第二章 控制系统的数学描述_2302_2015_20110301132001

2018/1/13,第二章 控制系统的数学模型主要授课内容：2.1 引言 2.2 运动对象的微分方程描述2.3 微分方程解结构与运动模态2.4 微分方程正规解法的局限性2.5 拉普拉斯变换2.6-2.8 运动对象的状态空间描述（不讲-略）2.9 运动对象的传递函数描述2.10 闭环系统的传递函数2.11 控制系统的基本单元2.12 信号流图2.13-2.15 控制系统的系统矩阵描述（不讲-略）本章需掌握要点：1、控制系统微分方程的建摸方法；线性系统的动态特性（运动摸态）。2、传递函数模型的基本概念；传递函数框图模型及其等效简化方法；3、控制系统基本单元的模型及特性；4、信号流图模型及梅逊公式。,2018/1/13,2018/1/13,2018/1/13,2018/1/13,2018/1/13,作业:2.1题,2018/1/13,2018/1/13,2.2.2 非线性方程的线性化处理 前节建立的模型均为线性微分方程，实际工程系统常有非线性关系存在。对变量间非线性关系的简化处理方法-微偏线性化方法：光滑非线性函数的微偏线性化处理-Taylor级数展开取近似线性部分(求工作点函数的导数) 得到微偏线性化方程描述模型。2.2.3 复杂对象模型的建立（建摸中复杂机理问题处理例题2.2.5-6） 包含多组成单元或多物理属性的复杂对象的建摸。方法步骤： 问题分解 （建立单体微分方程）运动机理分析方法 建立联系方程 （一般为代数方程，包括非线性微偏线性化处理，原则为：微分方程+联系方程总个数=受控量总个数）相关关系分析方法 综合简化 （包括:变量替换、量纲检查处理等,最终得到由微分和代数组合的微偏线性方程组 ）。,2018/1/13,复杂对象模型的建立例题（例题2.2.5-6） 随动控制系统：电位器2位角随电位器1位角移动。 问题分解4部分：电位器组、放大器 发电机电动机组、传动机构 建立联系方程4个： 综合简化（不需要）,2018/1/13,2.2.4 从原始方程组导出单变量微分方程（单输入单输出标准化处理） 步骤： 确定输入输出变量用S代替d/dt,化微分方程组为代数方程组求解代数方程组得到输入输出关于S的有理函数式把S还原为d/dt，便可得到单输入单输出标准型。（例题2.2.5-6）,2.2.5 离散时间运动方程（不讲）,2018/1/13,系统输出受控变量（方程的解x）受两部分作用，第一部分为初始状态作用的自由运动；第二部分为控制输入信号f作用的强迫运动。系统本身动态性能取决于自由项特征值，适当选择控制输入，可使系统获得满足要求的控制效果。,2、求解非齐次微分方程的一个特解（强迫运动项）：,对非齐次定常线性微分方程：,2.3 微分方程解结构与运动模态（运动特性分析-随时间变化的规律）有两种解法：（1）正规解法; （2）拉普拉斯变换法2.3.1 解的构成-正规解法（传统时域求解方法）利用特征方程求出齐次线性微分方程的通解，加上原方程的一个特解的解法。,1、列写特征方程：,求出特征根：,得到齐次微分方程的通解（自由运动项，假如无重根有如下形式）：,3、通解与特解叠加得到 非齐次微分方程的解：,被控对象模型微分方程,输入f(t)变量,输出(t) 变量,2018/1/13,式中：,设某系统无输入作用下的数学模型为下列齐次定常线性微分方程：,3、定义函数,为方程（或系统）的运动摸态。,2.3.2 运动的摸态分析-线性系统动态特性,由正规解法可得到方程的解（假如无重根）有如下形式：,分别为由一组n个初值决定的待定系数向量和由n个系统特征根决定的指数函数向量。线性微分方程解的结构分析结论： 1、线性齐次微分方程的任何一个解总可表示为由n个系统特征根决定的指数函数的线性组合。 n个系统特征根决定的指数函数具有线性无关性（不能互相生成或消除），它们是线性齐次微分方程的一个基本解组。 2、线性齐次微分方程所有解的全体，在实数域上构成以特征根指数函数基本解组为基向量的n维向量空间，即一个控制系统的所有自由运动的全体，在实数域上将构成向量空间。