切换系统滤波器设计毕业论文.doc

硕士论文 一类时滞切换系统的分析与控制 切换系统滤波器设计毕业论文目 录V摘 要IAbstractII1 绪论11.1 研究背景和意义11.2 国内外研究现状31.2.1 切换系统研究概况31.2.2 时滞系统的研究概况51.2.3 时滞切换系统的研究概况61.3 本文主要工作72 非线性时滞切换系统的性能分析与鲁棒可靠控制92.1 非线性时滞切换系统的鲁棒H可靠控制92.1.1 问题描述与预备知识92.1.2 具有H性能的稳定性条件112.1.3 鲁棒H可靠控制器设计152.1.4 数值例子202.2 非线性时滞切换系统的鲁棒L可靠控制212.2.1 问题描述与预备知识212.2.2 具有L性能的稳定性条件222.2.3 鲁棒L可靠控制器设计232.2.4 数值例子252.3 本章小结263 异步切换下的非线性时滞切换系统的鲁棒镇定273.1 非线性常时滞切换系统的异步切换鲁棒镇定283.1.1 问题描述和预备知识283.1.2 非线性常时滞切换系统的镇定293.1.3 非线性常时滞切换系统的鲁棒镇定363.1.4 数值例子373.2 非线性时变时滞切换系统的异步切换鲁棒镇定383.2.1 问题描述和预备知识383.2.2 非线性时变时滞切换系统的镇定393.2.3 非线性时变时滞切换系统的鲁棒镇定463.2.4 数值例子473.3 非线性离散时滞切换系统的异步切换鲁棒镇定483.3.1 问题描述和预备知识483.3.2 非线性离散时滞切换系统的镇定503.3.3 非线性离散时滞切换系统的鲁棒镇定533.3.4 数值例子553.4 本章小结564 非线性时滞切换系统的非脆弱观测器设计574.1 非线性连续时滞切换系统的非脆弱观测器设计574.1.1 问题描述与预备知识574.1.2 非脆弱观测器设计584.1.3 数值例子614.2 非线性离散时滞切换系统的非脆弱观测器设计634.2.1 问题描述与预备知识634.2.2 非脆弱离散观测器设计644.2.3 数值例子674.3 本章小结695 总结与展望70致 谢72参考文献73附 录80硕士论文 一类时滞切换系统的分析与控制 1 绪论1.1 研究背景和意义切换系统是伴随着混杂系统的研究而展开的。混杂系统由实时动态系统和离散事件系统所组成，这些动态系统和离散事件系统的动力学行为不仅共同存在，而且相互作用。混杂系统的发展演化既取决于对离散事件的响应，又取决于对由微分方程或差分方程所表示的动态系统动力学行为的响应1。关于混杂系统的研究已经深入到不同的科学研究群体，如计算机科学，系统与控制科学，系统建模与仿真科学等。切换系统是一种重要而又典型的混杂系统，它从控制科学的角度研究一类混杂系统的理论模型。系统的动态行为由若干个子系统描述，每一个子系统由一个确定的微分方程或差分方程描述，而系统的离散事件决定了在某一时刻系统的动态行为由哪个子系统刻划。在切换系统中，离散事件通常称为切换律(也称为切换信号或切换策略)，它指挥并协调系统的动态行为，对系统稳定性和动态性能起到决定性的作用。图1.1给出了切换系统的简单示意： 图1.1 切换系统示意图因此，可以认为切换系统是切换律与各个子系统的动态行为相结合的产物。切换系统存在于许多生产实践领域中，具有广泛的工程背景。例如发动机引擎控制系统2，车摆控制系统3，机器人控制系统4，网络控制系统5，计算机磁盘驱动系统6等。一般而言，切换系统的研究背景主要来自于以下几个方面：(1) 许多实际系统自身表现出切换特性。例如继电器伺服系统，模糊控制系统以及工程上广泛应用的分区PID控制系统等动态系统。此类系统可以同时采用切换策略和切换控制器进行控制。(2) 对于非线性控制系统而言，在一些很重要的场合，并不一定存在可镇定的反馈控制律。尽管如此，通过切换控制的方式却能够实现对该系统的镇定控制。通常会采用一些简单线性子系统所组成的多个系统(也称为分段线性系统)近似原系统，理论上可以证明分段线性系统可以充分地近似大部分复杂的非线性系统7, 8。(3) 很多控制方法包含了切换控制的思想。如早期运用的Bang-Bang控制9、变结构控制10, 11以及后来出现的多模型自适应控制12, 13、多模型预测控制14, 15、增益调度控制16和基于逻辑切换的监督控制17, 18, 19等均采用了切换控制的思想。所有这些控制方法的共同点在于它们本质上都具有切换性质，随着受控对象的演化或时间的进展，控制器会从一种控制方式切换到另一种控制方式。(4) 改善系统动态性能。在复杂系统的实际运行中，为克服单个控制器的不足20, 21，出于改善控制性能的需要，控制器可以由多个子控制器组成，按照一定的规则进行切换控制。