第一章 实数集与函数

数学分析课程简介,一数学分析(mathematical analysis)简介二数学分析的基本内容：三数学分析的形成过程：,1.孕育于古希腊时期： 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 分析学理论的完善和重建时期：,四数学分析课程的特点:,五课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书: 1华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； 2刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； 3谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； 4马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999； 5林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.,2. 学习方法 3.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 4. 考试:,第一章 实数集与函数,1 实数2 数集 确界原理3 函数的概念4 复合函数与反函数, 1.1 实数,一 .实数及其性质,二. 绝对值与不等式,一 . 实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.,若规定：,1.1 实数,则有限十进小数都能表示成无限循环小数。,实数,对正整数,对负有限小数（包括负整数）y,先将- y表示成无限小数，再在无限小数前加负号如: -8=-7.999,说明:,对于负实数x,y,若有-x = -y与-x -y, 则分别称x = y与x x),2.两个实数的大小关系,1)定义1,说明:,自然规定任何非负实数大于任何负实数.,定义2 设,为实数x的n位不足近似，而有理数,称为x的n位过剩近似，n=0, 1, 2, .,为非负实数.,称有理数,2) 通过有限小数比较大小的等价条件,对于负实数,其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为,和,注意：对任何实数x, 有,命题1 设,实数的性质,1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.,2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下述三个关系之一: a b .,为两个实数，则,实数的性质,3.实数集的大小关系具有传递性.即若a b, b c,则有ac.,5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.,6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.,例1,证明,例2,证明,二. 绝对值与不等式,从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：,绝对值定义：,绝对值的一些主要性质,性质4（三角不等式）的证明：,几个重要不等式:, 均值不等式: 对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值),有平均值不等式:等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 有不等式当 且, 且 时, 有严格不等式 证 由 且, 利用二项展开式得到的不等式: 对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.,作业,p4 ,3, 4, 6, 7,1.2 数集确界原理,一、区间与邻域 二、上确界、下确界,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,记为,二 有界集确界原理,1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界,闭区间 、开区间 为有限数）、邻域等都是有界数集， 集合 也是有界数集. , 等都是无界数集, 集合 也是无界数集.,例1 证明集合,是无界数集., 存在,由无界集定义，E 为无界集。,证明：对任意,2 确界:,例2 则 则例3 设S和A是非空数集，且有 则有 .,例4 设A和B是非空数集. 若对 和 都有 则有 证 y 是A的上界, 是B的下界,例4,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界, 故有,而此式又表明数 是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,又,的下界就是,的下界,是,的下界,是,的下界,同理有,.,于是有,综上, 有,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,命题3：设数集,有上（下）确界，则这上,，,且,，则不妨设,有,对,，,使,，矛盾。,（下）确界必是唯一的。,证：设,3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1为例做解释.,4.确界与最值的关系: 设 E为数集. E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论.,5 确界原理 定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。,非空，有上界,：,，,(1).若,中有最大数,，则,即为上确界；,中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；,，其余的实数归入下类,，则,是实数的一个分划。,证明 设,.,(2).若,的一切上界归入上类,。其次,，由于,不是,的最大数，所以它不是,的上界，即,。这说明,中任一元素都属于下类,；,A,B不空.首先,取,A、B不漏性由A、B定义即可看出；,A、B不乱.设,，,因a不是E的上界，,，使得,，,而E内每一元素属于A，所以,.,由,的证明可见,无最大数.,所以,是实数的一个分划.由戴德金定理，,知上类B必有最小数，记作c.,由 知,，即得,.,这表明c,是,的一个上界.,若b是E的一个上界，则,，由此得,，所以c是上界中最小的，,由上确界定义，,为集合的上确界，记作,下证:非空的有下界的集合必有下确界。