2019_2020学年高中数学第2章平面向量33.1数乘向量学案北师大版必修4.docx

3.1数乘向量学 习 目 标核 心 素 养1.理解向量的数乘运算及其几何意义(重点)2.理解向量共线定理，并应用其解决相关问题(难点)3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行(易混点)1.通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养2.通过运用向量共线定理解决相关问题，培养数学运算素养.1数乘向量及运算律(1)向量数乘的定义一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a.它的长度和方向规定如下：|a|a|；当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0.(2)向量数乘的运算律设a，b为向量，为实数，则数乘向量满足：结合律：(a)()a；分配律：()aaa；(ab)ab.思考1：向量3a，3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？提示3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反2共线向量定理(1)判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.思考2：若b2a，b与a共线吗？提示根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)共线向量，那么有且只有一个实数，使得ba.1在四边形ABCD中，若，则此四边形是()A平行四边形B菱形C梯形D矩形C因为，所以ABCD，且ABCD，所以四边形ABCD为梯形2下列各式计算正确的有()(7)6a42a；7(ab)8b7a15b；a2ba2b2a；4(2ab)8a4b.A1个 B2个C3个D4个C正确3已知向量a与b不共线，向量c3ab，d6a2b，则向量c与d的关系是_(填“共线”或“不共线”)共线d6a2b2(3ab)2c，所以向量c与d共线4._.2ba(2a8b)(4a2b)abab2ba.向量数乘的定义【例1】已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)2a的方向与3a的方向相反，且2a的模是3a模的倍；(3)2a与2a是一对相反向量；(4)ab与(ba)是一对相反向量解(1)真命题2aaa与a方向相同，且|2a|aa|a|a|2|a|.(2)真命题2a(a)(a)与a同方向，3aaaa与a同方向，由于a与a反方向，故2a与3a反方向，又|2a|2|a|，|3a|3|a|，所以2a的模是3a模的倍(3)真命题2a2a(22)a0，故2a与2a是一对相反向量，(4)假命题(ba)与ba是一对相反向量，ab与ba是一对相反向量，(ba)与ab是相等的对数乘向量的四点说明(1)a的实数叫作向量a的系数(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小(3)当0或a0时，a0.注意是0，而不是0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量1已知，R，则在下列各命题中，正确的命题有()0，a0时，a与a的方向一定相同；0，a0时，a与a的方向一定相同；0时，同正或同负，a与a或者都与a同向，或者都与a反向，a与a同向，当0时，则与异号，a与a中，一个与a同向，一个与a反向，a与a反向，故也正确向量的线性运算【例2】(1)计算下列各式：3(a2bc)(2cba)；(ab)(2a4b)(2a13b)(2)设x，y是未知向量解方程5(xa)3(xb)0；解方程组解(1)原式3a6b3c2cba4a7bc.原式abababab0a0b0.(2)原方程可变为5x5a3x3b0，即8x5a3b，所以xab.把第一个方程的左、右两边同乘2，然后与第二个方程相加，得y2ab，从而yab.代入原来第二个方程得xab.所以1向量数乘的运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看成向量的系数2向量也可以通过列方程来解，把所求向量当做未知量，利用解代数方程的方法求解2(1)化简4(ab)3(ab)_.(2)若2(cb3y)b0，其中a，c，b为已知向量，则未知向量y_.(1)a7b(2)abc(1)4(ab)3(ab)4a3a4b3ba7b.(2)由2(cb3y)b0，得2yacbyb0，即yacb0，所以yabc.向量线性运算的综合应用探究问题1若存在实数，使，则A，B，C三点的位置关系如何？提示A，B，C三点共线2向量共线定理有哪两个方面的应用？提示(1)判断两个向量共线，若存在一个实数，使ba(a0)，则a与b共线(2)表示两个共线向量之间的关系若a与b共线(a0)，则必存在一个实数.使ba.3向量共线定理应注意什么？提示向量共线定理不包含0与0共线的情况，因为a0.定理中a0不能漏掉若ab0，实数仍然存在，但是任意实数，不唯一；若a0，b0，则不存在实数，使ba.【例3】已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值思路探究解答本题对于(1)，欲证A，B，D共线，只需证存在实数，使即可；对于(2)，若ke1e2与e1ke2共线，则一定存在，使ke1e2(e1ke2)解(1)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有公共点B，A、B、D三点共线(2)ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.1(变条件)将例3中的条件变为“a，b是不共线的两非零向量，2ab，3ab，a3b”，试证明：A、B、C三点共线证明(3ab)(2ab)a2b，而(a3b)(3ab)2(a2b)2，与共线，且有公共点B，A，B，C三点共线2若将例3中的条件改为“若a、b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，(ab)三向量的终点在同一直线上？解由题设易知，存在唯一实数，使atb，化简，得ab.a与b不共线，解得故当t时，三向量的终点共线1证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得(或等)即可(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy且xy1.2利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值1实数与向量a可作数乘，但实数不能与向量a进行加、减运算，如a，a都是无意义的还必须明确a是一个向量，的符号与a的方向相关，|的大小与a的模长有关2利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)实数与向量a的积还是向量()(2)对于非零向量a，向量6a与向量2a方向相反()(3)向量8a的模是向量4a的模的2倍()(4)若ba(a0)，则a与b方向相同或相反()(5)若ab，则存在R，使得ba.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知向量a，b，且a2b，