由于切换系统深刻的背景，针对该系统的分析与综合问题的研究引起了控制界的广泛关注。近二十年来，切换系统的理论研究日趋成熟和完善，并已逐渐成为一个独立的控制理论分支。另一方面，在各类实际系统中，时滞现象是极其普遍的，例如远程传输系统、气压及液压系统、网络控制系统等都是典型的时滞系统。时滞的存在常常导致控制系统动态过程振荡加剧，甚至造成系统的不稳定。正是由于时滞系统广泛的应用背景，以及时滞系统控制的困难性，针对该系统的研究一直是控制理论和控制工程领域所关注的一个热点问题22, 23。具有时滞的切换系统称为时滞切换系统。它是由具有时滞的各个子系统以及切换律所组成的。该类系统在实际中也广泛存在，并且有着较强的工程应用背景。例如电力系统24, 25和网络控制系统26, 27中的很多问题均可建模为时滞切换系统。这些系统的共同特征是在其运行或信号传输过程中同时存在切换和时滞，在工业控制中，同时具备这两种特征的系统及其普遍。基于上述背景，针对时滞切换系统的理论研究显得尤为重要而且具有深刻的意义。目前，关于切换系统和时滞系统的两个独立分支已经有数十年的发展，众多学者分别进行了广泛而有意义的系统化的研究，理论体系日趋完善。相对而言，时滞切换系统的研究时间比较短，研究内容也比较复杂和困难。而且，由于时滞切换系统的动态行为比单纯的切换系统或者时滞系统的行为要复杂得多，关于切换系统或时滞系统的研究方法和结果往往不能简单地平行推广到时滞切换系统。因此，有必要对该类系统的新的研究思想和方法进行探索。最近，控制领域的专家和学者们对此展开了一定程度的研究，也取得了相应的成果，但仍然还有许多问题亟待解决。1.2 国内外研究现状1.2.1 切换系统研究概况 切换系统按照切换信号性质的不同可划分为状态依赖型切换系统和时间依赖型切换系统。状态依赖型切换系统是指系统的切换信号由状态变量决定，整个状态空间通过切换面划分为若干个状态区域，每个区域都对应着某个确定的子系统。系统状态轨迹在到达切换面时由一个状态区域切换至另一个状态区域。时间依赖型切换系统是指系统的切换信号由时间变量决定，当时间变量满足一定的条件时，在子系统之间就发生切换。由个子系统构成的切换系统通常可由以下的微分方程描述28：， (1.2.1)其中为系统的状态量，为系统运行的初始时刻，表示分段常值切换信号，表示个子系统对应的序号集合。对于每一个，表示充分光滑的非线性函数。为问题研究的方便起见，通常假定切换信号是右连续的。特别的，若为线性函数时，则可得到线性切换系统：， (1.2.2)稳定性是控制系统的最基本的性质，与一般的非切换系统相比，切换系统的一个显著特征是：子系统的稳定性不等于整个切换系统的稳定性，即使各子系统稳定，如果切换信号选取不当，整个切换系统可能不稳定；即使各子系统不稳定，通过设计适当的切换策略也能保证整个切换系统的稳定性。到目前为止，针对状态依赖型切换系统和时间依赖型切换系统的稳定性分析，分别给出了Lyapunov函数方法和驻留时间方法。(1) Lyapunov函数方法a. 公共Lyapunov函数(Common Lyapunov Function，CLF)方法对于切换系统(1.2.1)，若所有子系统存在一个共同的Lyapunov函数，使得对任意的切换信号 ， (1.2.3)则系统是稳定(或渐近稳定)的，这样的Lyapunov函数称为公共Lyapunov函数。对于线性切换系统(1.2.2)，需要寻求公共二次Lyapunov函数判断系统的稳定性。在实际的应用中，数值解是寻找公共二次Lyapunov函数的一个行之有效的方法，文献28, 29, 30给出了一些有用的算法。文献31证明了对于线性切换系统(1.2.2)，若所有子系统，都是渐近稳定的，且各子系统的状态矩阵可以两两互换，即对于，有成立，则整个切换系统渐近稳定，文献进一步给出了公共二次Lyapunov函数的递推构造方法。文献32利用Lie代数对公共Lyapunov函数的存在性问题进行了研11究，其主要思想是将公共Lyapunov函数的存在性问题转换为切换系统Lie代数的可解性问题，文献证明了如果式(1.2.2)对应的Lie代数是可解的，则系统存在公共Lyapunov函数，且对于任意切换序列都是全局一致指数稳定的；进一步证明了如果式(1.2.1)对应的Lie代数是可解的，则系统对于任意切换序列是局部一致指数稳定的。一般而言，利用公共Lyapunov函数判别系统的稳定性在实际应用中具有一定的局限性。因为，若切换系统存在公共Lyapunov函数，则在任意切换下是渐近稳定的。