示 即对信号进行线性变换 常见的变换有 1 连续时间信号的傅立叶变换 2 拉普拉斯变换 3 离散时间信号的z变换 拉普拉斯变换是傅立叶变换的一种推广 z变换则是傅立叶变换在离散时间序列中的普遍化 1周期信号的频谱分析 博立叶级数 基函数 三角函数 指数函数 利用傅里叶级数研究周期信号的频谱特性 第二章傅立叶变换 2三角函数的傅里叶级数三角函数集 可以证明该函数集即为正交函数集 任何一个周期函数f t 都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示 上述第一项为信号的直流分量 第二章傅立叶变换 3傅里叶级数的三角形式 An称为幅度频谱 称为相位频谱 第二章傅立叶变换 4指数函数的傅里叶级数 指数函数集 这是一个完备正交函数集 任何一个周期函数f t 都可以用指数函数集中各函数分量的线性组合来表示 第二章傅立叶变换 5傅里叶级数三角形式与指数形式之间的关系 6典型周期函数的频谱 设周期矩形脉冲信号f t 的脉冲宽度为 脉冲幅度为E 周期为T 信号在一个周期内的表达式为 第二章傅立叶变换 将f t 展开成指数形式傅立叶级数 这里 BasicLaws 第二章傅立叶变换 若 1 2 3 表示方法 幅度为正表示相位为0 幅度为负 表示相位为 BasicLaws 第二章傅立叶变换 特点 离散线状频谱只出现在的整数倍上 其包络线按抽样函数的规律变化 谱线的幅度变化呈现收敛状态 能量主要集中在第一个过零点之内 信号的时宽与频宽成反比 T不变 1不变 T增加 各分量幅度减小 1下降 谱线变密 减小 各分量的幅值减小 信号带宽增加 第二章傅立叶变换 7非周期信号的傅里叶变换 傅里叶变换的导出 非周期函数可以认为是周期T 时的周期函数 T趋于无穷大时 谱线间隔趋于无限小 离散频谱就成了连续频谱 各分量幅度趋于无穷小 第二章傅立叶变换 设周期信号f t 展成指数傅立叶级数为 可见为单位频率内的能量 一般记 第二章傅立叶变换 定义 F 为频谱密度函数 为幅度频谱 为 的偶函数 为相位频率谱 为 的奇函数 同样可以推导出 第二章傅立叶变换 可见 非周期信号和周期信号一样 可分解为许多不同频率的正弦分量 非周期信号的周期趋于无限大 基波频率趋于无限小 包括了从零到无穷大的所有频率分量 傅里叶变换存在的充分条件 狄利赫条件 第二章傅立叶变换 8典型非周期函数的频谱 1 矩形脉冲信号 其数学表达式为 矩形脉冲频谱是 幅度谱 相位谱 第二章傅立叶变换 比较典型周期信号和非周期信号的频谱 可以看出 非周期单位脉冲的频谱函数曲线与周期矩形脉冲离散频谱的包络线形状完全相同 都具有抽样函数的形状 单脉冲频谱也具有收敛性 信号的绝大部分能量集中在低频段 第二章傅立叶变换 2 单边指数函数的傅里变换 已知单边指数信号如图所示 其表示式为 其幅度谱和相位谱分别为 第二章傅立叶变换 3 双边指数函数 双边指数函数如图所示 其表示式为 其频谱函数为 幅度谱和相位谱分别为 第二章傅立叶变换 4 单位冲激信号单位冲激信号的傅立叶变换是 当 趋于0时 矩形脉冲变成 t 信号 其相应频谱的第一个零点 2 将移到无穷远处 均匀谱 或 白色频谱 信号 t 的频谱在整个频率范围内均匀分布 第二章傅立叶变换 5 单位阶跃函数 不符合绝对可积的条件 A 根据傅立叶变换公式 u t 的频谱为 直接利用公式无法求出其傅里叶变换 假设u t 的傅立叶变换为 B 的傅立叶变换为 依据傅立叶变换具有唯一性 所以 第二章傅立叶变换 当时 当时 所以 第二章傅立叶变换 6 符号函数符号函数sgn t 如图所示 其表示式为 由于sgn t 不符合绝对可积条件 故使用间接方法计算 同理可以得到 第二章傅立叶变换 7 直流信号直流信号如图所示 其表示式为 同理可以得到 第二章傅立叶变换 10傅里叶变换的性质 信号的性质既可用时间函数f t 表示 也可用频谱函数F 表示 其中只要有一个确定 另一个也随之确定 1 线性 2 时移特性 结论 信号的幅度频谱是由信号的波形形状决定的 与信号在时间轴上出现的位置无关 而信号的相位频谱 则是信号波形状和在时间轴上出现的位置共同决的 如果 那么 如果 那么 例1已知矩形脉冲f1 t 如图 a 所示 其相位谱如图 b 所示 将f1 t 右移 2得到如图 c 所示f2 t 试画出其相位谱 第二章傅立叶变换 由题意可知 根据时移特性 可得f2 t 的频谱函数为 第二章傅立叶变换 f2 t 幅度谱没有变化 其相位谱比图 b 滞后 2 如图 d 所示 要使输出信号的波形不失真 必须是一个线性网络 即信号中各分量具有相同的相位移 第二章傅立叶变换 3 频移特性 如果 那么 0为常数 该性质也叫频谱搬移 