《数学分析》教学大纲.doc

数学分析课程教学大纲一、数学分析课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Mathematical Analysis（三）开课对象：数学教育专科生（四）课程的性质：本课程是数学教育专业一门重要的专业基础课。一方面为学习数学专业后继课程（如微分方程、复变函数、实变函数等）提供所需的基础理论和知识，另一方面通过本课程的学习有助于学生树立辩证唯物主义思想和观点，有助于培养学生严密的逻辑思维能力和较强的抽象思维能力，并为加强“三基”（基本知识、基本理论、基本方法）教学，培养学生的思维能力、创新能力及独立工作能力等提供必要的训练。（五）教学目的：通过本课程的教学使学生能够正确理解和掌握数学分析的基本理论和基本方法，并具备较熟练的演算技能和初步的分析论证能力。（六）教学内容：本课程以极限为工具，研究函数的微分和积分的一门学科，其主要内容包括极限理论、一元函数微积分理论、多元函数微积分理论和级数等四大部分。（七）教学时数教学时数：384学时学分数：学分教学时数具体分配：教学内容讲课(学时)习题课(学时) 累计一、函数1.1函数221.2 四类具有特殊性质的函数221.3 复合函数与反函数22二、极限2.1 数列极限4262.2 收敛数列84122.3 函数极限7182.4 函数极限的定理628三、连续函数3.1 连续函数4263.2 连续函数的性质426四、实数的连续性4.1 实数连续性定理444.2 闭区间连续函数整体性质证明224五、导数与微分5.1 导数2245.2 求导法则与导数公式445.3 隐函数与参数方程求导法则2245.4 微分225.5 高阶导数与高阶微分44六、微分学基本定理及其应用6.1 中值定理4486.2 洛必达法则46106.3 泰勒公式4266.4 导数在研究函数上的应用12214七、不定积分7.1 不定积分447.2 分部积分法与换元积分法4267.3 有理函数的不定积分227.4 简单无理函数与三角函数的不定积分426八、定积分8.1 定积分888.2 可积准则6288.3 定积分的性质4268.4 定积分的计算197268.5 定积分的应用16622九、级数9.1 数项级数144189.2 函数项级数137209.3 幂级数8210十、多元函数微分学10.1 多元函数42610.2 二元函数的极限与连续31410.3 多元函数微分法10414十一、隐函数11.1 隐函数的存在性2211.3 条件极值11211.4 隐函数存在定理在几何方面的应用224十二、反常积分12.1 无穷积分1021212.2 瑕积分62812.3 含参变量的积分628十三、重积分13.1 二重积分1462013.2 三重积分7310十四、曲线积分与曲面积分14.1 曲线积分1752214.2 曲面积分12820合计279105384（八）教学方式课堂讲授,课外习作及批改.（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。二、讲授大纲与各章的基本要求第一章函数教学要点：本章主要研究内容为实数、区间与邻域；函数概念，函数的表示法，函数的四则运算，复合函数, 反函数，初等函数；具有某些特性的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。教学时数：6学时。教学内容：第一节函数1.1函数概念1.2函数的四则运算1.3函数的图像1.4数列第二节四类具有特殊性质的函数2.1有界函数2.2单调函数2.3奇函数与偶函数2.4周期函数第三节复合函数与反函数3.1复合函数3.2反函数3.3初等函数考核要求：掌握实数的绝对值与不等式的概念与基本性质；正确理解和掌握函数的概念和性质；理解初等函数与非初等函数的定义；理解和掌握函数的各种表示法；会分析函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。第二章极限 教学要点：本章主要研究内容为数列，数列极限的-N定义；收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、两边夹、四则运算法则），子列；数列极限的单调有界定理，柯西收敛准则。函数极限-N定义，-定义，单侧极限；函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、四则运算法则）；函数极限的存在条件：函数极限的单调有界定理和柯西准则；两个重要极限；无穷小量及其阶的比较，无穷大量。 教学时数：34学时。 