显然，这样的要求是很强的，公共Lyapunov函数的构造往往很困难，有时甚至是不存在的。但是，利用公共Lyapunov函数方法得出的系统稳定性条件有其自身的优点：首先，这样的条件往往更为简单；其次，它可以保证切换系统在任意切换信号下的稳定性，因而设计者可专注于利用切换提高系统性能，不必担心系统失稳。需要指出的是，利用公共Lyapunov函数方法所得到的切换系统的稳定性条件是充分的。这自然使得研究者们思考如果切换系统是稳定的，是否存在公共Lyapunov函数，这就是所谓的逆Lyapunov函数原理，文献33, 34对此进行了研究。b. 多Lyapunov函数(Multiple Lyapunov Functions，MLFs)方法从切换系统自身的特点出发，Peleties和DeCarlo在文献35中引入了类Lyapunov函数(Lypaunov-like functions)的概念，其具体意义为：设各个子系统对应连续可微的正定函数，如图1.2.1所示： 图1.2.1 多Lyapunov函数法示意图以为例，在时间段，系统切换至子系统1，若满足，且，则称为子系统1的类Lyapunov函数，Branicky等学者据此证明了若各子系统均存在类Lyapunov函数，则切换系统(1.2.1)是Lyapunov意义下稳定的36。多Lyapunov函数方法的一个更通俗的解释为：将整个欧式空间(也称为状态空间)划分为个子空间，且，它们分别与系统(1.2.1)的个子系统相对应。每个子系统都具有各自的类Lyapunov函数，即如果同一个子系统下次被激活时的Lyapunov函数初始值小于或等于上次被激活时的Lyapunov函数初始值，整个系统的能量将至少不会呈现增加的趋势，则切换系统(1.2.1)是Lyapunov意义下稳定的。文献37在Lyapunov稳定性的基础上进一步论证了切换系统的渐近稳定性及指数稳定性。显然，当式(1.2.1)只有一个子系统时，多Lyapunov函数方法退化为常见的Lyapunov直接法；当各子系统Lyapunov函数相同时，则可视做公共Lyapunov函数方法。可以看出，在实际运用中多Lyapunov函数方法具有更强的适用性，由此得出的系统稳定性条件比公共Lyapunov函数方法具有更小的保守性。(2) 驻留时间(Dwell time)方法驻留时间方法通常用来分析时间依赖型切换系统的稳定性。如果一个动态系统在几个子系统之间进行切换，那么整个系统的稳定性可能与各个子系统的稳定性完全不同。对于稳定性的问题，可以看出即使各子系统均渐近稳定，如果切换不当，也可能使整个切换系统不稳定。直观地说，这是由于切换引起的“系统能量”增长趋势超过了各个稳定子系统对“系统能量”的衰减作用。因此，对于所有子系统均是稳定的情形很自然地想到，如果在各个稳定子系统内停留的时间足够长，以对消并超过切换引起的“系统能量”增长趋势，那么整个系统的能量必定呈现递减的趋势，系统就可以稳定了。由此，不难想到在每个稳定的子系统中所停留的时间应该有一个确定的下界值，从而确保整个系统的稳定性。通常称在每个子系统中停留的时间为切换系统的驻留时间。基于这个思想，Morse从数学上严格给出了每个子系统所应具有的最小驻留时间值38。Hespanha改进了Morse的方法：不需要每个子系统的驻留时间都有确定的下界值，某些子系统的作用时间可以小于这个值，只要各子系统的平均驻留时间不小于这个值，则切换系统是稳定的39。显然，在判定切换系统的稳定性时，平均驻留时间方法具有更小的保守性。Zhai等将平均驻留时间方法推广到有稳定的子系统和不稳定的子系统同时存在的情况40, 41，其基本思想是：在平均驻留时间的方案下，尽管有些子系统不稳定，只要这些不稳定的子系统被激活的时间相对短，仍然能够得到使系统稳定的切换律。值得指出的是，由于Lyapunov函数方法是基于受控状态切换的稳定性分析方法，由此所得出的系统稳定性结论大多是渐近稳定的；而驻留时间方法则是基于受控时间切换的稳定性分析方法，因而利用这种方法所给出的系统稳定性结论大部分是指数稳定的。在文献42中Hespanha证明了当切换信号是时间依赖型的(即切换信号不受控于状态)，线性切换系统的一致渐近稳定性与指数稳定性是等价的。然而，对于状态依赖型切换律，这种等价性是不成立的。文献42同时给出了相应的例子验证了这个结论的正确性。1.2.2 时滞系统的研究概况目前，时滞系统的稳定性分析方法主要有三种：Lyapunov第二方法43, 44、代数方法45, 46(也称为频域响应法)、分析方法47。近年来，时滞系统的稳定性研究主要关于线性时滞系统，其动力学行为通常可由下述时滞微分方程描述： (1.2.4)其中表示系统的状态向量，是已知的常数矩阵，是滞后时间。