《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座 第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题.doc

普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座35）曲线方程及圆锥曲线的综合问题一课标要求：1由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；2通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想；3了解圆锥曲线的简单应用。二命题走向近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主。1求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；2与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。预测07年高考：1出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；2可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问。三要点精讲1曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线Cf(x，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。四典例解析题型1：求轨迹方程例1（1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆方程分别配方得：，当与相切时，有 当与相切时，有 将两式的两边分别相加，得，即 移项再两边分别平方得： 两边再平方得：，整理得，所以，动圆圆心的轨迹方程是，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程，由以上方程知，动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为、，长轴长等于的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，圆心轨迹方程为。（2）如图，设点坐标各为，在已知双曲线方程中，已知双曲线两焦点为，存在，由三角形重心坐标公式有，即 。，。已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有即所求重心的轨迹方程为：。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例2（2001上海，3）设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 。解析：（1）答案：x24y21设P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy04y21x24y21 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3（1）设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则F1AB的面积最大为（ ） A. B. C. D. （2）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（ ） A. B. C. 2D. （3）已知A（3，2）、B（4，0），P是椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为（ ） A. 10B. C. D. 解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则F1OB的面积为F1AB面积的一半。又，F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以F1OB的面积最大值为。所以F1AB的面积最大值为cb。点评：抓住F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：， 又，所以，从而 由双曲线的第二定义可得， 所以。又，从而。故选B。点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。（3）解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知： ， 所以。 由平面几何知识，即，而， 所以。点评：由PAF成立的条件，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出这一关键结论。例4（1）（06全国1文，21）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.求该椭圆的标准方程；若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。()求椭圆的方程；()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当AOB面积取得最大值时，求直线l的方程。解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则 |PQ|=，又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2(1y2)， |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2， =(1a2)(y )2+1+a2 。因为|y|1,a1, 若a, 则|1, 当y=时, |PQ|取最大值，若1a,则当y=1时, |PQ|取最大值2。（2）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1， 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为。设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得，线段PA中点M的轨迹方程是。当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1。当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,)，则,又点A到直线BC的距离d=，ABC的面积SABC=。于是SABC=。由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立。SABC的最大值是。（3）解：设椭圆方程为（）由已知得所求椭圆方程为。（）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：，由直线与椭圆相交于A、B两点，解得。又由韦达定理得，。原点到直线的距离。.解法1：对两边平方整理得：（*），整理得：。又， ，从而的最大值为，此时代入方程（*）得，。所以，所求直线方程为：。解法2：令，则。当且仅当即时，此时。所以，所求直线方程为解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零。设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法1： =.下同解法一.解法2：。下同解法一。点评：文科06年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题，主要是三角形的面积、弦长问题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。题型3：证明问题和对称问题例5（1）（06浙江理，19）如图，椭圆1（ab0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM=AFT。（2）（06湖北理，20）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。（3）（06上海理，20）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点。求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由解析：（1）（I）过点、的直线方程为因为由题意得有惟一解，即有惟一解，所以 （），故又因为 即 所以 从而得 故所求的椭圆方程为（II）由（I）得 故从而由，解得所以 因为又得因此点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（2）（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.M点在椭圆上，y0（4x02）. 又点M异于顶点A、B，2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x2b0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9。所以所求椭圆的标准方程为点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。设所求双曲线的标准方程为。由题意知，半焦距c1=6，。,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为。点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。题型4：知识交汇题例7（06辽宁,20）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(I) 证明线段是圆的直径;(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。解析：(I)证明1: 整理得: 设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2: 整理得: .(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得: 点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3: 整理得: (1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得.解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则又因当时,d有最小值,由题设得.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。例8（06重庆文，22）如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线角抛物线于另一点。（）试证：；（）取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点。