等波纹滤波器在高斯白噪声去除中的应用.doc

编号： 毕业设计说明书题 目：等波纹数字滤波器的设计及 其在高斯白噪声去除中的应用 学 院： 信息与通信学院 专 业： 通信工程 学生姓名： 韦朝宾 学 号： 1100210327 指导教师： 蒋俊正 职 称： 副教授 题目类型： 理论研究 实验研究 工程设计 工程技术研究 软件开发 2015年 6 月 19 日桂林电子科技大学毕业设计(论文)报告用纸摘 要随着数字全球化时代的到来，数字信号处理技术已广泛应用在我们生活的各个方面，而数字滤波技术在数字信号处理中发挥着及其重要的作用，例如图像处理，语音去噪，医学成像等等。利用数字滤波技术可以从复杂的信号中提取出所需频率的信号，从而抑制其他不需要的信号，起到一种过滤的作用。数字滤波器按照冲激响应类型，分为有限冲激响应数字滤波器FIR和无限冲激响应数字滤波器IIR，这两种数字滤波器是现在的主要发展方向。本文研究的主要内容是等波纹数字滤波器的设计，并利用该滤波器对信号中的高斯白噪声进行去噪处理。等波纹数字滤波器在通带和阻带上均具有等波纹的性质。本文以FIR等波纹低通数字滤波器的设计为例，首先运用凸优化的方法实现该数字滤波器的设计，其次将一段语音进行加噪，即加入一定信噪比的高斯白噪声，然后利用该滤波器对加噪信号进行语音去噪，并和原信号进行对比，在MATLAB上进行仿真。本次运用的凸二次规划算法可以有效的实现等波纹数字滤波器的设计，是一种可行的办法。关键词: 凸优化；语音去噪；等波纹数字滤波器AbstractWith the advent of the digital era of globalization, digital signal processing technology has been widely used in all aspects of our lives, and digital filtering technology in digital signal processing (DSP) plays an important role, such as image processing, speech denoising, medical imaging, and so on. From complex signals using digital filtering technology can extract the frequency of the signal, thus inhibiting other unwanted signals, have the effect of a filter. According to the impulse response digital filter type, divided into finite impulse response digital FIR filter and infinite impulse response digital filter IIR, these two kinds of digital filter is the main development direction.This paper studies the main content is corrugated digital filter design, and use the filter to deal with the noise signal in gaussian white noise. Such as corrugated digital filter in passband and resistance with have the nature of the ripples. In this paper, the design of the corrugated such as FIR low pass digital filter as an example, first using convex optimization method to implement the digital filter design, the second will be a speech and noise, in which a certain signal to noise ratio of gaussian white noise, then use the filter to add noise