现有的时滞系统稳定性条件中，按照是否依赖于时滞大小，得到的稳定性条件可分为两类：时滞依赖稳定性条件和时滞独立稳定性条件。时滞独立的稳定性条件适合处理具有不确定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题。时滞依赖稳定性条件依赖于滞后时间，其只能处理具有特定范围滞后时间的时滞系统稳定性分析问题。利用时滞独立的稳定性条件研究系统的稳定性和其它性能时，无需考虑时滞的大小，即对时滞不作任何限制，这样所得到的结论对于任意的时滞都是成立的。这种稳定性条件的优点是较为简单，容易验证，并且易于控制器设计；缺点是对于有界时滞或小时滞系统具有较强的保守性。但时滞独立稳定性条件的保守性也不是绝对的，文献48给出一个例子说明了利用时滞依赖稳定性条件得出保持系统稳定的一个滞后上界，即条件只保证系统对所有满足的滞后时间是渐近稳定的，而应用时滞独立的稳定性条件却可以判定系统对任意的滞后时间是渐近稳定的。目前，对时滞线性系统的稳定性分析主要采用线性矩阵不等式(Linear Matrix Inequality，LMI)方法，其结果的保守性主要依赖于所使用的矩阵不等式放大技术的保守性。多数的研究结果也是围绕如何减小稳定性条件的保守性而展开，所采用的主要研究方法有：交叉项界定方法、模型变换方法以及Lyapunov-Krasovskii泛函的适当选取，这方面的主要成果可参见文献49, 50, 51。最近也出现了一些新的研究思想和方法，如积分不等式法52, 53，自由矩阵法54, 55等。基于时滞系统的稳定性条件，近年来时滞系统的鲁棒控制、控制、可靠控制、保成本控制以及饱和输入控制等相关问题已引起了许多学者的关注和广泛研究。1.2.3 时滞切换系统的研究概况 通常时滞切换系统可用以下的数学模型描述：， (1.2.5)其中为系统的状态量，为系统运行的初始时刻，表示分段常值切换信号，表示个子系统对应的序号集合。对于每一个，表示充分光滑的非线性函数，表示第个子系统相对于时刻的滞后状态，是滞后时间。如果是线性函数，则可得到线性时滞切换系统的模型：， (1.2.6)从时滞切换系统的数学模型中可以看出，连续系统动态(子系统的动态方程)、离散动态(切换信号)以及时滞状态，这些系统量之间相互影响，这种耦合关系使得系统的动力学行为显得更加复杂，给研究带来了一定难度。目前，只有少数文献报道了该类系统的稳定性分析和镇定控制的研究成果。文献56利用Lyapunov函数方法并结合微分不等式技巧研究了线性时滞切换系统的稳定性与镇定控制问题。Zhang等研究了一类具有稳定和不稳定子系统的时滞切换系统的稳定性问题57。Sun等利用平均驻留时间方法分析了线性时滞切换系统的增益稳定性58。Liu等基于Lyapunov-Krasovskii泛函方法和线性矩阵不等式技术研究了时滞切换系统的鲁棒稳定性和镇定控制，并给出了时间依赖型切换信号的设计方法59。Wang等使用Lyapunov-Razumikhin泛函方法给出了一个新的时滞依赖稳定性条件，并设计了状态依赖型切换律，进一步得出了系统的一个性能上界60。Zhang等又利用分段二次Lyapunov函数方法将稳定性结论推广到了具有时变时滞的情况61。除此之外，时滞切换系统的控制，最优控制，跟踪控制等也在部分文献中有所报道62, 63, 64。总之，由于目前针对时滞切换系统的研究尚不全面和深入，大量的分析与控制问题亟待解决。1.3 本文主要工作综上所述，时滞切换系统的分析与控制的研究在实际应用中都有着重要的价值。考虑到实际系统中不可避免地会含有一定程度的非线性，正如已有的研究65, 66, 67, 68中所指出的，许多非线性系统满足Lipschitz条件，如含有三角函数非线性项的机器人或飞行器控制系统，而且在研究局部性质时，许多连续非线性系统也可看作Lipschitz非线性系统，因而有关这类系统的研究具有相当大的实用性。本文主要研究具有这类非线性特征的时滞切换系统的分析与控制问题。主要研究的内容包含：非线性时滞切换系统的性能分析与可靠控制、非线性时滞切换系统异步切换下的鲁棒镇定、非线性时滞切换系统的非脆弱观测器设计。本文所使用到的研究方法主要是驻留时间和平均驻留时间方法，所得到的关于系统分析和控制的结果均是指数稳定的。这种稳定性保证了系统的快速收敛，其性能优越于利用Lyapunov函数方法所得到的渐近稳定性，更具有工程意义。论文各章的具体内容安排如下：第一章为绪论，分别介绍了切换系统，时滞系统以及时滞切换系统的研究背景和意义，并叙述了当前国内外在这些方面的研究概况，最后介绍了本文的主要内容。