2014届高考数学一轮复习教学案数列的概念与简单表示法

第一节数列的概念与简单表示法知识能否忆起1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：按照一定顺序排列的一列数数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类：分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an10.4(教材习题改编)已知数列an的通项公式是an则a4a3_.解析：a4a3233(235)54.答案：545已知数列an的通项公式为anpn，且a2，a4，则a8_.解析：由已知得解得则ann，故a8.答案：1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别2数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3，n)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)an(nN*)由数列的前几项求数列的通项公式典题导入例1(2012天津南开中学月考)下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公式的是()Aan1BanCan2 Dan自主解答由an2可得a11，a22，a31，a42，.答案C若本例中数列变为：0,1,0,1，则an的一个通项公式为_答案：an由题悟法1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法1写出下面数列的一个通项公式(1)3,5,7,9，；(2)，；(3)3,33,333,3 333，；(4)1，.解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an.(3)将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是101,1021,1031,1041，.所以an(10n1)(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n，也可写为an由an与Sn的关系求通项an典题导入例2已知数列an的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们的通项an.(1)Sn2n23n；(2)Sn3n1.自主解答(1)由题可知，当n1时，a1S1212315，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1.当n1时，4115a1，故an4n1.(2)当n1时，a1S1314，当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，故an由题悟法已知数列an的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n1与n2两段来写以题试法2(2012聊城模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，则()A.B.C. D30解析：选D当n2时，anSnSn1，则a5.数列的性质典题导入例3已知数列an的通项公式为ann221n20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？自主解答(1)因为ann221n202，可知对称轴方程为n10.5.又因nN*，故n10或n11时，an有最小值，其最小值为11221112090.(2)设数列的前n项和最小，则有an0，由n221n200，解得1n20，故数列an从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小在本例条件下，设bn，则n为何值时，bn取得最小值？并求出最小值解：bnn21，令f(x)x21(x0)，则f(x)1，由f(x)0解得x2或x2(舍)而425，故当n4时，数列bn单调递减；当n5时，数列bn单调递增而b442112，b552112，所以当n4或n5时，bn取得最小值，最小值为12.由题悟法1数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数anf(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值2前n项和最值的求法(1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若am0，且am10，则Sm最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3(2012江西七校联考)数列an的通项an，则数列an中的最大值是()A3 B19C. D.解析：选Can，由基本不等式得，由于nN*，易知当n9或10时，an最大1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a2等于()A4B2C1 D2解析：选A由题可知Sn2(an1)，所以S1a12(a11)，解得a12.又S2a1a22(a21)，解得a2a124.2按数列的排列规律猜想数列，的第10项是()A BC D解析：选C所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列an的通项公式，an(1)n1，故a10.3数列an的前n项积为n2，那么当n2时，an()A2n1 Bn2C. D.解析：选D设数列an的前n项积为Tn，则Tnn2，当n2时，an.4已知数列an满足a10，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D不确定解析：选B0，则an0，an10，解得n6或n1(舍)故从第7项起各项都是正数11已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.求数列an与bn的通项公式解：当n2时，anSnSn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n，当n1时，a1S14也适合，an的通项公式是an4n(nN*)Tn2bn，当n1时，b12b1，b11.当n2时，bnTnTn1(2bn)(2bn1)，2bnbn1.数列bn是公比为，首项为1的等比数列bnn1.12(2012福州质检)数列an中，已知a12，an1ancn(nN*，常数c0)，且a1，a2，a3成等比数列(1)求c的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由题知，a12，a22c，a323c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2c)22(23c)，解得c0或c2，又c0，故c2.(2)当n2时，由an1ancn得a2a1c，a3a22c，anan1(n1)c，以上各式相加，得ana112(n1)cc，又a12，c2，故ann2n2(n2)，当n1时，上式也成立，所以数列an的通项公式为ann2n2(nN*)1(2013嘉兴质检)已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，则a10()A64B32C16 D8解析：选B因为an1an2n，所以an1an22n1，两式相除得2.又a1a22，a11，所以a22，则24，即a1025.2数列an中，Sn为an的前n项和，n(an1an)an(nN*)，且a3，则tan S4等于()A B.C D.解析：选B法一：由n(an1an)an得nan1(n1)an，可得3a44a3，已知a3，则a4.又由2a33a2，得a2，由a22a1，得a1，故S4a1a2a3a4，tan S4tan.法二：由n(an1an)an，得nan1(n1)an即，.ann，S4a1a2a3a4(1234)，tan S4tan.3(2012甘肃模拟)已知数列an中，a11，且满足递推关系an1(nN*)(1)当m1时，求数列an的通项公式an；(2)当nN*时，数列an满足不等式an1an恒成立，求m的取值范围解：(1)m1，由an1(nN*)，得an12an1，an112(an1)，数列an1是以2为首项，公比也是2的等比数列于是an122n1，an2n1.(2)an1an，而a11，知an1，an，即ma2an，依题意，有m(an1)21恒成立an1，m2213，即满足题意的m的取值范围是3，)1下列说法中，正确的是()A数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列C数列的第k项为1D数列0,2,4,6,8，可记为2n解析：选C数列的通项公式为an1，ak1.故C正确；由数列的定义可知A、B均错；D应记作2(n1)2数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21为()A5 B.C. D.解析：选Ba1a22，a22，a32，a42，知a2n2，a2n12，故S2110a152.3如图关于星星的图案中，第n个图案中星星的个数为an，则数列an的一个通项公式是()Aann2n1 BanCan Dan解析：选C从图中可观察星星的构成规律，n1时，有1个；n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个，故an1234n.4已知数列an中，a13，an1，则其通项公式为_解析：两边取倒数，得2，故