含参数函数分类讨论问题的讨论点.doc

含参数函数分类讨论问题的讨论点汤 威 【摘 要】本文分析了含参数函数的常见讨论点，并通过分析例题，阐述如何根据讨论点展开分类讨论.通过分析近几年高考题，可以发现高考题非常重视考查分类讨论的数学思想，而分类讨论思想的考查往往在函数题中得到体现.含参数函数分类讨论问题常常含有若干讨论点，讨论也就需要进行二级讨论、三级讨论.解含参数函数分类讨论问题时应从识别题型开始，逐步探索讨论点，再按讨论点逐级分类讨论，最后进行整合得结论.最后，总结了解决含参数函数分类讨论问题的方法，指出解这类问题的关键在于识别讨论点的组合方式，并按讨论点展开讨论.【关键词】函数，参数，分类讨论，讨论点.纵观近几年高考题可以发现高考非常重视分类讨论思想的考查，而分类讨论思想的考查往往以函数为背景.基本初等函数中，含讨论点最多的是二次函数，其次是一次函数、指数函数、对数函数等.笔者认为要解决好分类讨论的函数问题关键是要找准讨论点，并按讨论点合理分类并展开讨论.函数的分类讨论问题往往含参数，既可以是函数解析式含参数，也可以是区间端点含参数.一次函数，二次函数常见的讨论点有：函数的讨论点为一次项系数含参数，分讨论.函数的讨论点有：二次项系数含参数，分讨论；判别式含参数，分讨论；二次函数零点含参数，分讨论；二次函数图象对称轴含参数，按对称轴相对于给定区间的位置进行讨论（动轴定区间）；二次函数图象对称轴不含参数，而定义域区间端点含参数，按动区间相对于对称轴位置进行讨论（定轴动区间）；对二次函数零点含参数，常对零点是否在定义域内进行讨论.导数是研究函数的重要工具，随着高考对导数的考查不断深入，高考题经常设计成导函数含有含参数的一次函数、二次函数形式，这就需要针对参数进行讨论了.导数工具的引入，大大丰富了函数的考查方式，含参数函数分类讨论问题的设计也更为灵活，既可以利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，又可以利用导数研究函数零点、不等式恒成立、不等式能成立等问题.含参数函数分类讨论问题往往涉及到多个讨论点，讨论也就需要进行二级分类、三级分类，这也一定程度增加了题目难度，更能考查考生的综合能力.本文就以含参数函数分类讨论问题的讨论点为线索研究这些问题，以飨读者.一、对二次项系数含参数与判别式含参数的分类讨论例1（2009年高考广东卷（理）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（I）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（II）如何取值时，函数存在零点，并求出零点解析：（I）略；（II）由（1）知：，令得：，即（1）观察方程（*）有如下特点：方程（*）含两个参数；二次项系数含参数，判别式含参数；（2）题型识别：此题属于函数零点的问题，可以转化为求一元二次方程（*）实根的问题，需要对讨论点二次项系数和判别式进行二级讨论. 当，即时，方程（*）有一解 函数有一零点. 当，即时，方程（*） （i）若即时，此时函数有一个零点； （ii）若即时，方程（*）有两个不等实根.当或时，方程（*）有两个解 和故函数有两个零点和 （iii）若即时， 当或时，方程（*）无实数解. 故此时函数没有零点.综上所述，当时, 函数有一零点；当时，函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当,或时，函数没有零点.由以上解题过程可知，一级讨论点是二次项系数，分二次项系数进行讨论，二级讨论点是，分进行讨论.二、对判别式含参数与导函数零点是否在定义域内的分类讨论例2（2007高考山东卷（理）改编）设函数其中，求函数的极值点.解析：由题意知，的定义域为，显然分母.令得： （1）观察方程（*）知：含参数，方程（*）是否有实根呢？当方程（*）有两个不等实根时，实根含参数，它们是否在定义域内呢？（2）题型识别：此题属于求函数的极值点的问题，转化为求一元二次方程（*）实根及讨论根的分布情况的问题，需要对讨论点判别式和方程（*）实根是否在定义域内进行二级讨论. 若，即时，当时， 在单调递增 无极值点. 若，即时，方程（*）的实根为 当时，且在的零点只有 在单调递增 无极值点. 若，即时，方程（*）有两个不等实根，易知，可见，而是否在定义域呢？从而产生了二级讨论点.（i）当，即时，当变化时，变化情况如下表：0极小值由表可知，当时，有一个极小值点；（ii）当，即时，且 当变化时，变化情况如下表：+00+极大值极小值由表可知，当时，有一个极大值点和一个极小值点.综上所述，（1）当时，有一个极小值点；（2）当时，有一个极大值点和一个极小值点.（3）当时，无极值点.由例2不难看出，一级讨论点是，分进行讨论，二级讨论点是是否在定义域内，分进行讨论.三、对二次项系数含参数与导函数零点的大小关系分类讨论例3（2010年高考北京卷（理）已知函数.()当时，求曲线在点(1，)处的切线方程；()求的单调区间.解析：（I）（略）（II）的定义域为，.易知，令得，（1）观察方程（*）知：二次项系数含参数；方程（*）的一个根为，另一个实根含参数.（2）题型识别：此题属于求含参数函数的单调区间的问题，关键是确定导函数零点即方程（*）实根的分布情况. 此题需要对讨论点二次项系数和方程（*）的实根的大小关系进行分类讨论. 若时， 当时， 当时，故的单调增区间为，单调减区间为. 若时，方程（*）的实根为或，（含参数，应对的大小关系讨论）.（i）当，即时，当时，当时， 当时， 故的单调增区间为和，单调减区间为.(ii)当，即时，当时，且的零点只有一个故的单调增区间为.（iii）当，即时，当时， 当时， 当时，故的单调增区间为和，单调减区间为.由解题过程可知，一级讨论点是二次项系数（），分进行讨论，二级讨论点是方程的大小关系，分进行讨论.从以上诸例不难看出，解决含参数的函数问题时，只要把握好基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点.分类讨论的一般流程为：发现讨论的诱因找到讨论点探寻讨论的标准展开讨论整合得结论从高考题的特点来看，含参数函数分类讨论问题往往是含有若干讨论点的组合，以上诸例仅仅是讨论点的几种常见组合方式，讨论点的组合方式还有很多，由于篇幅限制，不再赘述.解含参数函数分类讨论问题时应从识别题型开始，逐步探索讨论点，再按讨论点逐级分类讨论，最后进行整合得结论.笔者认为要解决好含参数函数的分类讨论问题，就必须先熟悉含参数函数常见的讨论点，再通过训练，熟悉常见的讨论点组合方式和讨论的展开过程，从而在解题时迅速识别讨论点，并熟练地展开讨论.参考文献1陈世明.含参数导数问题的三个基本讨论点J.中学数学研究.2009年第6期.2秦振，秦