第二章基于驻留时间方法，研究了非线性时滞切换系统的稳定性，在此基础上进一步分析了该类系统的性能和性能。通过将故障执行器输入视为新的干扰信号，利用控制和控制的思想，分别讨论了含有时变参数不确定性和执行器故障的非线性时滞切换系统的鲁棒可靠控制和鲁棒可靠控制问题。第三章研究了异步切换下的非线性时滞切换系统的鲁棒镇定设计。首先基于驻留时间方法，对于具有固定时滞的切换系统，讨论了在控制器和系统之间存在切换不同步的现象时，系统的鲁棒镇定设计。然后，基于平均驻留时间方法，对于时变时滞切换系统，给出了鲁棒控制器和切换律的设计方法。最后，仍然应用平均驻留时间方法研究了常时滞非线性离散时滞切换系统的鲁棒镇定设计。第四章首先提出了非脆弱观测器的概念，然后基于驻留时间和平均驻留时间方法，分别研究了连续和离散非线性时滞切换系统非脆弱观测器的设计。第五章总结了本文的研究工作，指出了研究中存在的不足，并对将来可能的研究方向进行了展望。2 非线性时滞切换系统的性能分析与鲁棒可靠控制目前，针对时滞切换系统的稳定性和性能分析已有相关报道。所采用的分析方法主要是Lyapunov函数方法和驻留时间方法。Sun等通过将离散时滞切换系统转换为相应的增广系统，利用切换Lyapunov泛函方法给出了系统在任意切换条件下渐近稳定的充分条件，并设计了系统的鲁棒控制器69。文献70在此基础上进一步分析了系统的性能，给出了鲁棒控制器的设计方法。文献71研究了一类具有稳定和不稳定子系统的线性时滞切换系统的指数稳定性问题，并将结论推广到了弱非线性时滞切换系统。文献72基于平均驻留时间方法，给出了一类离散时滞切换系统的指数稳定性条件，并得到了系统的性能上界。然而，对于非线性时滞切换系统的性能分析和可靠控制问题的研究还不多见。本章基于驻留时间方法和线性矩阵不等式技术，研究了一类Lipschitz非线性时滞切换系统的稳定性问题。考虑到实际系统中不可避免地存在建模误差、参数不确定性以及干扰信号，而且参数不确定性和外部扰动往往导致系统性能的恶化，甚至引起系统的不稳定，鲁棒控制是解决这类问题的有效手段；同时，由于在特定的运行环境中系统的执行器有可能发生故障，这也是系统性能恶化和不稳定的一个重要因素，因而有必要设计能够对故障执行器有一定容忍程度的控制系统，即在执行器发生故障时控制系统也能够稳定。对于能量有限的外部干扰信号，控制是镇定系统的有效方法，因此，本章在针对系统稳定性研究的基础上分析了系统的性能，并给出了系统鲁棒可靠控制器的设计方法。值得指出的是，在对系统进行可靠性设计时，将故障执行器的输入视为系统新的干扰信号，利用控制的思想对这部分信号加以抑制，从而保证了系统的稳定性和性能。由于实际系统中往往也存在持续有界的无限能量干扰信号，对于这类信号，控制方法不能有效地处理，利用控制却能够对这类干扰信号加以抑制。因此，本章又进一步分析了系统的性能，并讨论了系统的鲁棒可靠镇定问题。2.1 非线性时滞切换系统的鲁棒H可靠控制2.1.1 问题描述与预备知识考虑不确定非线性时滞切换系统 (2.1.1a) (2.1.1b) ， (2.1.1c)其中是系统状态向量，系统的控制输入，是能量有限的外部扰动，即，为被调输出，代表系统的滞后时间，为连续的向量值初始函数，为系统运行的初始时刻，为系统的切换信号。对于任意的，是未知的非线性函数，是适当维数的不确定实值矩阵。，均为是已知的常数矩阵。不失一般性，对系统作以下假设。硕士论文 一类时滞切换系统的分析与控制 假设 2.1.1 对于任意的，实值矩阵，具有以下的不确定结构形式： (2.1.2)其中，是已知的适当维数的常数矩阵，反映了不确定参数是如何影响系统模型的，即代表了模型的不确定结构。是未知的时变矩阵，且满足范数有界条件 (2.1.3)形如式(2.1.2)的矩阵不确定结构由于其能够代表大多数现实系统的参数不确定，在实际当中受到广泛应用。 假设 2.1.2 对于任意的，非线性部分满足全局Lipschitz条件 (2.1.4)其中为已知的Lipschitz常数矩阵。说明 2.1.1全局Lipschitz条件可以减弱为局部Lipschitz条件，以下的结论在任意一个满足局部Lipschitz条件的点的领域均是有效的。为明确起见，以下给出系统的指数稳定性和性能的定义。定义 2.1.1 如果存在切换律，使得系统(2.1.1)的状态轨迹满足 (2.1.5)其中，表示系统的常数延时，则称系统(2.1.1)是指数稳定的，并具有指数衰减率。