signal speech denoising, and were compared with the original signal, the simulation in MATLAB. The use of convex quadratic programming algorithm can effectively realize such as corrugated digital filter design, it is a feasible way.Keywords: Convex optimization; Speech denoising; Such as corrugated digital filter目 录引言11 绪论11.1 课题研究的背景和意义11.2 数字滤波器的国内外研究现状21.3 本文的主要结构与要完成的任务21.3.1本文的结构21.3.2要实现的内容22 数字滤波器32.1 数字滤波器原理32.2 数字滤波器的分类52.2.1 IIR数字滤波器52.2.2 FIR数字滤波器72.4 等波纹FIR数字滤波器92.4.1等波纹FIR数字滤波器的原理92.4.2 FIR数字滤波器的设计方法93 凸优化方法介绍113.1 凸优化的基本概念113.2 凸二次规划的简介113.2.1凸二次规划的一般模型113.2.2 QUADPROG函数114 等波纹数字滤波器的设计134.1 设计问题的归结134.1.1确定滤波器性能指标134.1.2设计问题的数学化144.1.3建立设计问题154.2 设计问题的求解154.3 仿真结果及其性能分析165 语音信号的采集及去噪195.1语音信号的采集195.2 语音信号的去噪206 结论21谢 辞23参考文献24附 录25 桂林电子科技大学毕业设计（论文）报告用纸 第26页 共26页引言数字滤波器是数字信号处理技术中的重要组成部分。在许多领域中，我们都可以看到滤波器的身影，比如在通信、图像处理、语音去噪等领域都离不开滤波器。等波纹数字滤波器的幅频响应在通带和阻带上都具有波纹相等的特性以及过渡带陡峭性好的特点，并能够较好的逼近理想滤波器。MATLAB集运算与仿真于一体，拥有强大的工具箱，提供多种函数程序，为等波纹数字滤波器的仿真和设计提供了有利的环境。本次设计在查阅大量相关资料之后，将凸二次规划算法应用到等波纹数字滤波器的设计中，是一种比较可行的滤波器优化设计法，并用该滤波器去除或者抑制语音中夹杂的高斯白噪声，从而实现语音去噪功能。1 绪论本章主要介绍了本次课题研究的背景和意义、滤波器的国内外研究现状以及本文结构与要实现的内容。1.1 课题研究的背景和意义伴随着数字化时代的到来，数字信号处理（DSP: Digital Signal Processing）技术快速发展，已然成为一门重要的学科，并在其他学科中产生重要影响。数字信号处理技术遍布于医学工程、图像处理、语音去噪等众多领域并取得了令人瞩目的进展和成就。而滤波器作为其中的关键部分，滤波器的设计将直接影响数字信号处理技术的发展。因此滤波器性能及设计方法显得异常重要。在数字信号处理中经常会遇到如何将混杂信号中的有用信号提取出来，去除多余信号的问题。数字滤波技术便由此而诞生而，滤波器便是实现这种技术的系统。利用滤波器我们可以很轻松的做到去除或抑制不需要的信号，保留或者是加强所需信号，从而实现过滤的效果。在数字滤波器中，FIR数字滤波器因为其拥有有很好的线性相位特性，稳定性能好，误差小，且其单位冲击响应长度为有限长，在各个方面都得到了广泛的应用，尤其是在语音信号去噪方面。现如今电子设备中处理的信号大多为数字信号，大部分的模拟信号都能进行数字化，从而转化为数字信号来进行处理，这更加体现了数字滤波器的重要性。而且与模拟滤波器相比，数字滤波器不存在模拟滤波器所存在的温度漂移、电压漂移和噪声等缺点，而且还可以设计出某些特殊的滤波器，例如微分器、希尔伯特变换器等。所以，数字滤波器的应用前景更广。滤波器的设计常常用高级语言实现，但是它们都存在编程复杂、难度大、参数不便修改等缺点，而MATLAB为数字滤波器的研究和仿真提供了非常方便的环境。特别是它强大的频谱分析、滤波器分析与设计以及强大的绘图工具，更是为滤波器的设计提供了优越的条件。在MATLAB信号处理工具箱、图像处理工具箱中提供了多种现成的、强大的运算和绘图函数，使得在MATLAB上实现滤波器的设计与优化更加的简便易行。1.2数字滤波器的国内外研究现状信号处理几乎应用于所有工程技术中，信号处理的目的是对信号的频谱进行变换，这其中包括频谱的搬移，部分频谱的去除等。