单自由度系统受迫振动.ppt

1 3单自由度系统受迫振动 受迫振动 系统在外界激励下产生的振动激励形式 可以为力 直接作用力或惯性力 也可以为运动 位移 速度 加速度 外界激励一般为时间的函数 可以是周期函数 也可以是非周期函数 简谐激励是最简单的激励 一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加 有阻尼系统在简谐激振力作用下 系统的运动微分方程为 令 得到有阻尼质量弹簧系统受迫振动微分方程的标准形式 微分方程的全解等于齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和 齐次方程通解 x1 t 非齐次方程特解 x2 t 有阻尼系统在简谐激励下 运动微分方程的全解 x1 t 有阻尼自由振动运动微分方程的解 特解为 有阻尼系统在简谐激励下 运动微分方程的全解 由二部分组成 第一部分振动的频率是自由振动频率 由于阻尼的作用 这部分的振幅都时间而衰减 瞬态振动 第二部分以激励频率作简谐振动 其振幅不随时间衰减 稳态受迫振动 特解为 代入方程 解得 幅频特性与相频特性 引入量纲为1的参数 s 称为静力偏移 为振幅与静力偏移之比 称为振幅比 又称放大因子 s是激励频率与固有频率之比 称为频率比 s称为幅频特性曲线 s称为相频特性曲线 结论 1 线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 而相位滞后激振力的简谐振动 2 稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 m k c 和激振力的频率及力幅 而与系统进入运动的方式 即初始条件 无关 单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性 稳态响应的特性 以s为横坐标画出 s 曲线 幅频特性曲线 简谐激励作用下稳态响应特性 1 当 激振频率相对于系统固有频率很低 响应的振幅A与静位移B相当 2 当 激振频率相对于系统固有频率很高 响应的振幅很小 3 在以上两个领域 对应于不同 值 曲线较为密集 说明阻尼的影响不显著 系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的 单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性 单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性 4 当 对应于较小 值 s 迅速增大 当 0 s 共振振幅无穷大 但共振对于来自阻尼的影响很敏感 在s 1附近的区域内 增加阻尼使振幅明显下降 单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性 5 对于有阻尼系统 并不出现在s 1处 而且稍偏左 振幅无极值 6 当 单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性 记 品质因子 带宽 阻尼越弱 Q越大 带宽越窄 共振峰越陡峭 单自由度系统受迫振动 稳态响应的特性 以s为横坐标画出 s 曲线 相频特性曲线 1 当s 1 0 相位差 0位移与激振力在相位上几乎相同 2 当s 1 0 位移与激振力反相 3 当s 1 0共振时的相位差为 与阻尼无关 例 图示带有偏心块的电动机 固定在一根不计自重的弹性梁上 设电机的质量为m1 偏心块的质量为m2 偏心距为e 弹性梁的刚度系数为k 阻力系数为c 求当电机以匀角速度 旋转时系统的稳态振动的位移幅值 解 系统可简化为图示的力学模型 将电机与偏心块看成一个质点系 设电机轴心在t瞬时相对平衡位置的坐标为x 偏心块的坐标为x esin t 质点系动量定理在x方向的投影表达式为 整理后得系统的微分方程为 引入 微分方程化为标准形式 解得 令 解得 其幅频特性和相频特性曲线 例 图示为一测振仪的简图 其中物块质量为m 弹簧刚度系数为k 阻力系数c 测振仪放在振动物体表面 将随物体而运动 设被测物体的振动规律为 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律 解 以物块的静平衡位置为坐标原点 考察其相对地球的运动 绝对运动 运动微分方程可写为 令 则微分方程可写成 其中 微分方程特解 回代得 由前计算化简可得 系统的幅频特性和相频特性为 代入 引入量纲为1的量 系统的幅频特性为 系统的相频特性为 系统的幅频特性和相频特性曲线 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 受迫振动的过渡阶段 在系统受到激励开始振动的初始阶段 其自由振动伴随受迫振动同时发生 系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 回顾 显含t 非齐次微分方程 非齐次微分方程通解 齐次微分方程通解 非齐次微分方程特解 阻尼自由振动逐渐衰减 持续等幅振动 暂态响应 稳态响应 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 先考虑无阻尼的情况 假设激励为正弦激励 通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 由初始条件确定 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应 以系统固有频率振动 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应 初始条件为零 自由伴随振动 强迫响应 由于系统是线性的 也可以利用叠加定理求解 通解 初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 即使在零初始条件下 也有自由振动与受迫振动相伴发生 实际中总是存在着阻尼的影响 因而上式右端的暂态运动会逐渐衰减 进而消失 最终系统为稳态响应 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 例 计算初始条件 以使的响应只以频率振动 解 如果要使系统响应只以为频率振动 必须成立 初始条件 例 计算初始条件 以使的响应只以频率振动 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 解 全解 由 求一阶导数 由 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 如果要使系统响应只以为频率振动 初始条件 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 若激励频率与固有频率十分接近 令 为小量 考虑稳态响应 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 可看作频率为 振幅按规律缓慢变化的振动 这种在接近共振时的特殊振动现象称为拍 拍的周期为 图形的包络线 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 当 随着t增大 振幅无限增大 无阻尼系统共振的响应曲线 即使是无阻尼系统 要达到理论上的无穷大振幅 也需要无限长的时间 所以 如果机器的工作运转速度设计在共振转速以上 穿越共振去并没有很大困难 只要穿越的快些就好 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐激励的响应 利用前述相同的方法 可得 初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应 经过充分长的时间 作为瞬态响应的前两种振动将消失 只剩下稳态强迫响应 单自由度系统受迫振动 受迫振动的过渡阶段 初始条件响应 自由伴随振动 强迫响应 对于零初始条件 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 背景 地基振动 转子偏心引起的受迫振动 特点 激振惯性力的振幅与频率的平方成正比 坐标 相对基座的位移 动力学方程 基座运动规律 