第二节-中心极限定理要点.ppt

1 中心极限定理的客观背景 在实际问题中 常常需要考虑许多随机因素所产生总影响 例如 炮弹射击的落点与目标的偏差 就受着许多随机因素的影响 5 2中心极限定理 空气阻力所产生的误差 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响 如瞄准时的误差 炮弹或炮身结构所引起的误差等等 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后 人们发现 正态分布在自然界中极为常见 观察表明 客观实际中 许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成 每一个微小因素 在总的影响中所起的作用是很小的 但总起来 却对总和有显著影响 这种随机变量往往近似地服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题 当n无限增大时 这个和的极限分布是什么呢 在什么条件下极限分布会是正态的呢 由于无穷个随机变量之和可能趋于 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限 的分布函数的极限 考虑 概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1 X2 Xn相互独立 服从同一分布 且有有限的数学期望和方差 则随机变量的分布函数满足如下极限式 注 即n足够大时 Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数 记 近似 近似服从 定理的应用 对于独立的随机变量序列 不管服从什么分布 只要它们是同分布 且有有限的数学期望和方差 那么 当n充分大时 这些随机变量之和近似地服从正态分布 下面我们举例说明中心极限定理的应用 从演示不难看到中心极限定理的客观背景 例1一部件包括10部分 每部分的长度是一个随机变量 相互独立 且具有同一分布 其数学期望是2mm 均方差是0 05mm 规定总长度为20 0 1mm时产品合格 试求产品合格的概率 解设部件的总长度为X 每部分的长度为Xi i 1 2 10 则 由定理可知 X近似地服从正态分布 即 续解则产品合格的概率为 棣莫弗 拉普拉斯中心极限定理 DeMoivre Laplace 设Yn B n p 0 p 1 n 1 2 则对任一实数x 有 即对任意的a b Yn N np np 1 p 近似 正态分布的概率密度的图形 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0 1分布的随机变量之和 下面是当x B 20 0 5 时 x的概率分布图 Poisson分布相当于二项分布中p很小n很大的分布 因此 参数l np当很大时也相当于n特别大 这个时候Poisson分布也近似服从正态分布 下面是l 30时的Poisson概率分布图 例2设有一大批种子 其中良种占1 6 试估计在任选的6000粒种子中 良种所占比例与1 6比较上下不超过1 的概率 解设X表示6000粒种子中的良种数 则 X B 6000 1 6 比较几个近似计算的结果 用中心极限定理 用二项分布 精确结果 用Poisson分布 用Chebyshev不等式 例3对敌人的防御工事用炮火进行100次轰击 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布 其数学期望为2 均方差为1 5 如果各次轰击命中的炮弹数是相互独立的 求100次轰击 1 至少命中180发炮弹的概率 2 命中的炮弹数不到200发的概率 解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数 相互独立 设X表示100次轰击命中的炮弹数 则 1 2 例4售报员在报摊上卖报 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1 3 令X是出售了100份报时过路人的数目 求P 280 X 320 解令Xi为售出了第i 1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数 i 1 2 100 几何分布 相互独立 中心极限定理的意义 在实际问题中 若某随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果 每一个因素在总的影响中的作用都很微小 则综合作用的结果服从正态分布 练习 设 相互独立且都服从参数为的泊松分 布 则下列选项中成立的是 C 这一讲我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中 我们还将经常用到中心极限