3.5素理想与极大理想

3 5素理想与极大理想 3 5ElementIdealandMaximumIdeal 我们知道 任意环R的同态像R 均同构于R的商环 R R R I 因此 只要找出R的一切理想I 也就找出了R的所有同态像 本节我们研究R的同态像为整环或域的情形 即研究R中那些理想I 能使R I为整环 哪些理想I 能使R I为域 本节始终假定R是有单位元1的可换环 3 5 1素理想 ElementIdeal Def 设R是有单位元的可换环 I是R的理想 若对 a b R ab I a I或b I 则称I为R的素理想 例1 设R是整数环Z p是素数 I 则I是R的素理想 事实上 设a b R ab I 则p ab p a或p b 即a I或b I 有了素理想的概念 可以回答上面的第一个问题 Th1 设R是可换环 I是R的理想 则R I是整环 I是R的素理想证明 R I是整环 a b R ab I 由于 a I b I ab I I 故a I I或b I I 即a I或b I 从而I是一个素理想 反之 设I是素理想 在R I中 假定有 a I b I I 则ab I a I或b I 即a I I或b I I 即R I没有真零因子 故R I是整环 推论 具有单位元的可换环是整环 0是素理想 Th2 设R是具有单位元的可换环 则真理想P是素理想 R的任理想I J 若IJ P 则I P或J P 证明 P是R的素理想 I J是R的理想 且IJ P 而I P J P 则存在a I b J a P b P 但ab IJ P 这与P是素理想矛盾 理想I J IJ P I P或J P 但P不是素理想 则存在a b R a P b P 但ab P 令I0是由P a 生成的理想 J0是由P b 生成的理想 由于R是有单位元的可换环 从而I0 p sa p P s R J0 q rb q P r R 因此I0J0 pq prb saq tab p q P t s r R P 但I0 P J0 P 矛盾 P是素理想 3 5 2极大理想 MaixmumIdeal 为了回答前面的第2个问题 首先介绍极大理想的概念 Def 设I是环R的理想 I R 若I真包含于R的理想M 则M R 称I为R的一个极大理想 换句话说 除了I和R之外 没有包含I的理想 例 设R是整数环 Z p为素数 I 则I为R的一个极大理想 因为若I 理想M 则M一定包含一个不能被p整除的整数q 由于p是素数 p q 1 故可找到整数s和t 使得sp tq 1 但p I 而且I是理想 故1 M 所以M Z 由此可见 一个环可以有许多个极大理想 Th3 设R是一个有单位元的可换环 I是R的一个理想 则I是R的极大理想 R I是域 证明 I是R的极大理想 欲证R I是域 只需证若a I是R I的非零元 则a I可逆 命I h ax h I x R 则I 是R的一个理想且I I 由于I是极大理想 故I R 由于1 I 故存在h I x R 使1 h ax 于是1 I h ax I ax I a I x I 即a I在R I中有逆元x I 从而R I是域 设R I是一个域 M是R的真包含I的理想 下证M R 由于I M 故存在a M a I 于是a I是R I的非零元 必有逆元存在 即存在x R a I x I 1 I 即ax I 1 I 但a M I M 故ax M ax I