2016_17学年高中数学第1章导数及其应用1.5.1_1.5.2定积分学案【苏教版选修】.docx

1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1了解定积分的概念及“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，求定积分2理解定积分的几何意义，会求曲边梯形的面积基础初探教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P41P45“例2”以上部分，完成下列问题1曲边梯形的面积将已知区间a，b等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长于是，可用f(xi)x来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)xf(x2)xf(xn)x表示了曲边梯形面积的近似值图1512求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：分割以直代曲作和逼近由直线x1，y0，x0和曲线yx3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是_【解析】将区间0,1四等分，得到4个小区间：，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S33313.【答案】教材整理2定积分阅读教材P47“例1”以上部分，完成下列问题一般地，设函数f(x)在区间a，b上有定义，将区间a，b等分成n个小区间，每个小区间长度为x，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，xi，xn.作和Snf(x1)xf(x2)xf(xi)xf(xn)x.如果当x0(亦即n)时，SnS(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间a，b上的定积分记为S_f(x)dx.其中，f(x)称为被积函数，a，b称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限(x1)dx的值与直线x1，x2，y0，f(x)x1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等教材整理3定积分的几何意义阅读教材P48“例2”以上部分，完成下列问题一般地，定积分的几何意义是在区间a，b上曲线与x轴所围图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)dxf(t)dt.()(2)f(x)dx的值一定是一个正数()(3)(x22x)dxx2dx2xdx.()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型利用定积分的定义求曲边梯形的面积求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积【精彩点拨】按分割、以值代曲、作和、逼近四个步骤进行求解【自主解答】(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，把区间0,1等分成n个小区间：，简写作(i1,2，n)每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Si，Sn.(2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点i(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点，用f(i)的相反数f(i)为其一边长，以小区间长度x为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Sif(i)x(i1,2，n)(3)作和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即SSi(i)x021222(n1)2012(n1)n(n1)(2n1).(4)逼近当分割无限变细，即x0时，n，此时.从而有S.所以由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积为.由极限法求曲边梯形的面积的步骤(1)分割在区间a，b中等间隔地插入n1个分点，将其等分成n个小区间xi1，xi(i1,2，n)，小区间的长度xixixi1.(2)以直代曲“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值(3)作和将n个小矩形的面积进行求和得Sn.(4)逼近当n时，SnS，S即为所求再练一题1求由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S. 【导学号：01580023】【解】(1)分割在区间1,2上等间隔地插入n1个点，将它等分成n个小区间：，记第i个区间为(i1,2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积分别记作：S1，S2，Sn，则小曲边梯形面积的和为SSi，(2)以值代曲记f(x).当n很大，即x很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f.从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间上，用小矩形面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSifx(i1,2，n)(3)作和小曲边梯形的面积和SnSiSinn.从而得到S的近似值SSn.(4)逼近当分割无限变细，即x0时，Sn所以由直线x1，x2，y0及曲线y围成的图形的面积S为.利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义求下列定积分(1) dx；(2)(2x1)dx；(3) (x33x)dx.【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解【自主解答】(1)曲线y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)曲线f(x)2x1为一条直线.(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(3)yx33x在区间1,1上为奇函数，图象关于原点对称，曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等由定积分的几何意义知(x33x)dx0.1定积分几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，xb及y0所围成的平面图形的形状常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确2奇、偶函数在区间a，a上的定积分(1)若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则f(x)dx0.(2)若偶函数yf(x)的图象在a，a上连续，则f(x)dx2f(x)dx.再练一题2上例(1)中变为dx，如何求解？【解】由y，知x2y29(y0)，x，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知dx等于圆心角为60的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形323，S矩形|AB|BC|2，dx.探究共研型定积分性质的应用探究1怎样求分段函数的定积分？【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加探究2怎样求奇(偶)函数在区间a，b上的定积分？【提示】若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续，则af(x)dx0；若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续，则g(x)dx2g(x)dx.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2.【精彩点拨】由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示【自主解答】(1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示设此面积为S，则S(0)dxdx.(1)(2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示设面积为S，则SA1A2.因为A1由y，y，x1围成，A2由y，yx2，x1和x4围成，所以A1()dx2dx，A2(x2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁应用时注意性质的推广：(1)f1(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx；(2)f(x)dxc1af(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac1c2cnb，nN*)再练一题3已知xdx，x2dx，求下列定积分的值(1)(2xx2)dx；(2)(2x2x1)dx.【解】(1)(2xx2)dx2xdxx2dx2e2.(2)(2x2x1)dx2x2dxxdx1dx，因为已知xdx，x2dx，又由定积分的几何意义知，1dx等于直线x0，xe，y0，y1所围成的图形的面积，所以1dx1ee，故(2x2x1)dx2ee3e2e. 构建体系1在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0所围成的图形面积时，若将区间1,1n等分，则每个小区间的长度为_. 【导学号：01580024】【解析】每个小区间长度为.【答案】2在求直线x0，x2，y0与曲线yx2所围成的曲边三角形的面积时，把区间0,2等分成n个小区间，则第i个小区间是_【解析】将区间0,2等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.【答案】3由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_【解析】0x，sin x0.ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.【答案】sin xdx4若f(x)g(x)dx3，f(x)g(x)dx