正弦定理、余弦定理知识点.doc

正弦定理、余弦定理1. 三角形常用公式：ABC；Sab sin Cbc sin Aca sin B；2三角形中的边角不等关系:ABab,a+bc,a-bc；3正弦定理：2R（外接圆直径）；正弦定理的变式：；abcsin Asin Bsin C4正弦定理应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角已知两边和其中一边对角，求另一边的对角几何作图时，存在多种情况如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角 一解 两解 一解(2)A为锐角或钝角当时有一解.5余弦定理a2=b2+c2-2bccosAc2=a2+b2-2abcosCb2=a2+c2-2accosB若用三边表示角，余弦定理可以写为、6余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边7 . 三角形面积公式课堂互动知识点1运用判断三角形形状例题1在ABC中已知acosB=bcosA,试判断ABC的形状.【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状.【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 A=B 即ABC为等腰三角形解法2:由余弦定理: 即ABC为等腰三角形.巩固练习1在中，若，试判断三角形的形状2在中,已知a2tanB=b2tanA,试判断这个三角形的形状.3已知中，有，判断三角形形状.知识点2运用正、余弦定理解三角形解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:已知三条边(边边边),求三个角;已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2在ABC中，已知，B=45 求A、C及c.【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角【答案】解法1：由正弦定理得：B=4590 即ba A=60或120当A=60时C=75 当A=120时C=15 解法2：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：解之：当时 从而A=60 ，C=75当时同理可求得：A=120 C=15.巩固练习1已知在中，试解该三角形在中，求三内角A、B、C3在中，已知A、B、C成等差数列，且，求三边a、b、c4在中，已知，求A、B、C的大小，又知顶点C的对边C上的高等于，求三角形各边a、b、c的长知识点3解决与三角形在关的证明、计算问题例题3 已知A、B、C为锐角，tanA=1，tanB=2，tanC=3，求A+B+C的值 【分析】本题是要求角，要求角先要求出这个角的某一个三角函数值，再根据角的范围确定角本题应先求出A+B和C的正切值，再一次运用两角和的正切公式求出A+B+C 【答案】 =0 所以A+B+C= 巩固练习1在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,设a+c=2b,A-C=,求sinB的值.2在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值3在中，若且，求这个三角形的面积例题4在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,证明:.【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时，其解题的一般规律是：二项化积、倍角公式，提取公因式，再化积.遇有三角式的平方项，则利用半角公式降次.【答案】证法一:由正弦定理得=.证法二:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,则=1-cosA,又由正弦定理得=,=1-cosA=.证法三: =.由正弦定理得,=,又由余弦定理得=. 巩固练习1已知锐角三角形ABC中，.（1）求证；（2）设，求AB边上的高【考题再现】1（04年全国）在中，则边上的高（A）（B）（C）（D）2（05年湖南卷）已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小.3.（2005年春季北京）在ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和ABC的面积.4. （05年江苏卷）中，则的周长为（A）（B）（C）（D）5（06年湖北卷）若的内角满足，则A. B C D6. （2006年安徽卷）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ）A和都是锐角三角形 B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形【模拟训练】1（2004年北京市朝阳区二模题）在中，是的（）（A） 充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2（04年南京市二模题）在中，A，B，C为三角形的三个内角，且，求的值3（04年华南师大附中）在中，分别为角的对边，且（1）求的度数（2）若，求和的值4（05年南通市基地学校联考）在中，边AB为最长边，且，则的最大值是5.（06年湖北八校第二次联考）已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）等腰三角形（D）等边三角形.6.(06年黄岗市荆州市高三年级模拟)已知的三个内角为A、B、C所对的三边为、，若的面积为，则_教考链接在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；另外，在三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，关键是正、余弦定理的边角互换运用正、余弦定理求解三角形的有关问题，要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，如三角函数的定义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具，同时注意三角形面积公式，还要注意三角形内角和的制约关系，此外，要对常见解题方法与解题技巧的总结，这样才能不断提高三角形问题的求解能力参考答案课堂互动例题1巩固练习1【答案】解法1：由正弦定理，R为外接圆的半径，将原式化为，.即,，.故为直角三角形解法2：将已知等式变为，由余弦定理可得，即也即，故为直角三角形2【答案】解法1:由已知得,由正弦定理得,sinAsinB0,sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,2A=2B或2A=1800-2B,即A=B或A+B=900.是等腰三角形或直角三角形.解法2: 由已知得,由正弦定理得,即,又由余弦定理得,整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,a=b,或a2+b2=c2, 是等腰三角形或直角三角形.3解：由已知得例题2巩固练习1【答案】解法1：由正弦定理，得因 由，则有二解，即或 或故或，解法2：令AC=b，则由余弦定理 又或或.2【答案】由已知有，化简并利用正弦定理： 由，故 由，可设，由余弦定理，得 由正弦定理得 由则C是锐角，故3【答案】由已知，得，又由 故 又由 故由则即 把与联立，得或4【答案】由已知，及由及得，以为一元二次方程的两个根，解方程，得或或若，则，若，则例题3巩固练习1【答案】由正弦定理和已知条件a+c=2b,得sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得2sincos=2sinB.由A+B+C=得sin=cos.又A-C=,得=sinB.=2sincos,00，可知A这锐角，所以sinAcos