,事实上，设集合,有下界b，,则非空集合,有上界-b，,利用集合,上确界的存在性，,即可得出集合E的下确界存在。,定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。 若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。,设A,B为非空有限数集, . 证明:,例6,证:,故得,所以,综上,即证得,例7 证明实数空间满足阿基米德原理.,证明,假设结论不成立，即,4.小结,P9: 1, 2, 3, 4, 5.,(1) 区间和邻域的概念;,(2) 确界原理.,1.3 函数的一般概念,映射函数的概念几个特殊的函数举例复合函数反函数初等函数,一 映射 1 映射,定义 设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则f,使得集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中唯一确定的元素y与之对应，则这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为 f : X Y X y=f(x).其中y称为在映射f之下x的象，x称为在映射f之下y的一个原象集合X称为映射的定义域，记为 而在映射之下， X中元素的象的全体称为映射的值域，记为,概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：,(1)集合X，即定义域 ； (2)集合Y，即限制值域的范围： （3）对应规则，使每一个 有唯一确定的y=f(x)与之对应,需要指出两点： (1) 映射要求元素的象必须是唯一的 (2 ) 映射并不要求逆象也具有唯一性,2 一一对应,定义 设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆象也具有唯一性，即对X中的任意两个不同元素 ，它们的象 与 也满足 ，则称f为单射；如果映射满足 ，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称 一一对应）,逆映射,设,是单射，则对任意,它的逆象,（即满足方程,),是唯一确定的.对应关系,构成了,的一个映射,把它称为的逆,映射，记为,其定义域为,现设有如下两个映射,和,复合映射,二 函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.,例 圆内接正多边形的周长,定义 给定 R，如果存在某种对应法则 ，使得对于X中任一元素 ，都有唯一确定的数 R与之对应，则称 是从 到R的一个函数，记作 R。函数在 点 的值记作 ， 称为函数 的定义域， 称为自变量， 称为因变量。 从概念上讲， （即对应法则）是函数， 是函数值，两者是不同的。 但它们是相互决定的，今后在大部分场合，不加区分。 但有些场合，如微分和微分形式概念中，必需加以区分。,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,因变量,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的,函数的表示法,单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +),其值域为Rf =0, + ).,(2),(1)常值函数 y=c.其定义域为D=(-, +),其值域为Rf =c.,三几个特殊的函数举例,(3) 符号函数,其定义域为D=(-, +) ,其值域为Rf =-1, 0, 1.,(4) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,其定义域为D=(-, +),其值域为 =Z.,（5）“非负小数部分”函数,它的定义域是,(6) 狄利克雷函数,其定义域为D=(-, +) ,其值域为 =0, 1.,(7) 取最值函数,y,x,o,x,o,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,分段函数,例1,解,故,函数的四则运算 在函数的共同定义域内可以实行函数的加减法运算和乘法运算,，,也可以实行除法运算,这时要特别小心，要除去,的点。,四、复合函数,在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间 t 的函数关系,就是由三角函数,和线性函数,“叠置”而成的，,定义 设函数 定义域包含函数 的值域，则在 的定义域上可以用以下法则确定一个函数 ，称之为f与g的复合函数，记作 。我们总有 。 这里“ ”运算是非交换的，一般的没有 。但它是结合的： ，故可定义 。,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,复合条件,复合函数的定义域,复合条件在实际应用时常取形式,内层函数的值域落在外层函数的定义域之内,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,例1,求,并求定义域。,例2,（1）,（2）,A.,B.,C.,D.,五 反函数,定义 设,R是一函数，如果,(或由,),，则称f在上X是 1-1的。,若,若,，则称f为满的。,是满的 1-1 的，则称f为1-1对应。,R是1-1 的意味着,对固定y至多,有一个解x，,是1-1 的意味着,对,，有且仅有一个解x。,定义 设,是1-1对应。, 由,唯一确定一个,的反函数，记为,反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域,显然有,(恒等变换）,(恒等变换),由这种对应法则所确定的函数称为,从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为 , 这样它的图形与 的图形是关于对角线Y=x对称的。,严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子,它的反函数即为它自己。,实际求反函数问题可分为二步进行： (1). 确定,的定义域,和值域,，考虑 1-1对应条件。固定,，解方程,得出,。(2). 按习惯，自变量,、因变量,互换，得,.,六 初等函数,、基本初等函数,（1）.幂函数,幂函数,（2）.指数函数,（3）.对数函数,(4)三角函数,周期为2p的周期函数,有界函数 |sin x|1,特殊值：,三角函数,周期为2p的周期函数,有界函数 |cos x|1,特殊值：,三角函数,周期为p的周期函数,无界函数：,渐进线：,特殊值：,三角函数,周期为p的周期函数,无界函数：