线性代数课后作业答案(胡觉亮版).doc

第一章1用消元法解下列线性方程组：（1）解 由原方程组得同解方程组得方程组的解为令，得方程组的通解为 ，其中为任意常数2用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：（2）解 ，得行阶梯形：（不唯一）；行最简形：3用初等行变换解下列线性方程组：（1）解 ，得方程组的解为（2）解 ，得方程组无解 第二章1.（2）解 原式（2）2.解 原式3.（2）解 原式（5），其中解 原式4利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）解 原式（3）解 原式 7设，试求和解 ； 8利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）解 经计算，得，所以方程组的解为9试问取何值时，齐次线性方程组有非零解解 方程组有非零解，则又，所以 第三章2设矩阵（1）计算； （2）若满足，求解 （1）；（2）3设有3阶方阵，且，求解 4（5）解 原式（6）解 原式5已知矩阵，求：（1）与； （2）与.解 （1），；（2），8已知矩阵，令，求，其中为正整数解 9若为阶对称矩阵，为阶矩阵，证明为对称矩阵证 因为，所以为对称矩阵10.（2）解 ，又，所以14设阶方阵满足，证明可逆，并求证 由，得，即，所以可逆，且16已知为三阶方阵，且，求：（3）（3），有原式20利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以21设矩阵，利用分块矩阵计算解 将矩阵进行如下分块：，则又，所以22设矩阵，利用分块矩阵计算解 将矩阵进行如下分块：，则，所以24.（2）解 ，所以可逆，且25利用矩阵的初等行变换解下列矩阵方程：（1）解 ，所以26.（2）解 29设是矩阵，且的秩为，而，求解 ，则33试问取何值时，下列非齐次线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解（1）解 方程组的系数行列式当，即且时，方程组有唯一解当时，因为，所以方程组无解当时，因为，所以方程组有无穷多解 第四章2求解下列向量方程：（1），其中解 4.（3）， ，解 因为，所以该向量组线性无关（4）解 因为，所以该向量组线性相关7若向量组由向量组线性表示为试将向量组由向量组表示解 由解得11求下列各向量组的秩及其一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示（1）解 ，所以，本身为一个极大无关组；（2）解 ，所以，为一个极大无关组，且，（3）解 ，所以，为一个极大无关组，且，14设为矩阵，证明：当且仅当证 必要性显然，下证充分性：设为的任一列向量，则，所以由的任意性知19. （2）解 由，得令，得方程组的一个基础解系，通解为，其中为任意常数20.（2）解 方程组的增广矩阵，因为，所以方程组有无穷多解，且令，得通解为其中为任意常数 第五章1. (5)解 的特征多项式，所以的特征值为，当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为（6）解 的特征多项式，所以的特征值为当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为不全为0当时，解特征方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为，全部特征向量为5已知3阶矩阵的特征值为，求及的伴随矩阵的特征值解 令，则的特征值为又，则特征值为9已知，且与相似，求常数解 显然的特征值为与相似，则的特征值为由，解得10已知矩阵与矩阵相似，求常数与解 与相似，则 （1）又，由，得，代入（1）式，得所以11 设矩阵问为何值时，矩阵可相似对角化解 显然的特征值为对，可相似对角化由，得13.（2）解 的特征多项式，则的特征值为当时，解方程组由，得，所以与对角矩阵相似，且令，得属于特征值的线性无关的特征向量为当时，解方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为令，则（3）解 的特征多项式，则的特征值为当时，解方程组由，得，所以与对角矩阵相似，且令，得属于特征值的线性无关的特征向量为当时，解方程组由，得令，得属于特征值的线性无关的特征向量为令，则15设3阶方阵有特征值，对应特征向量依次为，求解 有3个不同的特征值，则能相似对角化令，则，有又，所以21试求一个正交矩阵，使为对角阵：（1）解 的特征多项式，则的特征值为属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得令正交矩阵，则（3）解 的特征多项式，则的特征值为属于特征值的线性无关的特征向量为；正交化，得；单位化，得属于特征值的线性无关的特征向量为；单位化，得令正交矩阵，则22设3阶实对称矩阵的特征值为6、3、3，与特征值6对应的特征向量为，求与特征值3对应的特征向量解 设为属于特征值3的特向量，有，即，其基础解系为 所以属于特征值3的特征向量为，、不全为0 第五章（B）二、计算题：1设，其中为三阶可逆矩阵，求解 又,所以3. 设矩阵（1