定义 2.1.2 为给定的正常数，如果对于，即不含输入的系统(2.1.1)，在已知的切换律条件下，具有以下性质：(i) 系统是渐近稳定或指数稳定的；(ii) 在零初始条件，下， (2.1.6)则称系统(2.1.1)具有性能。不等式(2.1.6)反映了系统对外部有限能量扰动的抑制能力，因此也称为系统对外部扰动的抑制度。越小，表明系统的性能越好。在以后的定理证明中，将使用到以下的引理。引理 2.1.173(Schur补) 对于给定的对称矩阵，其中，均是方阵，以下三个条件是等价的：(i) (ii) ，(iii) ，引理 2.1.2 对于适当维数的矩阵，正定矩阵和正标量，有以下的矩阵不等式成立： 证明 由正定矩阵性质可知，矩阵正定，当且仅当存在正定矩阵，使得，记，则有由于，则可得到。引理证毕。引理 2.1.374 令，如果存在实值连续函数，使得微分不等式成立，则正实值连续函数满足，其中，且满足。 引理 2.1.475 设，和对称矩阵是适当维数的实值矩阵，则对于满足的所有矩阵 (2.1.7)当且仅当存在标量，使得 (2.1.8)2.1.2 具有H性能的稳定性条件为了便于分析，在这小节中，首先考虑确定性非线性时滞切换系统 (2.1.9)下面的引理给出了系统(2.1.9)的指数稳定性条件。引理 2.1.5 对于系统(2.1.9)，是给定的正标量，如果存在对称正定矩阵，使得下面的矩阵不等式成立： (2.1.10)，并且系统的驻留时间满足，则在切换律的条件下系统是指数稳定的。其中，满足，表示在时刻系统的切换序列值。 证明 对于第个子系统，选取Lyapunov函数为由Schur补引理2.1.1，不等式(2.1.10)等价于 (2.1.11)沿着系统(2.1.9)的状态轨迹，可以得到由引理2.1.2和假设2.1.2，可得根据式(2.1.11)，可以得到 (2.2.12)由引理2.1.3，满足不等式关系， (2.1.13)其中，并且满足，表示第个子系统运行的初始时刻，令，则有， (2.1.14)根据定义2.1.1，可知式(2.1.14)表明在满足矩阵不等式(2.1.10)的条件下，每个子系统均是指数稳定的，并且具有指数衰减率。由此，可以想到如果在每个切换时刻点上系统的状态也满足指数衰减的形式，则整个切换系统是指数稳定的。文献56采用这个思想，对进行适当的估计，给出了系统所需满足的最小驻留时间，从而证明了每个切换时刻点上系统状态是指数衰减的。引理证毕。说明 2.1.2 当系统(2.1.9)不含非线性项，即，时，引理的条件(2.1.10)变为 (2.1.15)这便是文献56中线性时滞切换系统指数稳定性的判别条件。进一步，当且时，系统(2.1.9)退化为一般的线性切换系统 (2.1.16)其中，由条件(2.1.15)可知，要使得该矩阵不等式成立，必有以下关系成立：上述条件相当于要求对，线性时滞子系统在时是指数稳定的。显然，这样的要求是合理的。根据以上的分析看出，可以将引理2.1.5退化成为线性切换系统的指数稳定性判别条件。推论 2.1.1 对于系统(2.1.16)，是给定的正标量，如果存在对称正定矩阵，使得下面的不等式成立：，并且系统的驻留时间满足，则在切换律的条件下系统是指数稳定的，其中。 以上讨论了非线性时滞切换系统的指数稳定性判别条件，据此，进一步可以研究系统的性能。考虑带有扰动的时滞切换系统 (2.1.17a) (2.1.17b)根据引理2.1.5非线性时滞切换系统的稳定性判别条件，以下的定理给出了系统(2.1.17)的具有性能的指数稳定性条件。 定理 2.1.1 对于系统(2.1.17)，是给定的正标量，如果存在对称正定矩阵，以及正标量，使得下面的矩阵不等式组成立： (2.1.18) (2.1.19)，并且系统的驻留时间满足，则在切换律的条件下系统具有性能。其中，满足，表示在时刻系统的切换序列值。证明 从不等式(2.1.19)可以推出 根据引理2.1.5，系统是指数稳定的。为第个子系统选取Lyapunov泛函 (2.1.20)其中，均是适当维数的正定矩阵，则由引理2.1.2，假设2.1.2以及不等式(2.1.18)，可以得到 (2.1.21)其中由Schur补引理2.1.1，不等式(2.1.19)等价于由以上不等式，可得，因此 (2.1.22)在零初始条件，即，下，考虑 (2.1.23)将切换时间域分割成为，并且用表示在 时刻被激活的子系统的序列号，则时间依赖型切换律可以写为。定义分段Lyapunov泛函，并注意到在序列中取值的任意性，结合(2.1.22)和(2.1.23)，可以得到由此可知 (2.1.24)则对于任意的外部非零扰动，总有成立。因此，系统具有性能。定理证毕。说明 2.1.3 从定理的证明可以看出，如果每个子系统均具有性能，则整个切换系统在所设计的切换律下也具有性能。