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 解得 回顾 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 若以绝对位移为坐标 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 可以看出 当时 振幅恒为支撑运动的振幅D 当时 振幅恒小于D 增加阻尼反而会使振幅增大 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 解 汽车行驶的路程可表示为 则 路面的激励频率为 由 为常数得 与成反比 空载时的阻尼比为 满载和空载时的频率比 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 满载时的阻尼比为 空载时的阻尼比为 满载时的频率比 空载时的频率比 记满载时的振幅为 空载时的振幅为 满载与空载的振幅比为 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 已知梁截面惯性矩I 弹性模量E 梁质量不计 例 支座A产生微小竖直振动 支座B不动 求 质量m的稳态振动振幅 解 在质量m作用下 由材料力学可求出静挠度固有频率 因的运动而产生的质量m处的运动 动力学方程 振幅 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 支承运动小结 基座位移规律 相对位移 绝对位移 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 高速旋转机械中 偏心质量产生的离心惯性力是主要的激励来源 旋转机械总质量为M 转子偏心质量为m 偏心距为e 转子转动角速度为 x 机器离开平衡位置的垂直位移 则偏心质量的垂直位移 由达朗伯原理 系统在垂直方向的动力学方程 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 不平衡量引起的离心惯性力 设 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 例 偏心质量系统 共振时测得最大振幅为0 1m 由自由衰减振动测得阻尼系数为 设 求 1 偏心距e 2 若要使系统共振时振幅为0 01m 系统的总质量需要增加多少 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 解 1 共振时的最大振幅 2 若要使共振时的最大振幅0 01m 单自由度系统受迫振动 简谐惯性力激励的受迫振动 偏心质量小结 单自由度系统受迫振动 机械阻抗和导纳 机械阻抗与导纳 工程中常用机械阻抗来分析结构的动力特性 机械阻抗定义为简谐激振时复数形式的输入与输出之比 动力学方程 输入 输出 代入得 根据定义 位移阻抗 单自由度系统受迫振动 机械阻抗和导纳 位移阻抗与复频响应函数互为倒数 H 也称为导纳 输出也可以定义为速度或加速度 相应的机械阻抗称为速度阻抗和加速度阻抗 速度阻抗 加速度阻抗 机械阻抗的倒数称为机械导纳 相应 分别有位移导纳 速度导纳和加速度导纳 机械阻抗和机械导纳都仅仅取决于系统本身的动力特性 m k c 它们都是复数 单自由度系统受迫振动 机械阻抗和导纳 现已有多种专门测试机械阻抗的分析仪器 根据系统的机械阻抗可以确定和分析系统的固有频率 相对阻尼系数等参数及其它动力特征 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 惯性式测振仪 惯性式测振仪 基础位移 x为m相对于外壳的相对位移动力方程 振幅 当仪器的固有频率远小于外壳振动频率时 仪器读数的幅值A1接近外壳振动的振幅D 低固有频率测量仪用于测量振动的位移幅值 称为位移计 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 惯性式测振仪 当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时 仪器读数的幅值A1与外壳加速度的幅值成正比 高固有频率测量仪用于测量振动的加速度幅值 称为加速度计 被测物体的加速度幅值 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 惯性式测振仪 另一种分析方法 基础位移假定为正弦 x取绝对位移 受力图 动力学方程 叠加原理 解为右端两项解之和 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 惯性式测振仪 和前述支承运动中的绝对位移法结果相同 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 振动的隔离 振动的隔离 将作为振源的机器设备与地基隔离 以减少对环境的影响称为主动隔振 隔振前机器传到地基的力 隔振后系统响应 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 振动的隔离 隔振后通过k c传到地基上的力 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 振动的隔离 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 振动的隔离 解 频率比 弹性支承的刚度 机器振动的振幅 主动隔振系数 传到地基上的力幅 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 转子的临届转速 转子的临界转速 汽轮机 发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一转速附近时 支撑系统经常会发生剧烈振动 临界转速 在数值上很接近转子横向振动的固有频率 以单盘转子为例 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 转子的临届转速 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 转子的临届转速 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 转子的临届转速 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 转子的临届转速 可见 当阻尼比较小时 即使转子平衡得很好 e很小 动挠度f也会相当大 容易使轴破坏 这样的转速成为临届转速 为 用每分钟转速表示 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 转子的临届转速 单自由度系统受迫振动 工程中的受迫振动问题 转子的临届转速 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 当作用于系统上所产生的静变形 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 分别为第n次谐波激励所对应的振幅放大因子和相位差 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 任意周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 非周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 非周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 非周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 非周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 非周期激励的响应 单自由度系统受迫振动 非周期激励的响应 系统的单位脉冲响应即初始位移为零 而初始速度为1 m的自由振动 解为 无阻尼系统 若单位脉冲力不是作用在时刻t 0 而是作用在时刻 如果系统在时刻受到冲量为I0的任意脉冲力作用 则系统暂态响应可用脉冲响应函数表示为 单自由度系统受迫振