,方程的运动模态只取决于齐次微分方程，所以与系统输入量无关，也与输出量的选择无关，完全由系统固有特征值所确定，决定着系统本身的固有运动特性。具有唯一不变性。,2018/1/13,2018/1/13,微分方程的通解是运动的模态函数的线性组合：,运动模态也叫振型，本例4个模态函数的振型图象及线性组合自由运动图象如下图所示。,运动的模态函数为：,2018/1/13,2018/1/13,2.5.1 拉普拉斯变换定义 传递函数是基于拉普拉斯（Laplace）变换建立的一种数学模型。 Laplace变换是可将复杂的实变时间函数变为复变数代数函数、微积分运算变为复平面内简单代数运算的一种数学变换方法。优点在于把复杂的动态时域系统的分析、设计问题转换为简单的静态模型问题处理。,线性定理,延时定理,衰减位移定理,设函数f(t)满足：t=0时，在复变数s的某一域内有：则f(t)的拉氏变换存在，记作： 为复数自变量。,初值定理,2018/1/13,则,2018/1/13,2018/1/13,拉氏反变换由复变数表达式变为时间表达式的数学运算叫拉氏反变换。 直接计算法（复平面积分，一般比较复杂）, 查表法（把F(s)化为Laplace表中可查的简单函数形式） 部分分式展开法： 首先把F(s)化成下列因式分解形式：,aF(s)中只包含不相同的极点时，部分分式展开式为：,查表,得到,2018/1/13,查表,b.F(s)含有多重极点时，部分分式展开式为：,得到,2018/1/13,2.5.3 线性微分方程的拉氏变换解法,对微分方程两边取拉氏变换，并对输入函数取拉氏变换得：,整理代数方程得,化简Y(s)得：,例2.17,2018/1/13,零初始条件,2018/1/13,G(s)还可写成,传递函数零极点在复平面上的分布是分析设计系统的主要内容。,称系统的极点。研究系统,称系统的零点，,n,m,p,p,z,z,L,L,1,1,零极点表达方式,2018/1/13,（7）传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲输入函数(t)的输出响应（脉冲响应，在很多情况下可通过实验直接得到）。因为,2018/1/13,机械动力学系统输入输出微分方程模型外部描述模型机械动力学系统传递函数模型外部描述模型机械动力学系统状态空间模型内部描述模型设状态变量：状态方程输出方程,M,Y(t),u(t),k,f,同一对象系统的三种描述模型,2018/1/13,作业:2.31 为题2.1(a),(b),的电路写出传递函数。答案：,2018/1/13,2.9.2 框图-控制系统传递函数模型结构图,系统的传递函数模型图（框图）为：,、基本概念,2018/1/13,1、复杂系统传递函数模型框图的基本构成元素,传递函数方框,求和单元,分岔点,2018/1/13,3、传递函数模型框图的等效变换基本计算规则,2018/1/13,分岔点（也叫分支点、引出点、测量点）计算规则：,2018/1/13,a 方框图串联合并计算规则 串联连接的特点: 前一个方框图的输出量就是后一方框图的输入量。 下图所示为三个方框图环节串联的例子。图中，每个方框图的传递函数为：,2018/1/13,上式表明，三个方框图的串联可以用一个等效方框图来代替。串联方框图的合并过程，相当于求解三个传递函数代数方程组成的联立方程组的过程。 这种串联方框图合并的情况可以推广到有限个方框图串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效方框图的传递函数等于各个串联方框图的传递函数的乘积，如有n个方框图串联则等效传递函数可表示为：,2018/1/13,b 方框图并联合并计算规则,2018/1/13,以上结论可推广到一般情况，当有n个方框图并联时，其并联合并等效传递函数为：,并联方框图的合并过程，同样相当于求解多个联立传递函数代数方程组的过程。,2018/1/13,2.9.3 传递函数的极点与零点-传递函数模型的基本特性分析,2018/1/13,2018/1/13,2018/1/13,开环断点,请记住,2018/1/13,2、多输入单输出简单闭环反馈系统传递函数,注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。