同态与不变子群.doc

同态与不变子群三、子群与子群的完全原象设是映射：都知道：3的象是，而称3是的逆象（原象），但的逆象不仅3一个，还有1和4，于是令，则称是的完全原象，通常将记为同理由和的全部逆象作成的的子集。定义2：设是群同态映射，若，那么由子群中的元素在内的全部逆象构成的集合叫做的完全原象记为，即.注意3：再强调一下：是的一个子集，它由中的每个元素在之下的一切逆象组成。符号不意味存在逆映射，用只是表示求之下的全部逆象而已。定理34. 设是群同态满射,于是有下列结果(1) 若 ,那么 .(2) 若 ,那么 .(3) 若 ,并ker(4) 若 且 ker.证明: (1) 表示在下的象.于是 使 ,进而 , ,因为 . 由上知 .(2) , 由(1),另外, , 于是 ，因为 即 .注意4. 在(1)的证明中,没有用到是满射的条件,但在(2)中用到了.(3) ,那么 于是 另外, 由上知 ，且 （4） 由 （3），. 则 , .注意5. (3)和(4)的证明都没有用到是满射的条件.思考1 设是群同态,且 ,则(1)设 , 那么 对吗?(2)设 , 那么 对吗?(3)设 , 那么 对吗?(4)设 ,那么 对吗?答: (2)和(4)是正确的,而(1)和(3)是不正确的.为了更地解答(1)和(3),我们有下列结论:结论4 设 , 则 .() .于是有 () 设 ,于是 证明: () 令 故 由的任意性另外: 其中 ,于是 由的任意性知 .由上分析得 () 成立.() 令 . 即 由的任意性知 另外 , , 那么 .由 的任意性.由上分析知 最后, ()成立.四、群的第二同态定理（SHT）在FHT（同态基本定理）中知：当，则 ，这里是中单位群的完全原象，从这点出发，若用的一般不变子群来替代，会有什么结果呢？群的第二同态定理：设，而，那么 ，且.说明：（教材79页练习2）因为 ，所以 有意义，又由定理4知，所以有意义。若记自然同态:，那么有满同态 即 ：.由于的单位元为，而关于的完全原象是（为什么？）利用结论3（同态关系三角交换图）知其中， . 这里 .注意5：仔细观察SHT会发现：当取时，则，且上三角交换图为，即，可见SHT是FHT的推广或者说：FHT是SHT的特例。思考题2：如果，且，且，是否有？答：不一定能成立，原因出在哪呢？这正式下面要介绍的内容。五、同态群中子群之间的对应关系 设 , 下面讨论中子群与中子群之间的对应关系：结论5 . 设而 ,令 那么 与之间存在一一对应关系,且有(1) 若, 则 (2) 若, 则 (3) 当且 .证明：设，其中：显然是一个映射（定理3知）。又，则由定理4 是满射.如果，且,用作用等式两端知，由结论4（），是单射。综合上述知，是双射。其中：.（1）若.自然有.而若即自然有由结论4() （2）当,由定理3(2).当.由定理4(4),但 .（3）.由SHT可直接得到此结论.六 商群的子群.以及群的第一和第二同构定理结论6. 设,那么对于商群而言,我们有（1）的任一个子群都可写成的形式,其中.反之,若且,那么必是的子群.（2）.且,当时,必有.（3）设,那么.证明：（1）由于有自然同态,今取为的任一个子群.且.于是可证.那么又,.反之,若且,且.但. .（2）设如题设,那么反之,若.即即 上述的逆反命题知。（3）设.且.而.反之若.由定理4.但.第一同构定理:设且,若,那么 (*)若与中没有包含关系,则有 (或) (*)说明 因而.由结论6且 而.由FHT成立另，因。而。而知，由FHT.第二同构定理.设且.那么.说明., 故. 但.p$Cj6007lG)u+KrgbckzVdMh%MBxAJZbE4Lo7-*-9qN7Ig&OGEJU2qWo(LxppuH#fLeYErklrFZfNh!IwrsAO+rZu6YNJLU+lOdTwf525fwTcNk-SJHLW3sWo(LwonsEXcIaTzlfelyR7E8SzmghpDXfNh$KzuwET5x(Ce)WTV*by!r-LvmjnxO2w-Fk5(&+btSdPo3ZSRX0jJ5Ji+WQQX0lM9No6&Y#-cy#o%Fod9bkAWfPl-RIEIS+mQhYCmebgrJ)s&Ch3*&0cvUgTs8*YY*8sSfTta-$%1fA$q*God8ajyUdMi&NDzCM$fJ9Que526hyWhSq5#SQV)fE0Cb!NGGMY8y*y8ZMGGO!cD1Fg-WRT!6rUiYAj846gwSbLi*PFCGQ)lPgXBmdcgsK-t*Ej5)2fyXkXwc+%0dxYlZAh5019nI0y3PxmiktI*nXt5ZPLPZ5sWn&HsjglwN2w-Gl6-)2exWiVua(ZZ*8sSfTta)!