试证：；证明：（）对任意固定的因为焦点F（0,1），所以可设直线的方程为将它与抛物线方程联立得: ,由一元二次方程根与系数的关系得（）对任意固定的利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率故在处的切线的方程为：，类似地，可求得在处的切线的方程为：，由得：，将代入并注意得交点的坐标为由两点间的距离公式得：现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：点评：该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。五思维总结1注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质；2复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点P（x，y）的纵坐标y和横坐标x之间的关系式，即f（x，y）=0为曲线方程，同时还要注意曲线上点具有条件，确定x，y的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练。3重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量。用好函数思想方法对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效。掌握坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练。对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决。参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果。转化思想解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的。除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视。普通高中课程标准实验教科书数学 人教版 高三新数学第一轮复习教案（讲座6）函数与方程一课标要求：1结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。预计2008年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：若=，则就是函数的零点；若，则令=（此时零点）；若0，f(x)在区间p，q上的最大值M，最小值m，令x0= (p+q)。若p，则f(p)=m，f(q)=M；若px0，则f()=m，f(q)=M；若x0q，则f(p)=M，f()=m；若q，则f(p)=M，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0；二次方程f(x)=0的两根都大于r 二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。四典例解析题型1：方程的根与函数零点例1（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解析：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象(如图)。它们的交点横坐标，显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较与2的大小。当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，从而判定(2，3)，故本题应选C。（2）原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时，原方程无解。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。例2（2005广东19）设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有。（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。解析：由f(2x)=f(2+x),f(7x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(III) 又故f(x)在0,10和10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在2005.0上有400个解,所以函数在2005,2005上有802个解。点评：解题过程注重了函数的数字特征“”，即函数的零点，也就是方程的根。题型2：零点存在性定理例3（2004广东21）设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。解析：（1）函数f(x)=xln(x+m),x(m,+)连续，且当x(m,1m)时,f （x）f(1m)当x(1m, +)时,f （x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方法，f(1m)=1m为极小值，而且对x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故当整数m1时，f(x) 1m0(2)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1m)=1-m1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根。点评：本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例4若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ）A若，不存在实数使得；B若，存在且只存在一个实数使得；C若，有可能存在实数使得； D若，有可能不存在实数使得；解析：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”。点评：该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型3：二分法的概念例5关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A“二分法”求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点；C应用“二分法”求方程的近似解，在a,b内有可能无零点；D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b内的精确解；解析：如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。点评：该题深入解析了二分法的思想方法。例6方程在0，1内的近似解，用“二分法”计算到达到精确度要求。那么所取误差限是（ ）A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005解析：由四舍五入的原则知道，当时，精度达到。此时差限是0.0005，选项为C。点评：该题考察了差限的定义，以及它对精度的影响。题型4：应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例7借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。解析：原方程即。令，用计算器做出如下对应值表x21012f(x)2.58203.0530279181.07944.6974观察上表，可知零点在（1，2）内取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在（1，1.5）内；再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。故结果是1.3。点评：该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。例8借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）。分析：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？略解：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点。点评：第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度1，2011，1.500.51.25，1.500.25如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。题型5：一元二次方程的根与一元二次函数的零点例9设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明。证明：由题意可知，, , 当时，。又, ,综上可知，所给问题获证。点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式。例10已知二次函数，设方程的两个实数根为和. （1）如果，设函数的对称轴为，求证：；（2）如果，求的取值范围.解析：设，则的二根为和。（1）由及，可得 ，即，即两式相加得，所以，；（2）由, 可得 。又，所以同号。 ，等价于或,即 或解之得 或。点评：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。题型6：一元二次函数与一元二次不等式例11设，若，, 试证明：对于任意，有。解析： , , . 当时，当时，综上，问题获证。点评：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用来表示。例12已知二次函数，当时，有，求证：当时，有解析：由题意知：， ， 。由时，有，可得 。 ,。（1）若，则在上单调，故当时， 此时问题获证. （2）若，则当时，又， 此时问题获证。综上可知：当时，有。点评：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数. 确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值。题型7：二次函数的图像与性质例13（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）解析一：由指数函数图象可以看出01.抛物线方程是y=a（x+）2，其顶点坐标为（，），又由01，可得0.观察选择支，可选A。解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=，而10.故选A。点评：本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。例14（2002全国高考题）设aR，函数f(x)=x2+|xa|+1,xR. （1）讨论f(x)的奇偶性（2）求f(x)的最小值.解：（1）显然a=0时，f(x)为偶函数，当a0时，f(a)=a2+1, f(a)=a2+2|a|+1f(a)f(a), f(a)+f(a)0 此时f(x)为非奇非偶函数.（2）首先应先