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1 第五章 大数定律和中心极限定理 2 5 1契比雪夫不等式 定理 设随机变量X具有期望E X 及方差D X 则 0 有 或 3 例1已知E X 100 D X 30 试估计X落在 70 130 内的概率 解 P 70 X 130 P X 100 30 由契比雪夫不等式 得 0 967 契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知情况下 事件 X E X 或 X E X 的概率的一种估计方法 4 例2已知某种股票每股价格X的平均值为1元 标准差为0 1元 求a 使股价超过1 a元或低于1 a元的概率小于10 解 由契比雪夫不等式 得 令 a2 0 1 a 0 32 5 设 Xn 为随机变量序列 X为随机变量 若任给 则称 Xn 依概率收敛于X 可记为 一 依概率收敛 第二节大数定律 0 使得 6 如 意思是 当 a 而 意思是 时 Xn落在 内的概率越来越大 当 当 7 5 2大数定律 我们曾经说 频率是概率的反映 随着观察次数的增大 频率将会逐渐稳定到概率 这里是指试验的次数无限增大时 在某种收敛意义下逼近某一定数 这就是所谓大数定律 8 契比雪夫大数定律 设随机变量X1 X2 Xn 相互独立 且分别具有期望E Xk 和方差D Xk k 1 2 若方差有界 则 0 有 9 由契比雪夫不等式 得 n 1 表明 算术平均值依概率收敛于数学期望 10 5 3中心极限定理 在一定条件下 大量独立随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这一类定理称为中心极限定理 11 的分布函数Fn x 收敛到标准正态分布函数 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1 X2 Xn 相互独立 服从同一分布 且具有期望和方差 E Xk D Xk 2 0 k 1 2 则随机变量 12 即 x R 满足 注意到 13 例如 P a X b 14 例某车间有200台车床 它们独立地工作着 不足而影响生产 以99 9 问 供电所至少要供给这个车间多少电力 才能 开工率各为0 6 开工时耗电各1千瓦 解 设X 正在工作的车床数 耗电数 的概率保证这个车间不会因为供电 15 只要供给这个车间141千瓦电 就可保证因供电 不足而影响生产的可能性小于0 01 16 小结 1 会利用契比雪夫不等式作简单的估计 2 了解契比雪夫大数定律和贝努里大数定律
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