,2018/1/13,2018/1/13,3、框图结构复杂的闭环反馈系统传递函数,P78图2.48（有反馈信号交叉）,特点：无法直接利用串并联规则和反馈公式求解传递函数的框图结构。求解方法三种：代数法、框图等效变换简化法、梅逊公式法（2.12节） （1）代数求解法（见P119页图2.10.4） * 列出各方框输入输出变量和传递函数间的代数关系方程组： X4(S)=X1(S)-X7(S), X6(S)=X3(S)+X5(S)-X8(S), X5(S)=G1(S)X4(S), X2(S)=G2(S)X6(S), X7(S)=G3(S)X6(S), X8(S)=G4(S)X2(S). * 求解方程组，消除中间变量，整理得到系统输入输出传递函数模型：,2018/1/13,（2）框图等效变换简化方法,结构图三种基本合并形式,串 联,并 联,反 馈,2018/1/13,（1）信号求和点的移动分两种情况：前移和后移。为使信号相加点移动前后输出量与输入量之的关系不变,必须在移动相加信号的传递通道上增加一个环节，它的传递函数分别为: 1G（S）（前移）和 G（S）（后移）。 注意：求和点的移动必须是向着同类点（求和点）处的移动。 （2）信号分支点（取出点）的移动也分前移和后移两种情况。但分支点前移时应在取出通路上增加一个传递函数为G（S）的环节，后移时则增加一个传递函数为1G（S）的环节。注意：必须是向同类点移动。 （3）此外，两个相邻的信号相加点和两个相邻的信号分支点可以互换位置。但必须注意，相邻的相加点与分支点的位置不能简单互换。 作用分解变换规则 当无法采用相加点和分支点等效移动变换时，可采用作用分解方法： 并联增加相同传递函数方框，形成作用分解，消除相加点或分支点。,信号相加点（求和单元）和信号分支点等效移动变换规则 对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效合并变换即可。,2018/1/13,信号相加点和信号分支点等效移动变换规则表,分支点移动举例（后移）,a,b,求和点移动举例（后移）,向同类移动,作用分解举例(无法进行点移动化简)并行增加相同单元,y(S),2018/1/13,2.11 控制系统的基本单元-传递函数构成因子分析,上述传递函数可用零、极点表示为：,多项式真有理分式一般表达式：由微分方程直接得出的传递函数是复变量s的真有理函数（传递函数的分子和分母都是的实系数多项式，而且分母多项式的阶次n 不低于分子多项式的阶次m），分母多项式为n阶的传递函数称为n阶传递函数，相应系统称为n阶系统 。传递函数可表示成下列复变量s的真有理分式:,一、系统传递函数的一般表达形式及基本构成单元,Zi零点分子代数方程的根（解）Pi极点分母代数方程的根（解）,零极点一般表达式：由于一个n次实系数分母多项式必有n个实的或复的极点，一个m次实系数分子多项式必有m个实的或复的零点（复数零极点以共轭对出现）所以：,2018/1/13,设一对共轭复数零、极点有如下形式：则传递函数的零极点一般形式可表示为：,=1/T,系统基本构成单元： 传递函数是一些因子的乘积，主要由以下常见基本因子构成： 比例因子（K），积分因子（1/s），惰性因子（ 1/(Ts+1)或 /(s+ ) ） 微分因子（s、Ts+1或s+a、T2s2+2Ts+1或s2+2s+2 ） 振荡因子（1/(T2s2+2Ts+1)或 2/（s2+2s+2），延时因子e-s等 这些常见基本因子一般称为单元，代表的环节称为典型环节。任何复杂的系统都可以用若干典型环节构成。,2018/1/13,基本单元（典型环节）框图,2018/1/13,二、系统基本单元的特性分析,2018/1/13,2振荡单元（环节）,微分方程：,2018/1/13,3积分单元（环节）,2018/1/13,2018/1/13,5微分单元（环节）,2018/1/13,6比例单元（放大环节）,2018/1/13,2018/1/13,2018/1/13,（1）每一个节点代表一个框的输出量，或来自系统外的输入量（R），或求和单元的输出量。 （2）每