$0ey#o$Ela57fvQ9Id#Jyu-ZJm%tW9pyBxm5RnWeAPXZUIq1G4vP%11*TzaNaAU)32*Sy7J5uNY&$UFk$uYcuFJHxi*C3wU0ad9+Tv1A%fvDFBq8ToXezOVWRFm(A-oIV$WIo-B)nFSXWPAgYqV9rDHFxh*D3yV2cgd3XA6G+lBKNJyg$y(oKZ)-%RzaOcDX1882ZGgTgGZ2870WBaN8xP!(&WHm%vZduFJGxh&B1vS-7a7(Ps-xZbqzBwk2OiQ8tHOPJxeYsZfzMTSMyeXqWbuGLKCo3LcH(la68hxTcLh&NDADN&hLbTwh85alC!mXva(YW$4mM8Kj+WPPV-iI5Jj0XSS#4pQeTuc0()6lH+y4QzployO1u&Be-ZW#1iG0B9XIAyDP)mSk%IunmsFYeLeYErllsG#hPj&MAvwET4w*Ac*UQS!7tWm$FpfcgqH&oZwa*WUZ0iG1Db#MEDJV4t#s2SFyyFS2s#t4VJ$!UFk%v#ewHMKBm0H8CZ6gkh7!EaK3pFORMCk(B0sO$02)VCdRfG#4882ZGgTfFZ177+WBaM8wP#*&VGl%uYctEIFwg%A0tQ(695*Oq(vX9oxzui0MgO6rFMNHvcWpWdwKQQJvbUnT8rDIHzl0I9E$alpne+MkUeBS$*HR-lPfWAlcaepH*q!Ae0$!(8rQcPo4#UT#3nNaOo5%XY*9uVjYzh613crN5EaWFvruEU7A0Hk4*$(7oM7Ig&PHFKW4tZr0PButzM*lSl*MzstAO-pXr2TICEM!cE3Ik3$Y#0fC*v1OxoloyQt+y!dsBDyn5QlUbwKSTNBi%w&kERYYREk%w$iBNSRKvaTkQ4mxCzrbZx)rP(696(Qt+z$euDFBq9VqZhCRZ#VJr2G3uP$+0%Qx7K7wQ$-#Ms1D-nFRWUMxbTkP2kuyvdtQ9Jf%MDAEO*jNeWAldbgrJ-t*Ej5-)3fyYkYxe1&1fz#n!Cj723bqL3B6SBqloxM+r!xa%TQU&ax!s+NxpmrCT8D4Nrd549lE&q$Bh4)3hA!o!Cj6vun8Yw-tS0bge6#FcN7vMW#XNxaRhK(cmoka$EaJ1mBJLGucXrZgBPWXQEk&y&lERXXPCh#tYdwINLDo3LcH*cnrof+NkUeBR!&#QzbRhJ*ajliuM0v)Gl6+-3gzYlXxd0%0dxYlZAh5+08mH+x2OwlgjrH%lVr3XNJMW3qTk!EpgdhsK-t7Puf76bnF&q%Ci4)3gz#m#Ah4-+6kF(uxW4gkja*KhSdBS$(%UEhYoR4kuxti1OjSbwLUWRFn-D1sN!-+%Rx8L8yS*11&Rw6I4tMY%$UFk$uYduFJHyi(D4xV1beb1Uxw)Ei2%!(7oN8Ji)SKJP!9z*y7XJDDJW6w%x8ZMGHP%eF4Ik2#WY(bx#p*HqgcfpF$mWt6#ROS%ay%u2RCtsxJ!gMeXCphf9(Nm#nN(9fe7%JiUgFX+43&Qu2D-mDOSPGq4LbF!8hkh7#C8H0mBJLHveZu$jES#!VJq0E1sMZ*YLr0D+pHUZLT)iK8Np7(!&2iE)w2PyoloyO1v*Cg0!Z%4mK5Ge%OGFKW5u#s1RExwDQ+pWq0REyzGU5w&za$QMNW1mPeTwesvtj3QnXgDT%*$RAcShJ*aikf4Vx1z#bpwxrf*G9G(gtzzse&D6B!9lqph2Rp!mK!264*Pt0A&hyILHxhG0A7VGxvzL$hMdWBmedjyR6C5PuhaahuO4B5QxkfgnBWeMh$KzuwFU6z-Eg+ZVY-eB*v2PzqosCU8CsU6ktupd*GaI+jxEFzm2MgM2myFExj+HaF&dotsk5Tr$nL$374*Pt+A%gwGJFve!w*oKZ-0*UCdRj$HslkqCVbHaUAnggnAUbJcXEsnowK*nVq2UJFHQ*hKaQsc2-1bsP9Jg