如何将有用信号中的噪声信号进行去除，并将其应用于实际中是信号处理要解决的首要问题，数字滤波器的诞生为解决这一问题提供了有利的工具。虽然从滤波器的诞生到现在才经历了短短的半个世纪，但是它发展迅速，并有成熟的实现技术。从滤波器的诞生到现在，滤波器经历了从模拟滤波器到数字滤波器的发展过程。在我国，滤波器一直被广泛应用，主要应用于语音通话中，经过六七十年的不断努力，我国在数字滤波器的研究方面取得了很大的进步，但是与国外水平相比，我国的研究应用仍有较大的差距。在早前，国外在滤波器的实现方法和逼近方法上就已经取得了重大的成果，例如基于切比雪夫法设计的等波纹数字滤波器具有最佳的逼近。而我们只是在国外技术的基础上进行进一步的研究，并没有形成自己特有的实现方法。而这一任务则落在了我们这一代人的肩上，因此滤波器的研究有着重要的意义。1.3 本文的结构与及要实现的内容1.3.1本文的结构1.绪论。介绍了课题研究的背景和意义、数字滤波器的国内外研究现状、本文结构及要实现的内容。2.数字滤波器。对数字滤波器的原理作了简单的介绍，详细论述了常见两种数字滤波器的原理及其实现的基本结构；简单介绍了等波纹数字滤波器的一些基本知识。3.凸优化方法介绍。详细讲解凸优化的基本知识、凸二次规划的特点和性质，以及MATLAB中QUADPROG函数的使用方法。4.等波纹数字滤波器的设计。本章主要讲解利用凸优化设计等波纹滤波器，分为两大部分：将设计问题归结为凸二次规划问题；利用凸二次规划求出最优解。在MATLAB中仿真和调试，并进行结果的分析。5.语音信号的采集及去噪。介绍在MATLAB中语音信号的采集方法，以及利用所设计的滤波器进行去噪。1.3.2要实现的内容（1）语音信号的数据采集利用waveread函数对语音（可以是歌曲或者录音）进行数字量化，得到采样值和采样频率。（2）语音信号加噪在语音中加入高斯白噪声。（3）等波纹数字滤波器的设计采用优化的设计方法设计滤波器。（4）利用所设计的滤波器对含噪信号进行去噪。（5） 在MATLAB上进行仿真和调试。本次课题的总体设计流程图如下所示：原始语音信号高斯白噪声含有噪声信号频谱分析频谱分析对比等波纹滤波器去噪后语音信号频谱分析语音1语音2语音3对比图1.1总体设计流程图2 数字滤波器所谓的数字滤波器，就是能够实现滤波运算的系统，其输入、输出信号均为数字信号。滤波，就是使输入信号中我们所不需的某些频率成分的信号幅度达到最小，其余频率信号幅度不变，以达到滤除的目的，其实质就是抑制混杂在原信息中的噪声的过程。2.1 数字滤波器原理数字滤波器的工作原理可用图2.1表示， 图2.1 数字滤波器工作原理图由图可知，输出信号可表示为： (2.1)对应的傅里叶变换为： (2.2)其中、和分别为、和的傅里叶变换。若为单位冲激序列，那么系统传输函数可用式(2.3)表示: (2.3)其中，为该数字滤波器的幅频特性，为相频特性。幅频特性表示信号经过数字滤波器后信号的幅度变化情况，相频特性则是反映各频率成份通过数字滤波器后的相移情况。由于数字滤波器对不同频率分量信号的作用不同，而且不同频率分量信号通过数字滤波器后也会产生不相同的相移。因此，幅频特性曲线最能反映数字滤波器的性能。 理想滤波器幅频特性曲线中通带绝对平坦，阻带幅值为零，不存在过渡带，或者说过渡带为零。由于其单位冲激序列的长度为无限长，所以在现实中无法实现的。所以在实际的滤波器当中通带和阻带并不是绝对平坦的，而是有一定的波纹，该波纹的最大值通常称为波纹峰值。而且在通带和阻带之间有一定的间隔，称为过渡带，间隔大小称为过度带宽。滤波器的性能指标就取决于峰值通带波纹，最小阻带衰减，过渡带宽。这里以低通数字滤波器为例，介绍实际的数字滤波器幅频特性曲线，如图2.2所示。 图2.2 数字滤波器的幅频特性图中，称为通带截止频率，称为阻带起始频率，为过渡带宽。在通带范围内，幅度响应误差为，即 ， (2.4)在阻带范围内，幅度响应误差为，即， (2.5)在过渡带范围内有：， (2.6)数字滤波器的指标单位常用dB表示，他们的转换公式为： (2.7)故峰值通带波纹和最小阻带衰减与单位dB之间的转换关系为: dB (2.8) dB (2.9)2.2 数字滤波器的分类 数字滤波器按照对冲激响应的特性可以分为两种常见滤波器：IIR数字滤波器和FIR数字滤波器。单位脉冲响应为无限长序列的数字滤波器称为IIR数字滤波器，单位脉冲响应为有限长序列的数字滤波器称为FIR滤波器。