教学内容：第一节数列极限1.1极限思想1.2数列的极限1.3数列极限概念第二节收敛数列2.1收敛数列的性质2.2收敛数列的四则运算2.3数列的收敛判别法2.4子数列第三节函数极限3.1扩充的实数集3.2自变量的变化过程和函数的变化趋向3.3类型的极限3.4类型的极限3.5类型的极限3.6无穷小第四节函数极限的定理4.1函数极限的性质4.2函数极限与数列极限的关系 4.3 函数极限存在判别法 4.4 无穷小与无穷大的比较考核要求：正确理解数列极限的-N定义并用它证明给定的数列极限；掌握数列极限的性质，并能运用它证明或计算给定的数列极限；掌握数列极限存在的充要条件与充分条件，并能运用这些条件判断或证明数列极限的存在性；熟练掌握重要极限，并能运用它来计算某些数列极限。深刻理解各类函数极限的定义并能定义验证给定的函数极限；掌握函数极限的性质，并能用它证明或计算给定的函数极限；掌握函数极限的归结原则，柯西准则，了解单极限的单调有界定理，并学会运用上述原则的定理；熟练掌握两个重要极限并运用来计算有关函数极限；掌握各种类型的无穷小量与无穷大量的定义及基本性质以及阶的比较。第三章连续函数教学要点：本章主要研究内容为函数在一点的连续性，单侧连续，间断点及其分类，区间上的连续函数；连续函数的性质：连续函数的局部性质（局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性），闭区间上连续函数的基本性质（最大最小值定理、有界性定理、介值定理、根的存在性定理）反函数的连续性，一致连续与一致连续性定理；初等函数的连续性。教学时数：12学时。教学内容：第一节连续函数1.1连续函数概念1.2间断点及其分类第二节连续函数的性质2.1连续函数的局部性质2.2闭区间连续函数的整体性质2.3反函数的连续性2.4初等函数的连续性考核要求：深刻理解函数连续性概念及其分类；掌握连续函数的局部有界性，局部保号性以及复合函数和反函数的连续性；牢记闭区间上连续函数的性质并能运用这些性质解决一些有关问题。第四章实数的连续性教学要点：本章主要研究内容为上、下确界的定义，实数连续性的基本定理及其证明，一致连续的概念。闭区间上连续函数性质的证明。教学时数：8学时。教学内容：第一节实数连续性定理1.1闭区间套定理1.2确界定理1.3覆盖定理1.4聚点定理 1.5 致密性定理 1.6 柯西收敛准则第二节闭区间连续函数整体性质的证明2.1性质的证明2.2一致连续性考核要求：1. 熟悉实数基本定理及了解它们的等价性，学习应用它们去证明其它命题的方法；2. 掌握闭区间上连续函数的性质和有关命题的证明技巧。第五章导数与微分教学要点：本章主要研究内容为导数的定义，单侧导数，导数和几何意义，导函数；求导法则，基本求导公式和初等函数的导数；微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性；高阶导数。教学时数：18学时。教学内容：第一节导数1.1实例1.2导数概念第二节求导法则与导数公式2.1导数的四则运算2.2反函数求导法则2.3复合函数求导法则2.4初等函数的导数第三节隐函数与参数方程求导法则3.1隐函数求导法则3.2参数方程求导法则第四节 微分 4.1 微分概念 4.2 微分的运算法则和公式 第五节 向阶导数与高阶微分 5.1 高阶导数 5.2 莱布尼茨公式 5.3 高阶微分考核要求：深刻理解和掌握导数，微分的概念，熟记基本求导公式；掌握求导和微分法则，能熟练计算初等函数的各阶导数和微分；理解导数在几何、物理上意义。第六章微分学基本定理及其应用教学要点：本章主要研究内容为费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理；不定式极限；泰勒公式；函数单调性与极限值，最大值与最小值；函数的凸性与曲线的拐点；函数图像的讨论。教学时数：38学时。教学内容：第一节中值定理1.1罗尔定理1.2拉格朗日定理1.3柯西定理第二节洛必达法则2.1型2.2型2.3其他待定型2.4周期函数第三节泰勒公式3.1泰勒公式3.2常用的几个展开式3.3初等函数第四节 导数在研究函数上的应用 4.1 函数的单调性 4.2 函数的极值与最值 4.3 不等式 4.4 函数的凸性 4.5 曲线的渐近线 4.6 描绘函数图像考核要求：掌握中值定理与泰勒公式；理解中值定理的几何意义，运用中值定理证明一些命题；理解函数的单调性，凸性与极值的概念；能熟练地利用导数讨论函数的单调性、极值、凸性、并应用这些特性作函数图象，证明某些不等式。第七章不定积分教学要点：本章主要研究内容为原函数与不定积分概念、性质，基本积分表，线性运算法则；换元积分法与分部积分法；有理函数积分法，三角函数有理式的积分，某些无理函数的积分。第八章 定积分教学时数：18学时。