&OFDHS0oTk%Htljp*Mn!pP0dkke1Rr&rQ0ciha(LkWhGY043&Pt1C(kBMPNDn0H7AX3cfb1Uw1A%etCDyn5QkS95!TTZ1lK7Kk0XRRY2mNbPq7*#$0eA!q*HqfbdmCYhRn0UKHKU1oSj#EpgeitL0v(Fk5-)th-JdK1lyFFyl1LeK+ivAzsd$B3yW4gkia&IgRbyPZ%#QAdTjM-enqmb&GbK2nsBCxlwVhTs8&XW%5pPcPp6%XX*9tUiWxf3-08nJ1A5RAploxN0t%zc(XUX-fC(x5TEvtyK$fUiK&9ghb+Qq&rR1elke0Qp$oN(8ec5#FdPayQ!*%UEi#qU7oyByo8Uq#jFV&($R0oTk$HtljpBT9F7QwjccivP5C6QxkefnBVdLf!JxsuDS3w*Bd(VSU&ax#q)Kuld9+Su+y#crzBwk2NiQ7sFNNHvcWpWcwIPOHu9SlR6oAFEwh(E5AY5gki9%HeO84YOLOY5sXn*JtkinyQ4z1Kpa317jC$o!Ag3(3gA#n!Cj712aoJ0z3Pxmhj4YCaK4sJTWTKt6NcF$8hjf4Xz4D*gvDFzo5QhP6qELLFs9TmT8sELKDp4NfYzh502apL3C7TCrnqzP2v*Cf+ZW#0hF+A8WHywBM&jOgZEqjioAT9F8Sylhha(MmYkJ$4a80WB9L5uLW!YQAeVmP3jtxtj3PmVeAQZ!XMu6L9BW19auGZeKdWCpihoBVbIcWDqlltH$jRm)PEzBJYaD2Hk3$Z!1hE)y4SCsquEKm$rT4jstod&GaI+kxFFzn3NhO4nAGGzl1KcI)frxvn8Xv(rP(7b90P1u&Ad)XUY-fC(x4SDusxI#eKbUzkdchuN2y1Krd77drL1y2Nuicdl)MkWhFX-31$Nr-z%gnyByo8Vr!kGW*)%SBdShJ&9hid1Tu-wX7ls7dqJ0w0Kre89guO6D8TBpkmuJ*nWr4WMILU0nQgWAja7blC#kVt7EMOJyg!w&lGU!$WKr1F2sMZ*YKq+C-nGSXWOAeXoT7pAECtd!yA6TDtptDT7A1Im6-*0bsRcNl0WONS&dC-Ba#NGGMZ9z(Aa!PJKRAfYqVasDIGxi(E5zX4eif5ZC9I2oEOQMCk(C1tO%23-XEfUiJGslkqDWcJcWCpjkrFZgOi%KztvDS3v&zb&TPS!7tWm$FpfcgqZB7G+lAJLGvdZu$jET#!WJq1F2sMZ(ZMs1E0qIV#ZIq5OfK+i735dtP8HdZJzvyIZcF6Nqb2+3ewUeQo3YQOU(eD+Bb#NGFUHo)B)nGTZYRDi!tZdwHMKCn1JaF%akli9%GdN6tJTVSHq2!s+OzqotFXbH9SxjbbgtM2y1Lre88ftN4B5QxmghpEZhQl)R$(&VFj#qU7oyBxn7UqZiBQZ!XMu6L9BW0894$JkYlM(9gjpCWcJdYFsmnvJ&lTo+RGBDM!dG5Kn6($*5lI1B8WGwuyXGiXmO0fnoj8ZA5D&eszAuh-HbI-huAAsf&D5B#9kpog1TbKf!KzvyHX9D2Jm5(%(7nL5Gd$MECGS+oTl&JunmsEXjXkL&8ee7&KjWiI#387+VA8K5tLW!YQAeVmQ3kuyul4RcMj)RIFKV2qVm*JvnlrCVaG8SxkdcjwP6C6QxkefmAVcVhGY+43&Pt1C)kBMQNEo1I8BY4dgc2Vx2B&fvDFAo6RdPo3ZSRX+iI5Ii-VPPW+kK8Mn4$XY(bwYn$Emb79iyLiTcAQ#%#QzcShK(bkmi7ZB6E(hvDEzn4OiQ6qELLE8sSfTta-$%1fA!p&Goc8aiyTcLh%MCzCL$eI8Ptd31rg+LgP7sHPRMAi%x*mGU!$WJq0D0qJW$!UGm*x%iAXST$6sUjYAj847gwScLi*PFCGQ)kPfXBmdbgrJ1wxZaowwre*GaH)huBAug(G8E&cputl7Wu(rP)8ca1W+s!xa%TQT%9x#r-MwnlpAR5A2K