2.2.1 IIR数字滤波器IIR滤波器的系统传输函数为： (2.10)由传输函数可得到系统的差分方程为： (2.11)IIR滤波器的单位抽样响应是无限长的，其系统的传输函数式(2.10)所示，其系统的差分方程如式(2.11)。由差分方程可以看出，由两部分组成，第一部分是一个对输出的延时加权和，一个横向结构网络；第二部分也是一个对输入信号的的延时加权和。由于系统的输出不仅与输入有关，而且输出有关，因此是个反馈网络。IIR滤波器的基本结构形式有：(1)IIR滤波器的直接型结构直接型结构IIR滤波器如图2.3，直接型结构需要个延时寄存器，结构简单明了，是一种比较的直观结构。但是这种结构在实现时需要的寄存器太多，耗费较大，不易节省成本。图2.3直接型(2)IIR滤波器的直接型结构观察直接型结构容易发现，两条延时链中对应的延时单元内容完全相同,可以简化为一条，可得直接II型结构，如图2.4所示。其所需的延时单元为N个，它是直接型结构的一半，从而可节省寄存器或存储单元，减少成本。图2.4直接型(3)IIR滤波器的级联型结构级联型结构IIR滤波器如图2.5，由图我们可以看到，它的每一级子系统都是与滤波器的一对极点和一对零点有关，该结构可以单独调整滤波器的一对零点或者极点，其他零极点不受影响，从而改变滤波器的整体性能，因此这种结构便于性能的调整。但是该结构不能直接调整系统的零点。图2.5级联型(4)IIR滤波器的并联型结构并联型结构IIR滤波器如图2.6，并联结构可以单独调整极点的位置，但是却不能直接控制零点。由于并联型各节的误差互不影响，所以没有累加误差，误差较小。 图2.6并联型 2.2.2 FIR数字滤波器一个长度为N的FIR滤波器，它的系统传输函数一般可以表示为： (2.12)由系统的传输函数可得到系统的差分方程为： (2.13)由此可见，FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的，其系统传递函数如式(2.12)，极点全部在原点。其系统的差分方程如式(2.13)，系统的输出仅与系统的输入有关，不存在反馈。 在实际中，具有线性相位性质的FIR滤波器的应用比较多。由于滤波器的长度一般偶数或者是奇数，且对称冲激响应具有两种形式即和,所以线性相位FIR滤波器传输函数可以分为4种形式。1 型FIR传输函数。其冲激响应具有奇数长度，即滤波器长度为奇数，并且满足。其振幅响应函数为： (2.14)该滤波器在和处有偶数个零点或没有零点。2 型FIR传输函数。其冲激响应具有偶数长度，即滤波器长度为偶数，并且满足。其振幅响应函数为： (2.15)该滤波器在处有偶数个零点或者没有零点，在处有奇数个零点。该类型数字滤波器在总有一个零点，所以不能设计高通滤波器。3 型FIR传输函数。其冲激响应具有奇数长度，即滤波器长度为奇数，并且满足。其振幅响应函数为： (2.16)该滤波器在和处有奇数个零点。由于在和都有零点，所以只能设计带通滤波器。4 型FIR传输函数。其冲激响应具有偶数数长度，即滤波器长度为偶数，并且满足。其振幅响应函数为： (2.17)该滤波器在处有奇数个零点，在处有偶数个零点或者没有零点。由于在处存在一个零点，该类型不能是低通滤波器。FIR滤波器的基本结构形式有： (1)FIR滤波器的直接型结构 由式（2.13）可以看出，FIR滤波器的输出等于输入的延时加权和，是一条输入延时链横向结构，如图2.7所示。该结构可以通过FIR数字滤波器系统的差分方程直接生成，直观的反应了滤波器的输入输出关系。 图2.7 FIR滤波器直接型结构(2)FIR滤波器的级联型结构 将进行因式分解，可得: (2.18) 其中，, 表示的最大整数，其结构图如图2.8所示: 图2.8 FIR滤波器的级联型结构级联型结构将高阶FIR滤波器分成多个低阶FIR滤波器，将复杂问题简单化，将滤波器的结构模块化，其缺点是所需要的乘法器较多。2.4 等波纹FIR数字滤波器等波纹滤波器最明显的特征就是在通带和阻带上的波纹峰值相等，并且具有最小的波纹峰值。一般的FIR数字滤波器的幅度响应在截止频率的两边的震荡现象都很明显.而等波纹FIR数字滤波器在截止频率附近不会出现很大的震荡，并且比较逼近理想滤波器。2.4.1等波纹FIR数字滤波器的原理 通俗的讲，通带上每一点的波纹峰值大小均相等，并且阻带上的每一点的波纹峰值也相等的FIR滤波器称之为等波纹滤波器。对于FIR滤波器的设计，设和分别为所设计滤波器的幅频响应和期望滤波器的幅频响应，对于在通带或者阻带内的每个极值点，等波纹滤波器与理想滤波器的幅度差的绝对值均相等，如下式所示： , 或 (2.19)2.4.2 FIR数字滤波器的设计方法FIR数字滤波器主要有两种设计方法，分别是窗函数法和优化设计法。