从而表明了每个子系统具有性能是整个切换系统具有性能的一个充分条件。2.1.3 鲁棒H可靠控制器设计执行器是控制系统的重要组成部分。为研究可靠控制中执行器失效的问题，通常可以将系统(2.1.1)的执行器分为两部分。第一部分表示第个子系统在运行中所有可能发生故障的执行器集合，称为失效的执行器集合；表示的补集，即非失效的执行器集合，这部分执行器对故障具有鲁棒性，是镇定系统所必须的。按此分类，输入矩阵可以分解为 ，其中表示第个子系统关于执行器有效集的控制输入矩阵，表示第个子系统关于执行器失效集的控制输入矩阵。说明 2.1.4 一般而言，失效执行器的输出信号是任意的，而且是不可预知的。此类信号不再是正常执行器的输出，它们将会作用于系统，产生不可预料的控制效果。对于控制系统设计者所期望的是，通过反馈控制的方式减弱或消除故障执行器对系统的不良控制作用，从而保证系统的稳定运行。因此，可以将故障执行器的输出信号看作系统的外部扰动。最终的目的是将由故障执行器所导致的系统输出连同实际的外部干扰输入抑制在给定的指标范围内。定义对应于实际运行中执行器发生故障的部分，表示故障执行器的控制输入，其中的控制输入元素与故障执行器相对应，据此定义，显然有下面的不等式关系成立：， (2.1.25)由此，将系统新的外部扰动输入向量记为，则有 (2.1.26)系统(2.1.1)状态反馈控制律为 (2.1.27)当执行器发生故障时，则由控制器和系统(2.1.1)构成的闭环系统为 (2.1.28a) (2.1.28b)， (2.1.28c)其中对于任意的，。以下给出了系统鲁棒可靠控制器的定义。定义 2.1.3 为给定的正常数，对于系统(2.1.28)，如果存在状态反馈控制器，使得(i) 在时，闭环系统在给定切换律下是渐近稳定或指数稳定的；(ii) 在零初始条件，下， (2.1.29)则称为系统(2.1.28)的鲁棒可靠控制器。如果存在控制器和切换律，使得系统的性能指标的值达到最小，这样的控制器称为系统(2.1.28)的最优鲁棒可靠控制器。在本小节中，依据前面所给出的系统具有性能的稳定性条件，提出了鲁棒可靠控制器的设计方法。定理 2.1.2 对于系统(2.1.28)，是给定的正常数，如果存在对称正定矩阵，矩阵以及正标量，使得下面的矩阵不等式组成立： (2.1.30) (2.1.31)，并且系统的驻留时间满足，则鲁棒可靠控制器设计为， (2.1.32)可确保闭环系统是指数稳定的，其中，满足。 证明 对于第个子系统，在执行器故障集为的条件下，控制器(2.1.32)可以写为 (2.1.33)将等式(2.1.33)代入到系统(2.1.1)，则闭环系统可以描述为式(2.1.28)。并且注意到，为第个闭环子系统选取Lyapunov泛函类似于定理2.1.1的证明，可知如果 (2.1.34)则有下式成立 其中显然，如果，则。由Schur补引理2.1.1，等价于 (2.1.35)其中。利用分别左乘和右乘不等式(2.1.35)的左端，并记，则 (2.1.34)等价于定理条件(2.1.30)，并且可以得到 (2.1.36)其中。将不确定矩阵形式(2.1.2)代入(2.1.36)，可得其中代表不等式(2.1.36)的左边项，由引理2.1.4和条件(2.1.25)，可得 (2.1.37)记为式(2.1.37)的右边项，如果，则有。再次使用Schur补引理2.1.1，可得等价于 (2.1.38)其中。显然，如果不等式(2.1.31)成立，则(2.1.38)也必然成立，由此证明了。以下的证明同定理2.1.1。定理证毕。 说明 2.1.5 对于系统(2.1.28)，如果存在控制器和切换律使得系统的性能指标达到最小，这样的控制器称为最优鲁棒可靠控制器，以下的推论给出了其设计方法。推论 2.1.2 对于系统(2.1.28)，是给定的正常数，若以下的优化问题： (2.1.39)s.t. (2.1.30)，(2.1.31)有一个最优值，并且系统的驻留时间满足，则最优鲁棒可靠控制器设计为 ，可确保闭环系统指数稳定。说明 2.1.6 优化问题(2.1.39)是一个具有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题，因此，可以应用LMI工具箱中的求解器mincx求解该问题。但值得指出的是，在实际的控制系统中，往往只要求系统的性能指标在容许的给定范围之内，最优化性能指标可能使得系统的其他动态性能指标恶化，所以实际应用中应根据系统的性能需求视具体情况而定。