教学内容：第一节不定积分1.1原函数1.2不定积分第二节分部积分法与换元积分法2.1分部积分法2.2换元积分法第三节有理函数的不定积分3.1代数的预备知识3.2有理函数的不定积分第四节 简单无理函数与三角函数的不定积分 4.1 简单无理函数的不定积分 4.2 三角函数的不定积分考核要求：深刻理解原函数与不定积分的概念和性质；熟练应用换元积分法，分部积分法以及有理函数，三角函数有理式和积分法求不定积分；综合运用上述方法求函数的不定积分；第八章定积分教学要点：本章主要研究内容为定积分定义，定积分的几何意义；可积函数类；定积分的性质；变上限定积分；变下限定积分；微积分学基本定理，牛顿-莱布尼茨公式，换元积分法与分部积分法；微元法及其在几何方面的应用。教学时数：70学时。教学内容：第一节定积分1.1实例1.2定积分概念第二节可积准则2.1 小和与大和2.2 可积准则2.3 三类可积函数2.4 再论可积准则第三节定积分的性质3.1定积分的性质3.2定积分中值定理第四节 定积分的计算 4.1 按照定义计算定积分 4.2 积分上限函数 4.3 微积分基本定理 4.4 定积分的分部积分法 4.5 定积分的换元积分法 4.6 对数函数的积分定义 4.7 指数函数对数函数的反函数第五节 定积分的应用 5.1 微元法 5.2 平面区域的面积 5.3 平面曲线的弧长 5.4 应用截面面积求体积 5.5 旋转体的侧面积第六节 定积分的近似计算6.1 梯形法6.2 抛物线法考核要求：深刻理解定积分概念；初步掌握判断函数是否可积的基本方法；熟练定积分性质，并能应用这些性质证明其它命题；掌握变限积分函数表示形式下的分析论证与运用能力；熟练应用牛顿-莱布尼兹公式及其它计算定积分的技巧。熟练掌握定积分在几何方面的应用公式及基本思想。第九章级数教学要点：本章主要研究内容为收敛与发散的概念，收敛级数的性质，同号级数、变号级数收敛性判别法，函数项级数、一致收敛、一致收敛级数的性质，幂级数的概念，收敛半径，和函数的分析性质，函数的幂级数展开。教学时数：48学时。教学内容：第一节数项级数1.1收敛与发散概念1.2收敛级数的性质1.3同号级数1.4变号级数 1.5 绝对收敛级数的性质第二节函数项级数2.1函数项级数的收敛域2.2一致收敛概念2.3一致收敛判别法2.4函数列的一致收敛 2.5 和函数的分析性质第三节幂级数3.1幂级数的收敛域3.2幂级数和函数的分析性质3.3泰勒级数 3.4 初等函数的幂级数展开 3.5 幂级数的应用考核要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。第十章多元函数微分学教学要点：本章主要研究内容为多元函数的概念，二元函数的极限和连续概念与性质，偏导数、全微分，复合函数偏导数的链式法则，微分运算法则，极值的概念与计算。教学时数：24学时。教学内容：第一节多元函数1.1n维欧氏空间1.2多元函数概念1.3的点列极限与连续性第二节二元函数的极限与连续2.1二元函数的极限2.2二元函数的连续性第三节多元函数微分法3.1偏导数3.2全微分3.3可微的几何意义 3.4 复合函数微分法考核要求：掌握多元函数的偏导数与微分的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，熟练掌握多元函数的求导方法，掌握偏导数在几何上的应用，掌握求多元函数无条件极值的方法。第十一章隐函数教学要点：本章主要研究内容为隐函数存在定理，函数行列式的性质，条件极值的概念与计算，曲线的切线与法平面和曲面的切平面与法线方程。教学时数：8学时。教学内容：第一节隐函数的存在性1.1隐函数概念1.2一个方程确定的隐函数第二节条件极值2.1 条件极值与拉格朗日乘数法第三节 隐函数存在定理在几何方面的应用3.1 空间曲线的切线与法平面3.2 曲面的切平面与法线考核要求：熟练掌握隐函数的求导方法，掌握求多元函数条件极值的方法。第十二章反常积分与含参变量的积分教学要点：本章主要研究内容为无穷积分收敛与发散的概念及敛散性判别法，瑕积分收敛与发散的概念及敛散性判别法，含参变量的有限积分的概念与分析性质，含参变量的无穷积分的概念，一致收敛的定义与判别法，含参变量无穷积分的分析性质。教学时数：28学时。教学内容：第一节无穷积分1.1无穷积分收敛与发散概念1.2无穷积分与级数1.3无穷积分的性质1.4无穷积分的敛散性判别法第二节瑕积分2.1瑕积分收敛与发散概念2.2瑕积分的敛散性判别法第三节含参变量的积分3.1含参变量的有限积分3.2含参变量的无穷积分考核要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。掌握含参变量常义积分的性质与计算，掌握含参变量反常积分一致收敛的概念，一致收敛的判别法，一致收敛反常积分的性质及其在积分计算中的应用。第十三章重积分教学要点：本章主要研究内容为重积分的概念与性质，二重积分及二重积分、三重积分的计算及柱面坐标与球面坐标。教学时数：30学时。教学内容：第一节二重积