窗函数法简单易用，但是精度不好，不容易设计出预订截止频率的滤波器，而且难以获得陡峭的过渡带以及较小窗谱的最大旁瓣相对幅度。优化设计法则根据不同需要，选择合适的优化方法，能够很好的逼近理想数字滤波器，弥补了窗函数法不足之处。 (1) 窗函数法所谓窗函数法，是指在对理想数字滤波器的单位抽样响应进行截短时需要采用窗函数。其设计原理是这样的：首先根据相关技术指标得到理想数字滤波器的频率响应；其次，对其进行傅里叶反变换，得到理想数字滤波器的单位抽样响应；然后对理想单位抽样响应进行截短，得到实际数字滤波器的单位抽样响应，为了保证物理的可实现性，一般需要将实际单位抽样响应进行平移；最后，得到所设计的FIR数字滤波器的的单位抽样响应，也就得到了设计的FIR数字滤波器。选择的窗函数应满足以下三个条件：a.窗函数的底面域为R，主瓣宽度应尽量的窄来获得较陡的过渡带；b.能使实际的频率特性尽可能地逼近给定的理想特性，让更多的能量集中于主瓣内； 用窗函数法设计的FIR数字滤波器虽简单，但是它误差较大，并通带边缘的位置也难以控制，而且若使过渡带较窄的话，那么窗函数宽带就要很大，这样增大了计算量。(2)优化设计法优化设计法，就是通过选择一组合适的FIR数字滤波器参数，使所设计出的FIR滤波器具有最优性能指标，也就是使所设计出的滤波器的频率响应最大限度的逼近期望的响应。根据给定的设计要求，FIR数字滤波器的优化设计问题可以通过转换变成数学问题，再选用相应的优化方法，求出最优解即可。在滤波器的优化设计中，首先确定所要求解的滤波器参数，通过性能指标和系统传递函数来建立目标函数，再根据给定的设计要求确定约束条件，最终建立等波纹FIR数字滤波器优化设计的数学模型。最优化理论概述最优化一般是在约束条件下，对目标函数进行最小化。由于其宗旨是追求最优目标，因此，它应用十分广泛，在FIR数字滤波器设计问题中也得到很多的应用。a. 决策变量在一个优化方案中，有许多的参数，根据设计要求，在整个优化过程中保持不变的参数称为常量，在优化过程中根据需要而不断调整和优选的参数称为决策变量。决策变量的个数过多会使优化的难度加大，导致计算量的增加。因此在建立模型时，应尽量的减少决策变量的个数，多设置常量，以达到最优化设计效果。b.目标函数目标函数是指用决策变量来表示优化目标的数学表达式。目标函数的最优值分为最大值和最小值两种，一般将它表示为求极大值和极小值的形式。 c.约束条件约束条件是指对目标函数中的变量进行取值范围的限制，约束条件有等式约束和不等式约束两种，但一般使用的是不等式约束。等波纹FIR数字滤波器优化设计基本步骤 等波纹FIR数字滤波器的优化设计就是函数逼近问题，也就是说，使设计的数字滤波器的频率响应尽可能的逼近所期望的响应，也可以是将相应的误差指标控制在一定的范围内。其步骤如下。 a.确定滤波器性能指标在设计等波纹FIR数字滤波器之前，首先根据实际的语音信号的频谱范围确定通带截止频率和阻带截止平率以及波纹大小。本次课题的技术指标主要是指数字滤波器的频率特性以及等波纹性。性能指标主要要求通带具有平坦性、过渡带具有陡峭性和阻带衰减较大。 b.确定优化方法 技术指标确定后，首先，根据设计的要求，确定设计何种滤波器；其次就是写出数字滤波器的系统传递函数和目标函数，建立优化问题数学模型；然后，根据目标函数和所设计滤波器的要求来选择合适的优化方法。优化方法的好坏将影响到设计出的滤波器的性能指标。因此，这一步是整个课题的核心。 c.软件仿真和性能分析根据数字滤波器的优化方法，利用matlab软件强大的功能进行编程运算和仿真。根据不断调试等波纹FIR数字滤波器的系数所画出的不同图形，分析其性能，选出性能最好的滤波器系数。综上所述，利用优化设计法得到的等波纹FIR数字滤波器既可以得到较好的频率特性和严格的线性相位，又可以在阻带具有等波纹的性质，这是一种较好的设计方法。在同样的过渡带的情况下，与窗函数设计法相比，其通带平坦性很好，过渡带是最陡峭的且其阻带衰减是最大的，具有比较好的滤波特性，并且在阻带上具有等波纹的特性。因此，本次课题选用的是优化设计。3 凸优化方法介绍本章主要介绍了凸优化的一些基本概念、凸二次规划的基本模型以及常用的算法和QUADPROG函数。由于本次课题所得的目标函数是标准的凸二次规划，因此，本课题直接采用MATLAB中QUADPROG函数更加方便、简单。 