山东省沂水县高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.4平面与平面平行的性质学案.docx

22.4平面与平面平行的性质学习目标1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题；2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化知识点平面与平面平行的性质观察长方体ABCDA1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的思考2若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则mn吗？答案不一定，也可能异面思考3过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行.文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言，a，bab图形语言类型一平面与平面平行的性质定理的应用例1平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，且AS8，BS9，CD34，求CS.解有两种情况：S位于、之间，和S位于、的同侧(1)当S位于、之间时，如图，连接AC，BD，ABCDS.设AB，CD共面，AC，BD.因为，所以AC与BD无公共点，所以ACBD，所以ACSBSD，所以.设CSx，则，所以x16.当S位于，之间时，如上解答(2)当S位于，同侧时，如图，ABCDS，设AB，CD共面，因为AC，BD，且，所以ACBD.所以SACSBD，所以，即，所以SC272.综上所述，SC16或272.反思与感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练1如图所示，平面平面，ABC，ABC分别在，内，线段AA，BB，CC共点于O，O在平面和平面之间，若AB2，AC2，BAC60，OAOA32，则ABC的面积为_答案解析AA，BB相交于O，所以AA，BB确定的平面与平面，平面的交线AB，AB，有ABAB，且，同理可得，所以ABC，ABC面积的比为94，又ABC的面积为，所以ABC的面积为.类型二平行关系的相互转化例2已知，平面平面，点A，C，点B，D，点E、F分别在线段AB、CD上，且AEEBCFFD.求证：EF，EF.证明当AB，CD在同一平面内时，如图，由，平面ABDCAC，平面ABDCBD，ACBD，AEEBCFFD，EFBD，又EF，BD，EF.当AB与CD异面时，如图，设平面ACDl，在l上取一点H，使DHAC.，平面ACDHAC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形在AH上取一点G，使AGGHCFFD，又AEEBCFFD，GFHD，EGBH，又EGGFG，BHHDH，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上知，EF.，EF且EF，EF.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如下图所示：解题时，往往通过构造辅助平面将面面平行、线面平行转化为线线平行跟踪训练2如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1.证明因为F为AB的中点，所以AB2AF，又因为AB2CD，所以CDAF，因为ABCD，所以CDAF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FCAD，又FC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以FC平面ADD1A1，因为CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，所以CC1平面ADD1A1，又FCCC1C，所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.1已知平面平面，直线a，直线b，下面四种情形：ab；ab；a与b异面；a与b相交其中可能出现的情形有()A1种 B2种 C3种 D4种答案C解析因为平面平面，直线a，直线b，所以直线a与直线b无公共点当直线a与直线b共面时，ab；当直线a与直线b异面时，a与b所成的角大小可以是90.综上知，都有可能出现，共有3种情形2.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_答案平行四边形解析由面面平行的性质定理可得3过正方体ABCDA1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是_答案平行解析因平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCD平面A1C1Bl，平面A1B1C1D1平面A1C1BA1C1，所以lA1C1(面面平行的性质定理)4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F.求证：EF平面ABCD.证明过E作EGAB交BB1于点G，连接GF，则.B1EC1F，B1AC1B，.FGB1C1BC，又EGFGG，ABBCB，平面EFG平面ABCD，又EF平面EFG，EF平面ABCD，EF平面ABCD.1常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行2空间中各种平行关系相互转化关系的示意图一、选择题1已知平面平面，过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是()A平行 B相交C异面 D不确定答案A解析两平行平面，被第三个平面所截，则交线a、b平行2有四个命题：若a，b，ab，则；c为直线，为平面，若c，c，则；若a，b，则ab；若a，则a.其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析中的，可能平行，也可能相交，正确故选C.3.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA、PB、PC于A、B、C，若PAAA23，则SABCSABC等于()A225 B425C25 D45答案B解析面面ABC，面PAB与它们的交线分别为AB，AB，ABAB，同理BCBC，易得ABCABC，SABCSABC()2()2.4，为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是()ab; ab； ；a; a.A BC D答案C解析由公理4及平行平面的传递性知正确举反例知不正确中a，b可以相交，还可以异面；中，可以相交；中a可以在内；中a可以在内5设，A，B，C是AB的中点，当A、B分别在平面、内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C()A不共面B当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D不论A、B如何移动，都共面答案D解析如图所示，A、B分别是A、B两点在、上运动后的两点，此时AB中点C变成AB中点C，连接AB，取AB中点E.连接CE、CE、AA、BB、CC.则CEAA，CE.又CEBB，CE.又，CE.CECEE.平面CCE平面.CC.所以不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与、平行的平面上6下列命题中，错误的是()A平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B平行于同一个平面的两个平面平行C若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面二、填空题7给出四种说法：若平面平面，平面平面，则平面平面.若平面平面，直线a与相交，则a与相交若平面平面，P，PQ，则PQ.若直线a平面，直线b平面，且，则ab.其中正确说法的序号是_答案解析正确，因平面与没有公共点正确若直线a与平面平行或a，则由平面平面知a或a与无公共点，这与直线a与相交矛盾，所以a与相交正确如图，过直线PQ作平面，a，b，由得ab.因为PQ，PQ，所以PQb.因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合因为a，所以PQ.错误若直线a平面，直线b平面，且，则a与b平行、相交和异面都有可能8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB与M，交BC与N，则_.答案解析平面MNE平面ACB1，由面面平行的性质定理可得：ENB1C，EMB1A，又E为BB1中点，M，N分别为BA，BC的中点，MNAC.即.9.如图，已知，GH，GD，EH分别交，于A，B，C，D，E，F，且GA9，AB12，BH16，则_.答案解析因为平面GACAC，平面GBDBD，且，所以ACBD，同理可证AEBF.又因为EAC与FBD的两边同向，所以EACFBD.又因为GA9，AB12，ACBD，所以.10在长方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱DD1上的点当平面AB1C平面A1EC1时，点E的位置是_答案与D重合解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1A1C1M，BDACO，连接ME、B1O，平面AB1C平面A1EC1，平面AB1C平面BDD1B1B1O，平面A1EC1平面BDD1B1ME，则B1OME.又四边形B1MDO为平行四边形，则B1OMD.故E与D重合11对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线l，m，使得l，l，m，m.其中可以判断两个平面与平行的条件有_个答案2解析若与相交，如图所示，可在内找到A、B、C三个点到平面的距离相等，所以排除.容易证明都是正确的三、解答题12.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M平面BC1N，AC平面BC1NN.求证：N为AC的中点证明平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1MAM，平面BC1N平面ACC1A1C1N，C1NAM，又ACA1C1，四边形ANC1M为平行四边形，ANC1MA1C1AC，N为AC的中点13.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由解方法一存在点E，且E为AB的中点时，DE平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DFB1C1，因为AB的中点为E，连接EF，则EFAB1，B1C1AB1B1，EFDFF，所以平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，所以DE平面AB1C1.方法二假设在棱AB上存在点E，使得DE平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连接DF，EF，则DFB1C1，又DF平面AB1C1，所以DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，所以平面DEF平面AB1C1，因为EF平面DEF，所以EF平面AB1C1.又因为EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，所以EFAB1，因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点即当点E是AB的中点时，DE平面AB1C1.14已知：如图，三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点若平面BC1D平面AB1D1，求的值解如图，连接A1B交AB1于点