这种频谱搬移技术在通信系统中得到广泛的应用 调幅 调频都是在该基础上进行的 由此可见 将时间信号f t 乘以Cos 0t 或Sin 0t 等效于将f t 的频谱一分为二 即幅度减小一半 沿频率轴向左和向右各平移 0 第二章傅立叶变换 例2求如下矩形调幅信号的频谱函数 已知门函数的频谱函数为 根据频移特性可得 第二章傅立叶变换 第二章傅立叶变换 4 对称特性 如果 那么 例3求函数的频谱函数 宽度为 幅度为1的门函数的频谱函数为 即 根据对称性可得 假设 2 故Sa t 的频谱函数为 第二章傅立叶变换 5 微分特性 如果 那么 6 积分特性 如果 那么 如果F 0 0 第二章傅立叶变换 7 卷积定理 1 时域卷积定理 如果 那么 8 频域卷积定理 如果 那么 第二章傅立叶变换 11周期信号的傅里叶变换 周期信号的频谱 用傅里叶级数表示 非周期信号的频谱 用傅里叶变换表示 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗 1 正弦 余弦信号的傅里叶变换直流信号的博立叶变换为 的博立叶变换为 可见 指数函数 正弦 余弦函数的频谱只包含位于 0处的冲激函数 第二章傅立叶变换 第二章傅立叶变换 2 周期信号的傅里叶变换 周期为T的信号可用傅立叶级数表示为 其中Cn是f t 的指数傅立叶级数的系数 且 f t 博立叶变换为 该式表明 周期信号f t 的傅里叶变换F 是由一些冲击函数组成的 并位于基波 1的整数倍处 冲击强度为f t 的指数傅里叶级数的系数Cn的2 倍 第二章傅立叶变换 例4 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换 傅里叶级数为 例5 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 第二章傅立叶变换 矩形脉冲信号f t 的傅里叶系数为 f t 的傅里叶级数为 周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为 单脉冲f0 t 的傅里叶变换为 第二章傅立叶变换 Cn F F0 具有相同的包络线 第二章傅立叶变换 12抽样信号的频谱 f t 表示连续时间信号fs t 表示被采样以后的离散信号p t 表示抽样脉冲序列 第二章傅立叶变换 结论与讨论 1 信号被采样后 其频谱Fs 是由连续信号频谱F 以抽样频率 s为间隔周期重复得到 2 时域抽样定理 fs t 要保留原连续信号f t 的全部信息 必须满足 在实际应用上 3 抽样定理说明 一个频带有限的信号f t 如果其频谱只占据 m m的范围 则信号f t 可以用时间间隔不大于的抽样唯一地确定 第二章傅立叶变换 4 通常把最低允许的抽样率称为奈斯持频率 把最大允许的抽样间隔称为奈奎斯特间隔 5 如果 Fs 将产生混迭 信号f t 不能由取样信号fs t 完全恢复 13系统的传输函数和频率响应频率响应 以单位冲激信号为激励时 系统产生的冲击响应为h t 其傅里叶变换为频率响应 或传输函数 第二章傅立叶变换 14综合题例1求图示各信号的傅里叶变换 提示 利用傅里叶变换时移特性 提示 先利用欧拉公式 再利用傅里叶变换的公式计算 提示 第二章傅立叶变换 例2利用对称性求下列函数的傅里叶变换 提示 利用 先利用傅里叶变换对称性 再利用傅里叶变换时移特性 例3求下图所示函数的博里叶逆变换 提示 a b 利用傅里叶反变换公式计算 第二章傅立叶变换 例4试求图示周期信号的频谱函数 图 b 中冲激函数的强度均为1 提示 a b b b b 第二章傅立叶变换 例5求图示升余弦脉冲对表示为 试用以下方法求其频谱函数 1 利用傅里叶变换的公式 2 将它看作是门函数与函数的乘积 第二章傅立叶变换 例6某L1I系统的频率响应为 若系统输入f t cos 2t 求该系统的输出y t 提示 例7如图a所示系统 已知乘法器的输入为 系统的频率响应为 求输出y t 第二章傅立叶变换 乘法器的输出信号为 依频域卷积定理可知 这里 由于宽度为 的门函数与其频谱函数的关系是 根据对称性可得 假设 4 故f t 的频谱函数为 s t 的频谱函数为 第二章傅立叶变换 系统的频率响应函数可写为 显然它可以写为 第二章傅立叶变换 例8如图所示系统 已知 求系统的输出y t 提示 利用和对称性 并假设 4 可得到 2 3 1 4 6 5 第二章傅立叶变换 例9如图 a 所示系统 带通滤波器的频率响应如网 b 所示 其频率响应若输入 求输出信号y t 提示 1 2 3 4 假设 4 第二章傅立叶变换 例10如图 a 的所示系统是抑制载波振幅调制的接收系统 低通滤波器的频