3.1 凸优化的基本概念凸优化问题的一般形式为 (3.1) 其中，函数为凸函数12。若约束函数和目标函数均为凸函数，那么优化问题就是凸优化，凸优化的最优点是唯一的。3.2 凸二次规划的简介3.2.1凸二次规划的一般模型凸二次规划问题的一般形式为： (3.2) 其中，为的对称矩阵，和为矩阵，为列向量。凸二次规划是最简单的非线性规划问题，它指的是约束条件为线性，目标函数为二次函数的优化问题，它很基础同时也是很重要的一个性质就是任意一个局部最优解同时也是全局最优解14。3.2.2 QUADPROG函数 在MATLAB中，QUADPROG函数常用来求解凸二次规划问题，该函数有多种调用格式，当然，不同的调用格式有不同的语法与功能。因此，要看实际情况，选择合适的调用格式。由于本次课题的目标函数是标准的凸二次规划问题，所以这次课题程序的编写采用的是QUADPROG函数来对目标函数进行求解，下面将详细介绍函数QUADPROG的几种调用格式12。(1)x=quadprog(H,f,A,b):求解带约束和不带约束的凸二次规划问题，并返回极值点；(2)x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq):求解带有等式约束的凸二次规划问题，并返回极值点；(3) x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub):求解带约束和不带约束的凸二次规划问题，并返回极值点，但极值点存在于区间lb，ub之间；(4)x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0):求解给定初始点x0的凸二次规划问题；(5)x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0，options):求解给定了优化选项的凸二次规划问题；(6)x,fval=quadprog(H,f,A,b):输出凸二次规划的极值；(7)x,fval,exitflag=quadprog(H,f,A,b):输出参数exitflag的值，用来描述计算退出的条件；exitflag=1表示求得最优解；exitflag=3表示求得一个解；exitflag=4表示求得的解为局部最优解；exitflag=0表示迭代次数超过最大允许的值；exitflag=-2表示目标函数不存在最优解；exitflag=-3表示目标函数无界；exitflag=-4表示当前的迭代方向不是下降方向；exitflag=-7表示当前的迭代方向幅值太小，迭代无法进行。(8) x,fval,exitflag,output=quadprog(H,f,A,b):输出参数output,其中包含求解过程的信息；(9) x,fval,exitflag,output,lambda=quadprog(H,f,A,b):输出极值点的拉格朗日乘子。 上述函数调用格式中的参数说明见表3.1,output字段说明见表3.2，lambda字段说明见表3.3。 表3.1 QUADPROG参数说明参数说明参数说明H二次项目标函数系数矩阵f一次项系数向量A不等式约束方程系数矩阵b不等式约束方程右端向量Aeq等式约束方程系数矩阵beq等式约束方程右端向量lb自变量的下界ub自变量的上界x0自变量初始点optionsoptions结构 表3.2 output字段说明字段说明字段说明firstorderopt一阶优化的度量algorithm优化算法iterations迭代步数cgiterations总的迭代步数output.message函数退出信息表4.3 lambda字段说明字段说明字段说明upper上界lower下界eqlin线性等式ineqlin线性不等式4 等波纹数字滤波器的设计数字滤波器的设计在数字信号处理技术具有举足轻重的作用，基于凸优化设计的数字滤波器的设计有广泛的应用。本次课题的设计目标是FIR低通数字滤波器在通带和阻带具有等波纹的性质，并且过渡带陡峭性要好。通过使用MATLAB软件仿真，不断调整修改参数，以使滤波器性能达到最优。本章主要介绍了本次课题设计问题的归结、设计问题的求解以及仿真情况和性能分析，这也是本次课题的总体思路。4.1 设计问题的归结 此次设计我们以低通FIR数字滤波器为例，因为高通、帯通、带阻数字滤波器都可以通过低通数字滤波器频谱搬移得到。首先，根据给定数字滤波器的要求，选定数字滤波器的性能指标；其次，将性能指标数学化，把每个性能指标都表示成数字滤波器系数的数学函数形式；然后，建立模型，将设计问题归结为优化问题，运用凸二次规划算法来求解优化问题；最后，在MATLAB软件平台上进行编程实现滤波器的仿真。