圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况vvr绳rr杆ov0图1图2图3临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v 临界rg能过最高点的条件：vrg ，当 vrg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：v v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点v 临界 0，此时支持力n mg当 0 vrg 时， n 为支持力，有0 n mg，且 n 随 v 的增大而减小当 vrg 时， n 0当 vrg ， n为拉力，有n 0，n随 v 的增大而增大例 1（99 年高考题）如图4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过o的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）ba、a 处为拉力， b 处为拉力b、a 处为拉力， b 处为推力oc、a 处为推力， b 处为拉力d、a 处为推力， b 处为推力a精品资料图4例 2长度为 l0.5m 的轻质细杆oa， a 端有一质量为m 3.0kg 的小球，如图5 所示， 小球以 o点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m s ，g2取 10m s ，则此时细杆oa受到（）maa、 6.0n 的拉力b、6.0n 的压力lc、 24n 的拉力d、24n 的压力o例 3长 l 0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于o图5点，上端连接着一个质量m 2kg 的小球 a，a 绕 o点做圆周运动（同图 5），在 a 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：当 a 的速率 v 1 1ms 时当 a 的速率 v 2 4ms 时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时， 物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。精品资料例 4如图 6 所示，两绳系一质量为m 0.1kg 的小球，上面绳长 l 2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30与 45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad s 时，上、下两绳拉力分别为多大？a30b45c图62例 5如图 7 所示， 细绳一端系着质量m 0.6kg的物体， 静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m0.3kg的物体， m的中与圆孔距离为0.2m，并知 m和水平面的最大静摩擦力为2n。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m会处于静止状态？ （g 10m s ）说明： 一般求解“在 什么范围 内”这一类的问题就是要分析两个临界状态 。mrom图73、巩固练习1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m s 时，车对桥的压力为车重的34 。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为（）a、15 m sb、20 m sc、25 m sd、30m s2、如图 8 所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到ro转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的倍。求： g当转盘角速度1当转盘角速度22r时，细绳的拉力t1。图83 g2r时，细绳的拉力t2。三、小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。答案例 1 分析：答案a是正确的，只要小球在最高点b 的速度大于gl ，其中 l 是杆的长；答案b 也是正确的，此时小球的速度有0vgl ；答案 c、d 肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。例 2 解法：小球在a 点的速度大于gl 时，杆受到拉力，小于gl 时，杆受压力。v0 =gl 10 0.5 m s5 m s由于 v 2.0 m s5 m s，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。小球受重力mg和细杆的支持力n2v由牛顿第二定律mgnm lnmgm2vl 6.0n故应选b。例 3解法一：（同上例）小球的速度大于5 ms 时受拉力，小于5 ms 时受压力。当 v1 1m s5 ms 时，小球受向下的重力mg和向上的支持力nn2v由牛顿第二定律mgnm lnmgm即杆受小球的压力16n。2vl 16nmg当 v2 4m s5 ms 时，小球受向下的重力mg和向下的拉力fv2由牛顿第二定律mgfm lmgfm2vl mg 44nf即杆受小球的拉力44n。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球a，则小球的受力就是上面解法中的的情形。2v由牛顿第二定律mgfm l2v得到fm（ l g）当 v 11ms 时， f1 16nf1 为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。当 v 24ms 时， f2 44n。f2 为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例 4 解析：当角速度很小时，ac和 bc与轴的夹角都很小，bc并不张紧。当逐渐增大到30 时 ， bc才被拉直（这是一个临界状态），但 bc绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为1 ，则有：taccos30 mgac1t sin30 m 2lsin30 将已知条件代入上式解得 1 2.4 rad s当角速度继续增大时tac 减小， tbc增大。设角速度达到2 时， tac 0（这又是一个临界状态） ，则有：tbccos45 mgbc2t sin45 m 2 lsin30 将已知条件代入上式解得 2 3.16 rad sbc所以当满足 2.4 rads 3.16 rad s，ac、bc两绳始终张紧。本题所给条件 3 rad s，此时两绳拉力tac 、tbc都存在。act sin30 tsin45 m2 lsin30 mromtaccos30 tbccos45 mg将数据代入上面两式解得tac0.27n ，tbc1.09n注意： 解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果 2.4 rad s 时， tbc 0， ac与轴的夹角小于30。如果 3.16rad s 时， tac0，bc与轴的夹角大于45例 5 解析：要使m静止， m也应与平面相对静止。而m与平面静止时有两个临界状态：当为所求范围最小值时，m 有向着圆心运动的趋势，水平面对m 的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2n。此时，对 m运用牛顿第二定律。2有tf