山东省沂水县高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面学案【新人教版】.docx

21.1平面学习目标1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系；2.掌握有关平面的三个公理；3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系知识点一平面思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案 没有平行四边形1平面的概念(1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象2平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45，且横边长等于邻边长的2倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面，平面，平面.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线，平面的位置关系可用数字符号“”或“”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号 “”或“”表示点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上Al点A在直线l外Al点A在平面内A点A在平面外A直线l在平面内l直线l在平面外l平面，相交于ll知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在思考2观察下图，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面思考3观察正方体ABCDA1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl确定直线在平面内的依据判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C确定平面的依据判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P且Pl，且Pl判定两平面相交的依据判定点在直线上类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系解在(1)中，l，aA，aB.在(2)中，l，a，b，alP，blP.反思与感悟借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握跟踪训练1若点M在直线a上，a在平面内，则M，a，之间的关系可记为()AMa，a BMa，aCMa，a DMa，a答案B解析点与直线的关系为元素与集合的关系，能用“”，直线与平面的关系为集合间的关系，不能用“”类型二平面性质的应用例2已知：如图所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内证明方法一(纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.又Bl3，Cl3，l3.直线l1、l2、l3在同一平面内方法二(辅助平面法)l1l2A，l1、l2确定一个平面.l2l3B，l2、l3确定一个平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A、B、C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内反思与感悟证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内跟踪训练2已知abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c和l共面证明如图，ab，a与b确定一个平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b与c确定一个平面，同理l.平面与都包含l和b，且blB，由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合，a，b，c和l共面例3已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图所示求证：P、Q、R三点共线证明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上P、Q、R三点共线方法二APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P、Q、R三点共线反思与感悟证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上也可考虑为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法跟踪训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点求证：CE、D1F、DA三线交于一点证明如图，连接EF，D1C，A1B.E为AB的中点，F为AA1的中点，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F，D1，C四点共面，D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD.P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又平面A1D1DA平面ABCDDA，根据公理3，可得PDA，即CE、D1F、DA相交于一点.1若A平面，B平面，C直线AB，则()AC BCCAB DABC答案A解析因为A平面，B平面，所以AB.又因为C直线AB，所以C.2下列说法正确的是()A三点可以确定一个平面B一条直线和一个点可以确定一个平面C四边形是平面图形D两条相交直线可以确定一个平面答案D解析A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面；B中，这一点在直线上不能确定一个平面；空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错. 3把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上(1)A，a_.(2)a，P且P_.(3)a，aA_.(4)a，c，b，abcO_.答案(1)C(2)D(3)A(4)B4空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是_答案1或35.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_答案P直线DE解析因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.1三个公理的作用：公理1判定直线在平面内的依据；公理2判定点共面、线共面的依据；公理3判定点共线、线共点的依据2证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上3证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用4证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线一、选择题1如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是()AA，B，C，D四点中必有三点共线BA，B，C，D四点中不存在三点共线C直线AB与CD相交D直线AB与CD平行答案B解析两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面2下列命题中正确的是()A空间三点可以确定一个平面B三角形一定是平面图形C若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合D四条边都相等的四边形是平面图形答案B解析共线的三点不能确定一个平面，故A错；两个平面有公共点，这两个平面可以是相交的，故C错；四边都相等的四边形可以是空间四边形3.如图所示，用符号语言可表示为()Am，n，mnABm，n，mnACm，n，Am，AnDm，n，Am，An答案A解析很明显，与交于m，n在内，m与n交于A，故选A.4已知平面与平面、都相交，则这三个平面可能的交线有()A1条或2条 B2条或3条C1条或3条 D1条或2条或3条答案D解析当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面和平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线5空间不共线的四点，可以确定平面的个数是()A0 B1C1或4 D无法确定答案C解析空间不共线四点可以确定的平面个数可以是1或4，它取决于四个点的相互位置关系6空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点()A共面 B不一定共面C不共面 D以上都不对答案B解析本题容易错选A.认为A，B，C，D，E在B，C，D三点所确定的平面内，没有考虑B，C，D是否能确定一个平面B，C，D三点可能共线若A，E两点所在直线与B，C，D三点所在直线不平行且没有交点，则有A，B，C，D，E五点不共面7.如图，平面l，A，B，C且Cl，ABlR，设过A，B，C三点的平面为平面，则是()A直线ACB直线BCC直线CRD以上都不对答案C解析由C，R是平面和的两个公共点，可知CR.二、填空题8给出以下命题：和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；三条两两相交的直线在同一平面内；有三个不同公共点的两个平面重合；两两平行的三条直线确定三个平面其中正确的个数是_答案0解析命题错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题错，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱命题错，这三个不同公共点可能在它们的公共交线上命题错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内所以正确命题的个数为0.9已知m，a，b，abA，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为_答案Am解析因为Aa，所以A，同理A，又m，故A在与的交线m上10已知、为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA；A、B、M，A、B、M，且A、B、M不共线、重合答案解析A，A，A.由公理可知为经过A的一条直线而不是A.故A的写法错误11已知A，B，若Al，Bl，那么直线l与平面有_个公共点答案112.如图所示，A、B、C、D为不共面的四点，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上(1)如果EHFGP，那么点P在_上；(2)如果EFGHQ，那么点Q在_上答案(1)BD所在的直线(2)AC所在的直线解析由公理3易得三、解答题13已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面证明(1)无三线共点情况，如图.设adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS.因为adM，所以a，d可确定一个平面.因为Nd，Qa，所以N，Q.所以NQ，即b.同理c，所以a，b，c，d共面(2)有三线共点的情况，如图.设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且Ka.因为Ka，所以K和a确定一个平面，设为.因为Na，a，所以N，所以NK，即b.同理c，d，所以a，b，c，d共面由(1)(2)知a，b，c，d共面14在四面体ABCD中，E，G