4.1.1确定滤波器性能指标对于数字滤波器的设计，我们希望设计出的滤波器与理想滤波器有最小的误差，结合本次设计的要求，那么我们就要求所设计的滤波器通带波纹峰值相等、过渡带和阻带能量应尽可能小并且阻带波纹峰值也相等。下面我们考虑凸优化等波纹数字滤波器的频率特性指标,即在一定波纹的条件下求通带平坦性、过渡带陡峭性以及阻带衰减性。FIE滤波器波纹表达式： , (4.1) ,FIR滤波器通带平坦性的表达式为： (4.2) FIR滤波器过渡带能量的表达式为： (4.3) FIR滤波器阻带能量的表达式为： (4.4)4.1.2设计问题的数学化本次设计以1型FIR线性相位数字滤波器为例，则数字滤波器的幅频响应函数为： (4.5)幅频响应可写为： (4.6)其中，;；;由于FIR数字滤波器的通带平坦性、过渡带能量以及阻带能量都是向量的凸二次函数，那么用式子替换后的表达式如下。FIE滤波器通带波纹约束条件为：； (4.7) ； 且 ；FIR滤波器阻带波纹约束条件为： ; (4.8) ; 且； FIR滤波器通带平坦性为： (4.9) 其中，S为通带面积。FIR滤波器过渡带能量为： (4.10) 其中，。FIR滤波器阻带能量为： (4.11)其中，。4.1.3建立设计问题经上述分析，凸优化FIR等波纹数字滤波器的设计可以归结为凸二次规划问题，本次目标函数以过渡带陡峭性为优化目标。所以，此次课题设计，我们的目标函数表达式为： (4.12)约束条件为： , , 以上公式可化简为： (4.13)约束条件为： ； ； ； ；4.2 设计问题的求解由前面对课题的分析结果可知，此次设计我们选择的目标函数为： (4.14) 调用MATLAB软件工具箱中的函数QUADPROG，调用格式为x=quadprog(H,f,A,b,options)，其中，为列数为1，行数与向量相同的零向量，为约束条件左边的系数向量，为约束条件右边的系数向量，即此次凸二次规划问题包含不等式约束条件，x则表示当目标函数最小时的自变量值，即极值点，也就是所求的最小值。值得注意的是，在调用函数QUADPROG时，必须为半正定矩阵，否则，调用此函数会导致病态矩阵问题，将达不到设计的目的。但是在本次课题中，总是正定的，所以，调用函数QUADPROG来求解该目标函数是相当直接、方便的，大大的提高了编程复杂度和运算速率。4.3 仿真结果及其性能分析当滤波器通带截止频率，阻带截止频率，阶数N=32，通带波纹，阻带波纹仿真结果如下图4.1所示：图4.1 滤波器的归一化频率响应 由上图可知，滤波器的通带比较平坦，过渡带比较陡峭，阻带衰减性能也较好，并且在阻带波纹值相等，阻带衰减,此时滤波器的性能较好，比较逼近理想滤波器，达到所需设计的要求。当滤波器通带截止频率时，保持其他参数保持不变，仿真结果如下图4.2所示：图4.2 滤波器的归一化频率响应由上图可知，通带平坦性和阻带衰减性依旧很好，但是阻带衰减却变小了,阻带衰减为,并且在阻带的波纹相等性并不是很好. 当滤波器通带截止频率，阻带截止频率为时，保持其他参数保持不变，仿真结果如下图4.3所示：图4.3 滤波器的归一化频率响应由上图可知，滤波器的过渡带变得更加陡峭，通带平坦性能不变，但是阻带衰减性能都变差，阻带衰减为dB，阻带衰减性能下降。当通带截止频率，阻带截止频率为时，其他参数保持不变，仿真结果如下图4.4所示： 图4.4 滤波器的归一化频率响应 由上图可知，滤波器的过渡带陡峭性变差，通带平坦性能和阻带衰减性能基本保持不变，阻带上的波纹特性也比较好。结论：由上述4个例子的仿真结果分析可知，随着滤波器过渡带宽的减小，阻带衰减性能变差；随着过度带宽的增加，过渡带陡峭性能变差，所以要合理选择过度带宽，不宜过大，也不宜过小，才能获有较好滤波特性的滤波器。当阶数N=40，通带截止频率，阻带截止频率时，仿真结果如下图4.5所示： 图4.5 滤波器的归一化频率响应 由上图可知，当滤波器的阶数变大时，阻带衰减，通带平坦性能较好，阻带衰减也较大，然而过渡带并不陡峭，有峰值出现。当阶数N=24时，其他参数保持不变，仿真结果如下图4.6所示：图4.6滤波器的归一化频率响应 由上图可知，当滤波器的阶数变小时，其阻带衰减，即阻带衰减性能变差，旁瓣电平较大，滤波效果变差，但是通带平坦性能和过渡带性能基本不变。由上述的仿真结果分析可知，本次课题运用凸优化的方法设计等波纹数字滤波器，标准凸二次规划问题在MATLAB软件中可以直接用QUADPROG函数来进行求解。