定理2.1.2主要采用线性矩阵不等式处理方法研究了系统(2.1.28)的鲁棒可靠状态反馈控制器的设计问题，在定理证明过程中利用了变量替换方法给出了基于求解一组线性矩阵不等式问题的鲁棒可靠状态反馈控制器的设计方法，变量替换方法用一组线性矩阵不等式的可行性给出了控制器的存在条件，进而利用该组线性矩阵不等式的可行解直接构造出所求的控制器。值得指出的是，变量替换处理方法可以和系统的其它性能约束相结合处理多目标控制问题。2.1.4 数值例子 考虑包含两个子系统的时滞切换系统(2.1.28)，具体参数如下：子系统1：，子系统2：，时间滞后取为，已知常数选为，系统的性能指标取为，非线性项选为，Lipschitz常数矩阵取为，不确定参数矩阵结构取为：子系统1：，子系统2：，解定理2.1.2中的线性矩阵不等式组，可得鲁棒状态反馈矩阵为，并且可以计算出系统的驻留时间满足，选择以下形式的周期切换律：其中，不确定时变矩阵选为，系统初始状态设置为，闭环控制系统的状态响应曲线如图2.1.1所示，可以看出系统的状态轨迹能够最终收敛到原点，从而表明控制器的设计方法是有效的。 图2.1.1 系统的状态响应曲线2.2 非线性时滞切换系统的鲁棒L可靠控制2.2.1 问题描述与预备知识本节所考虑的系统模型仍为2.1节中的系统模型，所不同的是系统中的外部干扰项不再是平方可积的有限能量信号，而是属于持续有界的能量信号，即。如果不加特殊说明，本小节所考虑的系统模型均属此类情况。在这种情况下，控制方法无法用来处理这类扰动，对于这类扰动利用控制思想加以抑制不失为一个有效的方法。控制思想实质上是通过对持续有界的干扰信号所引起的系统状态或输出的幅值峰值加以抑制，从而达到所期望的控制效果。为了更好的阐明问题，首先给出系统的性能定义。定义 2.2.1 为给定的正常数，如果对于，即不含输入的系统(2.1.1)，在零初始条件，下 ， (2.2.1)则称系统(2.1.1)具有性能。条件表明了在持续有界的外部干扰信号幅值峰值的作用下，系统的状态峰值具有有效抑制度。越小，表明系统的性能越好。在以后的定理证明当中，将使用到以下的引理。 引理 2.2.176 如果标量函数和满足以下的微分不等式：则有 其中，。872.2.2 具有L性能的稳定性条件 定理 2.2.1 对于系统(2.1.17)，是给定的正标量，如果存在对称正定矩阵，使得 (2.2.2) (2.2.3)，并且系统的驻留时间满足，则在切换律的条件下系统指数稳定，且具有性能。其中，满足，表示在时刻系统的切换序列值。 证明 对于第个子系统，选取Lyapunov函数为由Schur补引理2.1.1，不等式(2.2.2)等价于 (2.2.4)沿着系统(2.1.17)的状态轨迹，可以得到 由假设2.1.2和引理2.1.2，可得 由式(2.2.4)可得将切换时间域分割为，。定义以下的分段Lyapunov函数：，则由引理2.2.1，可得 (2.2.5)注意到，在零初始条件下可得 (2.2.6)并且在零初始条件，下，有则由式(2.2.6)可得由此有 (2.2.7)由范数的定义，可得因此，系统的性能。结合引理2.1.5可知，系统是指数稳定的，并且具有性能。定理证毕。2.2.3 鲁棒L可靠控制器设计以下给出了系统鲁棒可靠控制器的定义。定义 2.2.2 为给定的正常数，对于系统(2.1.28)，如果存在状态反馈控制器，使得(i) 在时，闭环系统在给定切换律下是渐近稳定或指数稳定的；(ii) 在零初始条件，下， (2.2.8)则称为系统(2.1.28)的鲁棒可靠控制器。在本小节中，依据前面所给出的系统具有性能的稳定性条件，提出了鲁棒可靠控制器的设计方法。 定理 2.2.2 对于系统(2.1.28)，是给定的正常数，如果存在对称正定矩阵，使得 (2.2.9) (2.2.10)，并且系统的驻留时间满足，则鲁棒可靠控制器设计为， (2.2.11)可确保闭环系统指数稳定，其中，满足，性能指标为。 证明 对于第个子系统，在执行器故障集的条件下，控制器(2.2.11)可写为 (2.2.12)将等式(2.2.12)代入到系统(2.1.1)，则闭环系统可以描述为式(2.1.28)。并且注意到，为第个闭环子系统选取Lyapunov函数则有由此可知，如果下式成立： (2.2.13)则有 (2.2.14)沿着定理2.2.1的证明思路，不难获得系统的扰动抑制性能界。由Schur补引理2.1.1，(2.2.13)等价于 (2.2.15)类似定理2.1.2，利用矩阵变换方法及放大技术，再对系统矩阵中的不确定参数作相似处理，可得定理结论，此处省略。定理证毕。2.2.4 数值例子考虑包含两个子系统的时滞切换系统(2.1.28)，具体参数如下：子系统1：，子系统2：，时间滞后取为，已知常数选为