圆综合的八大模型

圆综合的八大模型 圆的证明与计算 专题训练 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题 此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响 所以解决好此题比较关键 一 考题形式分析 主要以解答题的形式出现 第1问主要是判定切线 第2问主要是与圆有关的计算 求线段长 或面积 求线段比 求角度的三角函数值 实质还是求线段比 模型一 从圆外作圆的两条切线问题 例1 2012 襄阳 如图 PB为 O的切线 B为切点 直线PO交 于点E F 过点B作PO的垂线BA 垂足为点D 交 O于点A 延长AO与 O交于点C 连接BC AF 1 求证 直线PA为 O的切线 2 试探究线段EF OD OP之间的等量关系 并加以证明 3 若BC 6 tan F 求cos ACB的值和线段PE的长 练习1 2011 广安 如图所示 P是 O外一点 PA是 O的切线 A是切点 B是 O上一点 且PA PB 连接AO BO AB 并延长BO与切线PA相交于点Q 1 求证 PB是 O的切线 2 求证 AQ PQ OQ BQ 3 设 AOQ 若 OQ 15 求AB的长 练习2 2013年全国初中数学联合竞赛试题本题满分25分 已知点C在以AB为直径的圆O上 过点B C作圆O的切线 交于点P 连AC 若 求的值 模型二 从圆外作圆的一条切线和一条割线含垂直问题 例2 如图 AB为 O的直径 半径OC AB D为AB延长线上一点 过D作 O的切线 E为切点 连结CE交AB于点F 1 求证 DE DF 2 连结AE 若OF 1 BF 3 求的值 解决问题的思维方法是 练习1 2011四川乐山24 10分 如图 D为O上一点 点C在直径BA的延长线上 且 CDA CBD 1 求证 CD是 O的切线 2 过点B作O的切线交CD的延长线于点E 若BC 6 tan CDA 求BE的长 练习2 如图 AB为 O的直径 C D为 O上的两点 D是弧AC的中点 过D作直线BC的垂线交直线AB于点E F为垂足 1 求证 EF为 O的切线 2 若AC 6 BD 5 求sinE的值 模型三 过直径的端点作圆的两条切线问题 例3 2011山东潍坊 23 11分 如图 AB是半圆O的直径 AB 2 射线AM BN为半圆的切线 在AM上取一点D 连接BD交半圆于点C 连接AC 过O点作BC的垂线OE 垂足为点E 与BN相交于点F 过D点做半圆的切线DP 切点为P 与BN相交于点Q 1 求证 ABC OFB 2 当 ABD与 BFO的面积相等时 求BQ的长 3 求证 当D在AM上移动时 A点除外 点Q始终是线段BF的中点 解决问题的思维方法是 练习1 2011四川绵阳22 12 如图 在梯形ABCD中 AB CD BAD 90 以AD为直径的半圆O与BC相切 1 求证 OB丄OC 2 若AD 12 BCD 60 O1与半 O外切 并与BC CD相切 求 O1的面积 练习2 如图 AB是 O的直径 BC AB 过点C作 O的切线CE 点D是CE延长线上一点 连结AD 且AD BC CD 1 求证 AD是 O的切线 2 设OE交AC于F 若OF 3 EF 2 求线段BC的长 模型四 以等腰三角形的一腰为直径作圆的问题 例4 如图 ABC中 AB AC 以AC为直径的 O与AB相交于点E 点F是BE的中点 1 求证 DF是 O的切线 2 若AE 14 BC 12 求BF的长 解决问题的思维方法是 练习1 2011贵州安顺 26 12分 已知 如图 在 ABC中 BC AC 以BC为直径的 O与边AB相交于点D DE AC 垂足为点E 求证 点D是AB的中点 判断DE与 O的位置关系 并证明你的结论 若 O的直径为18 cosB 求DE的长 练习2 2012 肇庆 如图 在 ABC中 AB AC 以AB为直径的 O交AC于点E 交BC于点D 连接BE AD交于点P 求证 1 D是BC的中点 2 BEC ADC 3 AB CE 2DP AD 练习3 如图 等腰 ABC中 AB AC 以AB为直径作 O交BC于点D DE AC于E 1 求证 DE为 O的切线 2 若BC AE 1 求的值 模型五 过直径的端点作一条或两条垂线于圆的切线问题 例5 2012 西宁 如图 1 AB为 O的直径 C为 O上一点 若直线CD与 O相切于点C AD CD 垂足为D 1 求证 ADC ACB 2 如果把直线CD向下平行移动 如图 2 直线CD交 O于C G两点 若题目中的其他条件不变 且AG 4 BG 3 求tan DAC的值 练习1 2011安徽芜湖 23 12分 如图 已知直线交 O于A B两点 AE是 O的直径 点C为 O上一点 且AC平分 PAE 过C作 垂足为D 1 求证 CD为 O的切线 2 若DC DA 6 O的直径为10 求AB的长度 练习2 直角梯形ABCD中 BCD 90 AB AD BC AB为直径的圆交BC于E 连OC BD交于F 求证 CD为 O的切线 若 求的值 模型六 和切线平行的弦的问题 例6 2011浙江义乌 21 8分 如图 已知 O的直径AB与弦CD互相垂直 垂足为点E O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F 且AD 3 cos BCD 1 求证 CD BF 2 求 O的半径 3 求弦CD的长 练习 2011山东菏泽 18 10分 如图 BD为 O的直径 AB AC AD交BC于点E AE 2 ED 4 求证 1 ABE ADB 2 求AB的长 3 延长DB到F 使得BF BO 连接FA 试判断直线FA与 O的位置关系 并说明理由 模型七 过弧的中点的半径垂直于弦的问题 例7 ABP中 ABP 90 以AB为直径作 O交AP于C点 弧 过C作AF的垂线 垂足为M MC的延长线交BP于D 1 求证 CD为 O的切线 2 连BF交AP于E 若BE 6 EF 2 求的值 练习1 如图 AB是 O上的直径 E是弧BC的中点 OE交弦BC于点D 过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F ADO B 1 求证 CF为 O的切线 2 求sin BAD的值 练习2 2009调考 如图 已知 ABC中 以边BC为直径的 O与边AB交于点D 点E是弧BD的中点 AF为 ABC的角平分线 且AF EC 1 求证 AC与 O相切 2 若AC 6 BC 8 求EC的长 模型八 综合性的问题 例8 2012 十堰 如图1 O是 ABC的外接圆 AB是直径 OD AC 且 CBD BAC OD交 O于点E 1 求证 BD是 O的切线 2 若点E为线段OD的中点 证明 以O A C E为顶点的四边形是菱形 3 作CF AB于点F 连接AD交CF于点G 如图2 求的值 练习1 2011 桂林 如图 在锐角 ABC中 AC是最短边 以AC中点O为圆心 AC长为半径作 O 交BC于E 过O作OD BC交 O于D 连接AE AD DC 1 求证 D是弧AE的中点 2 求证 DAO B BAD 3 若 且AC