此次设计的目标函数为过渡带的陡峭性，那么在进行仿真分析时，可通过改变该滤波器的过度带宽来调整滤波器各性能指标的平衡关系，以达到过渡带有较好的陡峭性，阻带有最大的衰减。5 语音信号的采集及去噪5.1语音信号的采集现实中，语音信号一般都是模拟信号，若要用该滤波器对语音信号进行处理，需要将语音信号进行采样，才能利用该滤波器进行信号处理。在Matlab软件中，我们可以利用wavread函数对语音信号进行数字化处理，得到了语音信号的数字序列y1，同时也可以得到y1的采样频率Ft和采样位数位nbits。采集完成后在信号中加入一个信噪比为10dB的高斯白噪声，回放加噪后的语音信号。以下例子为对一首歌曲进行数据采集并加噪显示其波形，其程序如下：y1,Ft,nbits=wavread(paomo.wav); y=y1(:,1);N=length(y);Y=fft(y,N);Y = Y(1:length(Y)/2);deltaf=Ft/2/length(Y);f= 0:deltaf:Ft/2-deltaf;magY=abs(Y);yt=awgn(y,5,measured); %加入信噪比为5dB的高斯白噪声Yt=fft(yt,N);Yt=Yt(1:length(Yt)/2);subplot(2,2,1);stem(y);subplot(2,2,2);plot(f,magY);subplot(2,2,3);stem(yt);subplot(2,2,4);plot(f,abs(Yt);结果如图6.1所示图5.1原信号与加噪之后信号的波形和频谱5.2 语音信号的去噪在MATLAB上,我们可以用fftfilt调用设计的滤波器实现语音去噪，函数fftfilt的使用方法为 y=fftfilt(b,x) ，其中b为数字滤波器的系数向量矩阵，x为待滤波信号序列矩阵，滤波后的信号序列矩阵存放在向量y中。以下程序为利用前面设计的等波纹数字滤波器对语音信号中的高斯白噪声进行去噪处理，观察语音信号的频谱图并综合考虑此次设计的滤波器的特性，为了获得较好的滤除效果，此次的滤波器所选取的通带和阻带截止频率分别为和，去噪前后效果图如下：图5.2去噪前后的波形及频谱由图可知，由于高斯白噪声分布于整个频带，残留在通带内的少量噪声无法滤除，依旧有少许的噪声，而在阻带中的噪声基本已被滤除同时落在阻带上的部分语音信号也被滤除。但由于该语音信号能量在阻带内占比重很小，经过滤波器后虽然损失一些能量，但对语音信号的影响不大。6 总结（1）毕设小结本文采用基于凸优化的设计方法来设计等波纹数字滤波器，并用所设计的滤波器实现语音中高斯白噪声的去除。很明显地，加入了高斯白噪声的歌曲与原始歌曲存在很大的不同，整个过程中，在含噪歌曲中我们都可以明显的听到嘶嘶的噪声，这正是由于高斯白噪声对原信号的干扰造成的。当信号经过滤波器后，高频上的噪声被成功滤除，只有少部分噪声残留在低频段上，回放的声音有明显的改善。通过对比前后歌曲的质量，可知本次设计基本符合要求。从滤波器的各项性能上，滤波器通带具有很好的平坦性，过渡带陡峭性也很好，阻带衰减达到最大，并且在阻带具有等波纹的性质，符合本次课题的设计的要求。（2）心得体会本次设计的重点在于滤波器的设计，滤波器性能的好坏直接影响在高斯白噪声去除中的应用，因此必须找到一种最好的设计方法来设计滤波器。为了此次的设计，我认真的复习了大学学习中与滤波器设计相关的知识，并查阅了大量相关书籍，从而有力的巩固了之前所学的知识并加强了自己获取信息的能力，也扩充了自己的知识面。更在此次的设计过程中，更加了解MATLAB软件的使用。 谢 辞大学生活一转眼就过去了，回首这大学四年的生活，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。就在本次毕业设计过程中，我得到了许多老师跟同学的鼓励与帮助，是他们让我能够顺利的完成这次毕业设计，在此，我对他们表示衷心的感谢。首先，诚挚的感谢我的指导老师师蒋俊正老师。蒋老师平易近人、学识渊博、严谨细致、一丝不苟。当我做毕业设计时，遇到问题，无从下手的时候，老师总是鼓励我，即使在忙碌的教学工作中也挤出时间来解决我的疑惑，帮助我理清思路。正是在老师循循善诱的教导下，我才能继续毕业设计的后续工作，并完成毕业设计。从论文的选题开始到系统仿真、调试，直至论文完成，老师每一周都花大量时间来查看我们的毕业设计进度，并对我们存在的问题进行认真的讲解，整个毕业设计过程都倾注了老师的心血。至此，再次的谢